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| Aufgabe | | In einer Allee stehen 12 Bäume in einer Reihe, davon sind 6 erkrankt. Wie groß ist unter der Annahme, dass die Bäume unabhängig voneinand erkrank werden, die Wahrscheinlichkeit, dass die erkrankten Bäume alle nebeneinander stehen? (Geben Sie auch den Wahrscheinlichkeitsraum an!) Welche Wahrscheinlichkeit erhalten Sie für das oben genannte Ereignis (die erkrankten Bäume stehen alle nebeneinander),wenn in der Allee n Bäume in einer Reihe stehen und von diesen k erkrankt sind? |
Ich tue mich sehr schwer den Wahrscheinlichkeitsraum aufzustellen, da ich keine Idee habe, wie ich formulieren kann, dass sie nebeneinanderstehen sollen/müssen. Habe zwei Varianten erarbeitet 1. Omega={w1,w2,...,w12|wi [mm] \in [/mm] {krank,gesund} für i=1,2,...,12} 2. Omega={w1,w2,...,w6|wi [mm] \in [/mm] {1,2,...,12} für i=1,2,...,6} Ich weiß, bereits, dass es 7 Möglichkeiten gibt die 6 kranken Bäume bei den 12 Bäumen nebeneinander stehen zu lassen. Habe auch bereits erarbeitet, dass es n+1-k/n über k die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist, aber wie ich das in meinem Omega definiere ist mir leider schleierhaft. Vielen Dank im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In einer Allee stehen 12 Bäume in einer Reihe, davon sind
> 6 erkrankt. Wie groß ist unter der Annahme, dass die
> Bäume unabhängig voneinand erkrank werden, die
> Wahrscheinlichkeit, dass die erkrankten Bäume alle
> nebeneinander stehen? (Geben Sie auch den
> Wahrscheinlichkeitsraum an!)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe mir den Wahrscheinlichkeitsraum so überlegt - für Kritik bin ich durchaus offen:
Die sechs erkrankten Bäume können an 6 von 12 möglichen Positionen stehen.
Also kann ich als Wahrscheinlichkeitsraum die 6-elementigen Teilmengen von [mm] \{1,2,...,11,12\} [/mm] nehmen:
[mm] \Omega=\{A\subseteq\{1,2,...,11,12\}| |A|=6\},
[/mm]
[mm] |\Omega|=\vektor{12\\6}.
[/mm]
Die für die Aufgabenstellung günstigen Ereignisse sind die 7 Teilmengen, die aufeinander folgende Zahlen enthalten,
und damit ist man dann auch schon bei der von Dir ermittelten Wahrscheinlichkeit,
welche Du möglicherweise mit ganz anderen Überlegungen gefunden hast.
LG Angela
> Welche Wahrscheinlichkeit
> erhalten Sie für das oben genannte Ereignis (die
> erkrankten Bäume stehen alle nebeneinander),wenn in der
> Allee n Bäume in einer Reihe stehen und von diesen k
> erkrankt sind? [...]
> Ich weiß, bereits, dass
> es 7 Möglichkeiten gibt die 6 kranken Bäume bei den 12
> Bäumen nebeneinander stehen zu lassen. Habe auch bereits
> erarbeitet, dass es n+1-k/n über k die entsprechende
> Wahrscheinlichkeit ist
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Erstmal vielen Dank für die nette Begrüßung und für die Antwort. Eines erschließt sich mir aus Deiner Antwort/Idee nicht. Wenn |A|=6 warum sagt das aus, dass die Bäume nebeneinander stehen. A={1,3,5,7,9,11} ist |A|=6 und Teilmenge von Omega, aber die Bäume stehen nicht nebeneinander. Oder bin ich da auf dem falschen Weg? Viele Grüße
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Hallo,
> Erstmal vielen Dank für die nette Begrüßung und für die
> Antwort. Eines erschließt sich mir aus Deiner Antwort/Idee
> nicht. Wenn |A|=6 warum sagt das aus, dass die Bäume
> nebeneinander stehen.
Das sagt es nicht aus, sondern es sagt aus, dass es 6 Bäume sind und dient einfach der Definition des Wahrscheinlichkeitsraumes.
> A={1,3,5,7,9,11} ist |A|=6 und
> Teilmenge von Omega, aber die Bäume stehen nicht
> nebeneinander. Oder bin ich da auf dem falschen Weg?
angela.h.b. hat dir doch
- [mm] |\Omega| [/mm] angegeben
- die Anzahl der günstigen Ergebnisse genannt. Was ist denn jetzt noch unklar?
Gruß, Diophant
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> Erstmal vielen Dank für die nette Begrüßung und für die
> Antwort. Eines erschließt sich mir aus Deiner Antwort/Idee
> nicht. Wenn |A|=6 warum sagt das aus, dass die Bäume
> nebeneinander stehen. A={1,3,5,7,9,11} ist |A|=6 und
> Teilmenge von Omega, aber die Bäume stehen nicht
> nebeneinander. Oder bin ich da auf dem falschen Weg?
So ganz auf dem falschen Weg bist Du nicht.
[mm] \Omega [/mm] enthält sämtliche möglichen Positionen, auf denen die 6 kranken Bäume stehen können - völlig unabhängig davon, ob sie nebeneinanderstehen oder nicht. In [mm] \Omega [/mm] sind natürlich auch die sieben 6-elementigen Teilmengen enthalten, die anzeigen, daß die Bäume nebeneinanderstehen.
Und mit [mm] "Wahrscheinlichkeit=\bruch{Anzahl\quad der\quad guenstigen\quad Moeglichkeiten}{Anzahl\quad der\quad Moeglichkeiten}"
[/mm]
bekommst Du die Wahrscheinlichkeit - welche man sich aber auch mit anderen Überlegungen hätte erschließen können.
LG Angela
> Viele
> Grüße
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