Was bedeutet dieses R --> R < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Matze92 |
Hallo,
ich lerne gerade und sehe im Internet oftmals folgende Ausdrücke:
g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
oder
g: [mm] \IR^2 \to \IR
[/mm]
dabei sind g irgendwelche Funktionen.
Kann mir jemand erklären, was dies bedeutet? bzw. wie man das lesen muss?
Vielen Dank!
Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Matze!
> Hallo,
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> ich lerne gerade und sehe im Internet oftmals folgende
> Ausdrücke:
>
> g: [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
> oder
>
> g: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
>
> dabei sind g irgendwelche Funktionen.
>
> Kann mir jemand erklären, was dies bedeutet? bzw. wie man
> das lesen muss?
Eine Funktion ist eine (eindeutige) Zuordnung von Elementen einer Menge und Elementen einer anderen Menge.
In deinem ersten Beispiel [mm]g: \green{\mathbb R} \rightarrow\blue{\mathbb R}[/mm] wird durch g den Elementen aus [mm]\green{\mathbb R}[/mm] je ein Element aus [mm]\blue{\mathbb R}[/mm] zugeordnet.
Bei [mm]g:\green{\mathbb R^2}\rightarrow\blue{\mathbb R}[/mm] wird einem Element aus [mm]\green{\mathbb R^2}[/mm] ein Element aus [mm]\blue{\mathbb R}[/mm] zugeordnet.
Zu lesen ist das etwa so: "Die Funktion g bildet Elemente von [mm]\mathbb R^2[/mm] auf [mm]\mathbb R[/mm] ab." Oder "g geht von [mm]\mathbb R^2[/mm] nach [mm]\mathbb R[/mm]."
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Matze92 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Verstehe ich es richtig, dass z.B.:
g: [mm] \IR \to \IR [/mm] wäre z.B: g=2 [mm] \cdot [/mm] x
und
g: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] wäre z.B: [mm] g=\sqrt(x)
[/mm]
Also quasi das was passiert, wenn ich eine Variable reinstecke, was für ein Funktionswert herauskommt?
Gruß
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Hi Matze,
> Hallo,
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> vielen Dank für deine Antwort.
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> Verstehe ich es richtig, dass z.B.:
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> g: [mm]\IR \to \IR[/mm] wäre z.B: g=2 [mm]\cdot[/mm] x
Ja, das wäre ein Beispiel. Besser wäre aber, wenn du das anders schreibst:
[mm] g:\IR\to\IR,\ [/mm] g(x)=2x
Noch einmal zur Verdeutlichung: Du hast ein Element x aus [mm] \IR [/mm] und bildest es auf ein g(x) in dem Zielbereich [mm] \IR [/mm] ab. Man schreibt auch: [mm] x\mapsto{2x}
[/mm]
Oder allgemeiner:
[mm] g:A\to{B},\ A\ni{a}\mapsto{b}\in{B}
[/mm]
Hier bildest du durch eine Funktionsvorschrift g ein Element a aus der Menge A auf das Element b aus der Menge B ab.
>
> und
>
> g: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] wäre z.B: [mm]g=\sqrt(x)[/mm]
Das wäre falsch. Hier brauchst du zwei Variablen, die du in eine Funktionsvorschrift einsetzt und dann genau ein Wert herausbekommst.
Es ist [mm] \IR^2=\IR\times\IR, [/mm] also sozusagen: [mm] \IR [/mm] "mal" [mm] \IR
[/mm]
Wir brauchen nun also zwei Elemente, sagen wir x und y, wobei beide aus [mm] \IR [/mm] sind. Beachte aber: Das x ist zum Beispiel aus dem ersten [mm] \IR [/mm] und das y aus dem zweiten [mm] \IR. [/mm] Weiter unten schreibe ich noch einmal den allgemeineren Fall, da wird der Unterschied deutlich.
So, wir stecken also zwei Variablen rein, aber das Ergebnis soll nur einen Zahlenwert liefern. Möglich wäre also zum Beispiel folgendes:
[mm] $g:\IR^2\to\IR,\ [/mm] g(x,y)=x+y$
Oder eben anders geschrieben: [mm] (x,y)\mapsto{x+y}
[/mm]
Der allgemeinere Fall:
Wir haben zwei Mengen A und B, sowie die Zielmenge C.
Nun wollen wir eine Abbildung [mm] g:A\times{B}\to{C}. [/mm] Sei dazu [mm] a\in{A} [/mm] und [mm] b\in{B}, [/mm] dann ist [mm] (a,b)\in{A\times B} [/mm] und so erhalten wir
[mm] g:A\times{B}\to{C},\ (a,b)\mapsto{c}\in{C}
[/mm]
Ist dir das ganze nun etwas verständlicher?
Vielleicht mal zur Übung:
Gib ein Beispiel einer Funktionsvorschrift an für
a) [mm] f:\IR^3\to\IR
[/mm]
b) [mm] g:\IR^2\to\IR^2
[/mm]
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> Also quasi das was passiert, wenn ich eine Variable
> reinstecke, was für ein Funktionswert herauskommt?
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Matze92 |
Wow, super. Danke!
Also gibt mir das [mm] \IR [/mm] an in welchem Raum ich mich befinde bzw. von wievielen Variablen meine Funktionsvorschrift abhängig ist.
Für die Aufgaben hätte ich nun folgende Lösungen:
f : [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] f(x,y,z)=x [mm] \cdot [/mm] y [mm] \cdot [/mm] z
es wäre ja auch möglich x+y+z, so wie du es zuvor beschrieben hast.
