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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Wendepunkte Exp-Funktion
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Wendepunkte Exp-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Sa 11.03.2017
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich versuche gerade, die Wendepunkte der Funktion [mm] f(t)=\bruch{e^t}{(1+e^t)^2} [/mm] zu berechnen.

Als Ableitungen habe ich mit Quotientenregel:

[mm] f'(t)=\bruch{e^t(1-e^t)}{(1+e^t)^3} [/mm]

[mm] f''(t)=\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2} [/mm]

Wenn ich jetzt die zweite Ableitung gleich 0 setze, bekommen ich zwei verschiedene Lösungswege:

Lösungsweg 1

$f''(t)=0$

[mm] \bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0 [/mm]     | [mm] *(1+e^t)^2 [/mm]

[mm] 2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0 [/mm]     | Nullproduktsatz

I     [mm] 2e^t=0 [/mm]     (geht nicht)

II    [mm] -1+e^t-e^{2t}=0 [/mm]     | Logarithmus
       [mm] ln(-1)+ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(0) [/mm]

$ln(-1)$ und $ln(0)$ kann ich aber nicht berechnen.

Lösungsweg 2

$f''(t)=0$

[mm] \bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0 [/mm]     | [mm] *(1+e^t)^2 [/mm]

[mm] 2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0 [/mm]     | Nullproduktsatz

I     [mm] 2e^t=0 [/mm]     (geht nicht)

II    [mm] -1+e^t-e^{2t}=0 [/mm]     | +1
       [mm] e^t-e^{2t}=1 [/mm]          | Logarithmus
       [mm] ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(1) [/mm]
       $t*ln(e)-2t*ln(e)=0$
       $t*1-2t*1=0$
       t-2t=0
       -t=0
       t=0

Welcher Lösungsansatz ist denn jetzt richtig?

Vielen Dank schonmal :-)

VG, Nadine

        
Bezug
Wendepunkte Exp-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Sa 11.03.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
> Ich versuche gerade, die Wendepunkte der Funktion
> [mm]f(t)=\bruch{e^t}{(1+e^t)^2}[/mm] zu berechnen.
>  
> Als Ableitungen habe ich mit Quotientenregel:
>  
> [mm]f'(t)=\bruch{e^t(1-e^t)}{(1+e^t)^3}[/mm]
>  
> [mm]f''(t)=\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt die zweite Ableitung gleich 0 setze,
> bekommen ich zwei verschiedene Lösungswege:
>  
> Lösungsweg 1
>  
> [mm]f''(t)=0[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0[/mm]     | [mm]*(1+e^t)^2[/mm]
>  
> [mm]2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0[/mm]     | Nullproduktsatz
>  
> I     [mm]2e^t=0[/mm]     (geht nicht)
>  
> II    [mm]-1+e^t-e^{2t}=0[/mm]     | Logarithmus
>         [mm]ln(-1)+ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(0)[/mm]
>  
> [mm]ln(-1)[/mm] und [mm]ln(0)[/mm] kann ich aber nicht berechnen.
>  
> Lösungsweg 2
>  
> [mm]f''(t)=0[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0[/mm]     | [mm]*(1+e^t)^2[/mm]
>  
> [mm]2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0[/mm]     | Nullproduktsatz
>  
> I     [mm]2e^t=0[/mm]     (geht nicht)
>  
> II    [mm]-1+e^t-e^{2t}=0[/mm]     | +1
>         [mm]e^t-e^{2t}=1[/mm]          | Logarithmus
>         [mm]ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(1)[/mm]
>         [mm]t*ln(e)-2t*ln(e)=0[/mm]
>         [mm]t*1-2t*1=0[/mm]
>         t-2t=0
>         -t=0
>         t=0
>  
> Welcher Lösungsansatz ist denn jetzt richtig?


Keiner !  Du wendest "Regeln" an die es nicht  gibt!  Gell: manchmal  weiß  man Sachen, die gar nicht stimmen. Das  tut  weh.

Jedenfalls kannst  Du die Regel

ln(a+b)=ln (a)+ln (b)


in die Tonne treten.


tipp :

setze [mm] x=e^{t}. [/mm]  Das führt  auf eine quadratische Gleichung für  x.



>  
> Vielen Dank schonmal :-)
>  
> VG, Nadine


Bezug
                
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Wendepunkte Exp-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Sa 11.03.2017
Autor: Pacapear

Oooohhh, verdammt!

