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Zeiger einer Uhr: Aufgabe (Sommerloch)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 12:45 Mi 01.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
[]Zifferblatt

(a)   Bilden Stunden- , Minuten- und Sekundenzeiger einer Uhr
      zu irgendeinem Zeitpunkt paarweise exakt Winkel von je 120° ?
      
(b)   Sollte die Antwort auf Frage (a) ein Nein sein:
      Gib einen Zeitpunkt (oder noch besser: alle Zeitpunkte) an, zu
      welchem (welchen) die drei Zeiger dieser "idealen" (Mercedes-)
      Sternkonfiguration am nächsten kommen.
      Im Detail: die maximale Abweichung vom 120° - Winkel soll
      minimal sein.

Diese Aufgabe ist für alle gedacht, die sich das Sommerloch -
ob bei Regenwetter oder Hitze - durch etwas Gehirntraining
auflockern möchten.

Viel Vergnügen !

Al-Chwarizmi

        
Bezug
Zeiger einer Uhr: schön
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mi 01.08.2012
Autor: wieschoo

moin,

a)
da mach ich mal den Anfang. Die Frage ist zwar nicht ganz so präzise. Denkst du da an kontinuierliche Zeiger oder die Bahnhofsuhren?

Ich nehme mal an, dass du eine Zeitangabe h:m:s haben möchtest.

Annahme: Es geht.
Sei nun [mm]h,m,s\in \IN_0[/mm]. Dann sind die entsprechenden Winkel

[mm]\sigma=6*s[/mm]
[mm]\mu=\frac{m}{60}+\frac{s}{3600}*360=6m+\frac{1}{10}s[/mm]
[mm]\eta = 30*h+\frac{1}{2}m + \frac{1}{120}s[/mm]

Nun soll der vom Sekundenzeiger und Minutenzeiger eingeschlossene Winkel 120 ° betragen, also

[mm]\mu=\sigma +120[/mm] oder [mm]\mu=\sigma -120[/mm]

rumrechnen

[mm]6m+\frac{1}{10}s=6s\pm 120[/mm]

also

[mm]m=\frac{59}{60}s\pm \frac{120}{6}=\frac{59}{60}s\pm 20[/mm] . Aber [mm]m\in \IN_0[/mm], also lässt sich s schreiben als

[mm]s=k*\frac{60}{59}[/mm] mit [mm]k\in\IN_0[/mm]

Damit ist auch [mm]m=k\pm 20[/mm].

Zum Stundenzeiger. Ist der vorherige Winkel [mm]\pm 120[/mm], dann ist der Winkel zwischen Stunden- und Sekundenzeiger

[mm]\sigma \pm 240 = \eta[/mm]
[mm]\sigma \pm 240 = 30*h+\frac{1}{2}m + \frac{1}{120}s[/mm]
[mm]6*s \pm 240 = 30*h+\frac{1}{2}(k\pm 20) + \frac{1}{120}s[/mm]
[mm]6*(k\frac{60}{59}) \pm 240 = 30*h+\frac{1}{2}(k\pm 20) + \frac{1}{120}(k\frac{60}{59})[/mm]
[mm]\frac{360}{59}k\pm 240 = 30 h + \frac{30}{59}k+\frac{1}{2}*(\pm 20)= 30 h + \frac{30}{59}k\pm 10[/mm]

vereinfachen
[mm]h=\frac{11}{59}k \pm \frac{23}{2}[/mm]

Also sollte auch [mm]\frac{11}{59}k \pm \frac{23}{2} \in 2\IZ[/mm] gelten. Damit sollte [mm]\frac{k}{2}\in 1+2\IZ[/mm]  und [mm]k=\frac{59}{2}(2j+1)[/mm] für ein j gelten.


Fertig! Geht nicht!

b) da habe ich meine kleine Spieluhr gesucht. Ohne Mathematik sieht 8:00:20 da gut aus.

---------------------------------------------------------

Interessanter ist jedoch:

Unter der Annahme, dass Stundenzeiger (Länge=1/3), Minutenzeiger (Länge 3/4) und Sekundenzeiger (Länge 1) diskret laufen, spannen in jeder Sekunde die Zeigerspitzen ein Dreick auf. Wie groß ist der durchschnittliche Flächeninhalt von diesem Dreieck über den gesamten Tag gemittelt?

gruß
wieschoo


edit: Klammern ergänzt...


Bezug
                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Mi 01.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> moin,
>  
> a)
>  da mach ich mal den Anfang. Die Frage ist zwar nicht ganz
> so präzise. Denkst du da an kontinuierliche Zeiger oder
> die Bahnhofsuhren?