Aber ich denke, wenn ich für alle Variablen einen Wert einsetzte, kommt auch bei der Multiplikation ein Wert heraus. Dann müsste dies ja auch gehen.
Für die zweite bin ich mir unsicher:
Da gibt es wieder zwei Variablen und die Zielmenge befindet sich auch im [mm] \IR^2. [/mm] Ich stelle mir das gerade mit Einheiten vor, sodass ich hier gesagt hätte:
g : [mm] \IR^2 \to \IR^2, [/mm] f(x,y)=x [mm] \cdot [/mm] y
Aus folgendem Beispiel heraus:
Länge x und Breite y sind zwei Variablen nun möchte ich wieder was im [mm] \IR^2 [/mm] haben, daher:
g(x,y)=x [mm] \cdot [/mm] y = [m [mm] \cdot [/mm] m] = [mm] m^2 \to \IR^2
[/mm]
Wenn das so stimmt, dann wäre meine Lösung für den ersten Fall (x*y*z) allerdings falsch.
Evtl. ist das doch noch etwas zu hoch für mich 
Nun würde ich es dennoch gerne wissen :p
Über eine Antwort würde ich mich freuen.
Vielen Dank!
Gruß
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> Wow, super. Danke!
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> Also gibt mir das [mm]\IR[/mm] an in welchem Raum ich mich befinde
> bzw. von wievielen Variablen meine Funktionsvorschrift
> abhängig ist.
>
> Für die Aufgaben hätte ich nun folgende Lösungen:
>
> f : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] f(x,y,z)=x [mm]\cdot[/mm] y [mm]\cdot[/mm] z
>
> es wäre ja auch möglich x+y+z, so wie du es zuvor
> beschrieben hast.
Ja, das wäre eine mögliche Lösung,
genauso richtig wäre natürlich f(x,y,z)=x+y*z oder f(x,y,z)=xy^2z oder [mm] f(x,y,z)=5x+y^2z^9 [/mm] oder [mm] f(x,y,z)=(x+y)^2*e^z [/mm] oder ...
> Aber ich denke, wenn ich für alle Variablen einen Wert
> einsetzte, kommt auch bei der Multiplikation ein Wert
> heraus. Dann müsste dies ja auch gehen.
>
> Für die zweite bin ich mir unsicher:
>
> Da gibt es wieder zwei Variablen und die Zielmenge befindet
> sich auch im [mm]\IR^2.[/mm] Ich stelle mir das gerade mit Einheiten
> vor, sodass ich hier gesagt hätte:
Schöne Überlegung, aber das geht in die falsche Richtung.
denn auch [mm] 3m*5m=15m^2 [/mm] ist ja eine Zahl in [mm] \IR.
[/mm]
>
> g : [mm]\IR^2 \to \IR^2,[/mm] f(x,y)=x [mm]\cdot[/mm] y
Was haben wir zur Verfügung und was wollen wir bekommen? Naja, wir suchen ja eine Abbildung [mm] g:\IR\times\IR\to\IR\times\IR. [/mm] Wir stecken also zwei Variablen rein und bekommen zwei Funktionswerte heraus.
Also haben wir:
[mm] g(x,y)=\vektor{g_1(x,y)\\g_2(x,y)}=\vektor{x+y\\xy}
[/mm]
Damit haben wir zwei Werte, nämlich einmal x+y und einmal xy. Und genau das wollen wir ja.
>
>
> Aus folgendem Beispiel heraus:
> Länge x und Breite y sind zwei Variablen nun möchte ich
> wieder was im [mm]\IR^2[/mm] haben, daher:
>
> g(x,y)=x [mm]\cdot[/mm] y = [m [mm]\cdot[/mm] m] = [mm]m^2 \to \IR^2[/mm]
>
>
> Wenn das so stimmt, dann wäre meine Lösung für den
> ersten Fall (x*y*z) allerdings falsch.
>
> Evtl. ist das doch noch etwas zu hoch für mich
Quatsch! Die Überlegungen sind sehr einfach und wenn es erst einmal Klick gemacht hat, fällt dir alles von den Schuppen.
Vielleicht mal ein kleines Anwendungsbeispiel.
gegeben sei ein Rechteck und wir wollen eine Funktion angeben, die Umfang und Flächeninhalt bei gegebenen Seitenlängen sofort berechnet. Wir nennen diese Funktion mal R und die Seitenlängen bezeichnen wir mit a und b.
Dann benötigen wir also zwei Variablen, die wir in die FUnktion hineinstecken (also a und b) und wir brauchen zwei Werte die herauskommen, nämlich Flächeninhalt und Umfang. Also:
[mm] R:\IR^2\to\IR^2
[/mm]
Strenggenommen können wir sogar [mm] \IR_+ [/mm] annehmen, da ja die Seitenlängen, Umfang und Flächeninhalt gewiss positiv sind.
Nun basteln wir uns die Funktion:
[mm] R:\IR^2\to\IR^2,\ R(x,y)=\vektor{U(x,y)\\A(x,y)}=\vektor{2(x+y)\\x*y}
[/mm]
Ja, das war es schon. In der oberen Zeile steht der Umfang und unten drunter der Flächeninhalt.
(Ob solch' eine Funktion nun sinnvoll ist, oder nicht, mag jeder selbst entscheiden  )
Soweit so klar?
>
> Nun würde ich es dennoch gerne wissen :p
> Über eine Antwort würde ich mich freuen.
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Matze92 |
Super!
Nun ist alles klar.
Toll erklärt! :D
Vielen Dank!!!!
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