Also nochmal:

[mm] 2e^t*(-1+e^t-e^{2t})=0 [/mm]     | Nullproduktsatz

I     [mm] 2e^t=0 [/mm]     (geht nicht)

II     [mm] -1+e^t-e^{2t}=0 [/mm]     | Substitution: [mm] x=e^t [/mm]
        [mm] -1+x-x^2=0 [/mm]
        [mm] -x^2+x-1=0 [/mm]     | :(-1)
        [mm] x^2-x+1 [/mm]         | pq-Formel: p=-1, q=1
        [mm] x_{1,2}=-\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-1}{2})^2-1} [/mm]

Diese Gleichung hat keine Lösung.

Das würde ja eigentlich heißen, dass es keine Wendepunkte gibt.

Ein Online-Rechner spuckt mir allerdings für die Wendenpunkte die Ergebnisse [mm] W_1(-1,32|0,17) [/mm] und [mm] W_2(1,32|0,17). [/mm]

Hab ich die Substitution falsch gemacht? [kopfkratz3]

Gruß, Nadine



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Wendepunkte Exp-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Sa 11.03.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Oooohhh, verdammt!

>

> Also nochmal:

>

> [mm]2e^t*(-1+e^t-e^{2t})=0[/mm] | Nullproduktsatz

>

> I [mm]2e^t=0[/mm] (geht nicht)

>

> II [mm]-1+e^t-e^{2t}=0[/mm] | Substitution: [mm]x=e^t[/mm]
> [mm]-1+x-x^2=0[/mm]
> [mm]-x^2+x-1=0[/mm] | :(-1)
> [mm]x^2-x+1[/mm] | pq-Formel: p=-1, q=1

>

> [mm]x_{1,2}=-\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-1}{2})^2-1}[/mm]

>

> Diese Gleichung hat keine Lösung.

>

> Das würde ja eigentlich heißen, dass es keine Wendepunkte
> gibt.

>

> Ein Online-Rechner spuckt mir allerdings für die
> Wendenpunkte die Ergebnisse [mm]W_1(-1,32|0,17)[/mm] und
> [mm]W_2(1,32|0,17).[/mm]

>

> Hab ich die Substitution falsch gemacht? [kopfkratz3]

>

Das Problem ist ein anderes: deine 2. Ableitung ist falsch (die erste stimmt, an der liegt es nicht).


Gruß, Diophant

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Wendepunkte Exp-Funktion: 2. Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 So 12.03.2017
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!
  

> Das Problem ist ein anderes: deine 2. Ableitung ist falsch
> (die erste stimmt, an der liegt es nicht).

Ok, nach mehrmaligem nachrechnen komme ich jetzt auf folgende zweite Ableitung:

[mm] f''(t)=\bruch{e^t*(1-2e^t)*(1+e^t)^3-e^t*(1-e^t)*e^t*3*(1+e^t)^2}{(1+e^t)^6} [/mm]

[mm] =\bruch{e^t*(1+e^t)^2*[(1-2e^t)-(1-e^t)*e^t*3]}{(1+e^t)^6} [/mm]

[mm] =\bruch{e^t*[1-2e^t-(3e^t-3e^{2t})]}{(1+e^t)^4} [/mm]

[mm] =\bruch{e^t*[1-2e^t-3e^t+3e^{2t}]}{(1+e^t)^4} [/mm]

[mm] =\bruch{e^t*(1-5e^t+3e^{2t})}{(1+e^t)^4} [/mm]

Diese Ableitung liefert mir jetzt zwar schonmal zwei mögliche Wendepunkte bei [mm] x_1=1,43 [/mm] und [mm] x_2=0,23 [/mm] , aber das sind noch nicht die Werte, die es sein sollen [haee]

Wäre super, wenn mir nochmal jemand helfen könnte.

VG, Nadine


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Wendepunkte Exp-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 So 12.03.2017
Autor: Martinius

Hallo Pacapear,


ich habe als 2. Ableitung:

[mm] $f''(t)\;=\; \frac{e^t*(e^{2t}-4e^{t}+1)}{(1+e^t)^4}$ [/mm]


LG, Martinius

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Bezug
Wendepunkte Exp-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 So 12.03.2017
Autor: Pacapear


> ich habe als 2. Ableitung:
>  
> [mm]f''(t)\;=\; \frac{e^t*(e^{2t}-4e^{t}+1)}{(1+e^t)^4}[/mm]

Uff, diese Ableitung habe ich jetzt auch endlich raus :-)

Dann geht es für die Wendepunkte wie folgt weiter:

f''(t)=0

[mm]f''(t)\;=\; \frac{e^t*(e^{2t}-4e^{t}+1)}{(1+e^t)^4}=0[/mm]     | [mm] *(1+e^t)^4 [/mm]