Hallo Wieschoo,

ich habe natürlich an eine "klassische" (kontinuierlich) laufende
Uhr gedacht. Die Uhr auf dem Bildchen, das ich ergoogelt und
beigefügt habe, könnte allerdings eine mit schrittchenweise
laufenden Zeigern sein.

Ich habe nun die Aufgabe nochmals reingestellt und
sie mittels einer "Dummy-Frage" gegen das allzu rasche Wegscrollen
gesichert.
Den Zusatz, dass es sich um eine Uhr mit gleichmäßig
laufenden Zeigern handeln soll, habe ich dabei eingefügt.
Danke dir für diesen Hinweis !

  

> Ich nehme mal an, dass du eine Zeitangabe h:m:s haben
> möchtest.

Im Prinzip kann man die Zeitpunkte natürlich exakt er-
mitteln, was im Endeffekt dann auch Bruchteile von
Sekunden erfordert. Zu bedenken ist ja, dass sich der
Sekundenzeiger in einer Sekunde um einen Winkel von
6° bewegt. Zwei der drei betrachteten Winkel ändern
sich also auch schon innerhalb einer Sekunde erheblich !  
  

> Annahme: Es geht.
>  Sei nun [mm]h,m,s\in \IN_0[/mm]. Dann sind die entsprechenden
> Winkel
>  
> [mm]\sigma=6*s[/mm]
>  [mm]\mu=\frac{m}{60}+\frac{s}{3600}*360=6m+\frac{1}{10}s[/mm]
>  [mm]\eta = 30*h+\frac{1}{2}m + \frac{1}{120}s[/mm]
>  
> Nun soll der vom Sekundenzeiger und Minutenzeiger
> eingeschlossene Winkel 120 ° betragen, also
>  
> [mm]\mu=\sigma +120[/mm] oder [mm]\mu=\sigma -120[/mm]
>  
> rumrechnen
>  
> [mm]6m+\frac{1}{10}s=6s\pm 120[/mm]
>  
> also
>  
> [mm]m=\frac{59}{60}s\pm \frac{120}{6}=\frac{59}{60}s\pm 20[/mm] .
> Aber [mm]m\in \IN_0[/mm], also lässt sich s schreiben als
>  
> [mm]s=k*\frac{60}{59}[/mm] mit [mm]k\in\IN_0[/mm]
>  
> Damit ist auch [mm]m=k\pm 20[/mm].
>  
> Zum Stundenzeiger. Ist der vorherige Winkel [mm]\pm 120[/mm], dann
> ist der Winkel zwischen Stunden- und Sekundenzeiger
>  
> [mm]\sigma \pm 240 = \eta[/mm]
>  [mm]\sigma \pm 240 = 30*h+\frac{1}{2}m + \frac{1}{120}s[/mm]
>  
> [mm]6*s \pm 240 = 30*h+\frac{1}{2}(k\pm 20) + \frac{1}{120}s[/mm]
>  
> [mm]6*(k\frac{60}{59}) \pm 240 = 30*h+\frac{1}{2}(k\pm 20) + \frac{1}{120}(k\frac{60}{59})[/mm]
>  
> [mm]\frac{360}{59}k\pm 240 = 30 h + \frac{30}{59}k+\frac{1}{2}*(\pm 20)= 30 h + \frac{30}{59}k\pm 10[/mm]
>  
> vereinfachen
>  [mm]h=\frac{11}{59}k \pm \frac{23}{2}[/mm]
>  
> Also sollte auch [mm]\frac{11}{59}k \pm \frac{23}{2} \in 2\IZ[/mm]
> gelten. Damit sollte [mm]\frac{k}{2}\in 1+2\IZ[/mm]  und
> [mm]k=\frac{59}{2}(2j+1)[/mm] für ein j gelten.
>  
>
> Fertig! Geht nicht!
>  
> b) da habe ich meine kleine Spieluhr gesucht. Ohne
> Mathematik sieht 8:00:20 da gut aus.
>  
> ---------------------------------------------------------
>  
> Interessanter ist jedoch:
>  
> Unter der Annahme, dass Stundenzeiger (Länge=1/3),
> Minutenzeiger (Länge 3/4) und Sekundenzeiger (Länge 1)
> diskret laufen, spannen in jeder Sekunde die Zeigerspitzen
> ein Dreick auf. Wie groß ist der durchschnittliche
> Flächeninhalt von diesem Dreieck über den gesamten Tag
> gemittelt?

Dies wäre allerdings eine gaaanz andere Aufgabe !


LG
Al-Chwarizmi

Bezug
                        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Link
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 Mi 01.08.2012
Autor: wieschoo

Das mit der Dummy-Frage habe ich vergessen.


Hier ist der andere entsprechende Beitrag:
http://matheraum.de/read?t=905599

Bezug
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