[mm] e^t*(e^{2t}-4e^{t}+1)=0 [/mm]     | Nullproduktsatz

I     [mm] e^t=0 [/mm]     (geht nicht)

II     [mm] e^{2t}-4e^{t}+1=0 [/mm]     | Substitution: [mm] x=e^t [/mm]
       [mm] x^2-4x+1=0 [/mm]     | pq-Formel: p=-4, q=1

Damit bekomme ich die Wendestellen [mm] x_1=3,73 [/mm] und [mm] x_2=0,27, [/mm] was leider immer noch nicht die Ergenisse des Online-Rechners sind [haee]

Weiß jemand, wo mein Fehler ist?

VG, Nadine

Bezug
                                                        
Bezug
Wendepunkte Exp-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 So 12.03.2017
Autor: Steffi21

Hallo,

jetzt aber noch Rücksubstitution machen

[mm] e^t=3,73 [/mm]

[mm] e^t=0,27 [/mm]

bzw. genau [mm] ln(2+\wurzel{3}) [/mm] und  [mm] ln(2-\wurzel{3}) [/mm]

Steffi



Bezug
                                                                
Bezug
Wendepunkte Exp-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 Mo 13.03.2017
Autor: Pacapear


> Hallo,
>
> jetzt aber noch Rücksubstitution machen
>  
> [mm]e^t=3,73[/mm]
>  
> [mm]e^t=0,27[/mm]
>  
> bzw. genau [mm]ln(2+\wurzel{3})[/mm] und  [mm]ln(2-\wurzel{3})[/mm]

Oh man, natürlich [bonk]

Damit klappt es!

Vielen Dank :-)

Bezug
                                        
Bezug
Wendepunkte Exp-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 So 12.03.2017
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] f'(t)=\bruch{e^t*(1-e^t)}{(1+e^t)^3} [/mm]

vermutlich stimmt schon der 1. Summand im Zähler nicht

kümmern wir uns zunächst um die Ableitung des Zählers nach Produktregel

Ableitung des Zählers [mm] e^t*(1-e^t): [/mm]

[mm] e^t*(1-e^t)+e^t*(-1)*e^t [/mm]

der Faktor -1 entsteht durch die Kettenregel,

[mm] e^t*(1-e^t)-e^{2t} [/mm]

Ableitung des Nenners [mm] (1+e^t)^3 [/mm]

[mm] 3*(1+e^t)^2*e^t [/mm]

der Faktor [mm] e^t [/mm] entsteht durch die Kettenregel


jetzt hast Du:

[mm] u=e^t*(1-e^t) [/mm]

[mm] u'=e^t*(1-e^t)-e^{2t} [/mm]

[mm] v=(1+e^t)^3 [/mm]

[mm] v'=3*(1+e^t)^2*e^t [/mm]

jetzt Quotientenregel

[mm] f''(t)=\bruch{[e^t*(1-e^t)-e^2^t]*(1+e^t)^3-e^t*(1-e^t) *3*(1+e^t)^2*e^t}{(1+e^t)^6} [/mm]

jetzt kürze [mm] (1+e^t)^2 [/mm]

[mm] f''(t)=\bruch{[e^t*(1-e^t)-e^2^t]*(1+e^t)-e^t*(1-e^t) *3*e^t}{(1+e^t)^4} [/mm]

jetzt eckige Klammer auflösen

[mm] f''(t)=\bruch{e^t*(1-e^t)*(1+e^t)-e^2^t*(1+e^t)-e^t*(1-e^t) *3*e^t}{(1+e^t)^4} [/mm]

wende auf [mm] (1-e^t)*(1+e^t) [/mm] Binomische Formel an

[mm] f''(t)=\bruch{e^t*(1-e^2^t)-e^2^t*(1+e^t)-3*e^2^t*(1-e^t) }{(1+e^t)^4} [/mm]

im Zähler [mm] e^t [/mm] ausklammern

[mm] f''(t)=\bruch{e^t*[(1-e^2^t)-e^t*(1+e^t)-3*e^t*(1-e^t)] }{(1+e^t)^4} [/mm]

jetzt runde Klammern im Zähler auflösen

[mm] f''(t)=\bruch{e^t*[1-e^2^t-e^t-e^2^t-3*e^t+3*e^2^t] }{(1+e^t)^4} [/mm]

jetzt in der eckigen Klammer zusammenfassen

[mm] f''(t)=\bruch{e^t*[1+e^2^t-4e^t]}{(1+e^t)^4} [/mm]

Steffi





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