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Zeiger einer Uhr: "Sommerloch"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mi 01.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
[]Zifferblatt

(a)   Bilden Stunden- , Minuten- und Sekundenzeiger einer Uhr
      (es soll eine Uhr mit kontinuierlich laufenden Zeigern sein !)
      zu irgendeinem Zeitpunkt paarweise exakt Winkel von je 120° ?
      
(b)   Sollte die Antwort auf Frage (a) ein Nein sein:
      Gib einen Zeitpunkt (oder noch besser: alle Zeitpunkte) an, zu
      welchem (welchen) die drei Zeiger dieser "idealen" (Mercedes-)
      Sternkonfiguration am nächsten kommen.
      Im Detail: die maximale Abweichung vom 120° - Winkel soll
      minimal sein.



Diese Aufgabe ist für alle gedacht, die sich das Sommerloch -
ob bei Regenwetter oder Hitze - durch etwas Gehirntraining
auflockern möchten.

Viel Vergnügen !

Al-Chwarizmi


Bemerkung: ich habe diese Aufgabe vor ein paar Stunden
schon gestellt - dann wurde sie als "Übungsaufgabe" gekenn-
zeichnet und ist deshalb aus der "normalen" Liste ver-
schwunden. Deshalb stelle ich sie hier nochmals und füge
eine "Dummy-Frage" an, damit die Originalfrage nicht
gleich wieder rausrutscht.

LG   Al
  

        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Dummy-Frage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:44 Mi 01.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Diese "Dummy-Frage" soll dazu dienen, dass die oben stehende
Originalfrage nicht gleich wieder von der Bildfläche verschwindet.
Reagiert deshalb bitte nicht mit Antworten auf die Dummy-Frage,
sondern hängt eure Antworten an die Originalfrage an !

Danke !  Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Sa 01.09.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Vorschlag
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:39 Do 02.08.2012
Autor: wieschoo

hi,

a)

Da sich nun die Aufgabe geändert hat, würde ich die Uhrzeit

0 Uhr [mm]\frac{1427}{33}[/mm] min und [mm]\frac{260}{11}[/mm] sec

vorschlagen.


wobei mir jetzt Teil b) Sorgen macht.

gruß
wieschoo

Bezug
                
Bezug
Zeiger einer Uhr: verstehe nicht ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Do 02.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo wieschoo,

> a) Da sich nun die Aufgabe geändert hat,    [haee]

Die Aufgabe war schon ursprünglich genau so gemeint. Ich
meinte nie eine dieser Uhren, deren Zeiger sprungweise laufen.
Vielleicht hat aber das ausgewählte Bildchen
(http://www.delker-werkzeuge.de/shop/bilder/15155_th.jpg)
tatsächlich eine solche Bahnhofsuhr dargestellt.


> würde ich die Uhrzeit
>  
> 0 Uhr [mm]\frac{1427}{33}[/mm] min und [mm]\frac{260}{11}[/mm] sec    [haee]
>  
> vorschlagen.

Warum gibst du für die Minuten und die Sekunden
gebrochene Werte an ?

Ich kann diese "Lösung" nicht nachvollziehen.

LG    Al

Bezug
                        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Do 02.08.2012
Autor: wieschoo


> Warum gibst du für die Minuten und die Sekunden
>  gebrochene Werte an ?

Weil ich es darf. Unter der Annahme, dass $h,m,s$ Ganzzahlen sind, gibt es KEINE Lösung. (Siehe http://matheraum.de/read?t=905541)

>  
> Ich kann diese "Lösung" nicht nachvollziehen.
>

Du machst mich jetzt völlig unsicher.

> LG    Al


Bezug
                                
Bezug
Zeiger einer Uhr: meine Vorgehensweise
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 Do 02.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend wieschoo,

> > Warum gibst du für die Minuten und die Sekunden
>  >  gebrochene Werte an ?
>  
> Weil ich es darf. Unter der Annahme, dass [mm]h,m,s[/mm] Ganzzahlen
> sind, gibt es KEINE Lösung. (Siehe
> http://matheraum.de/read?t=905541)

Natürlich nehme ich dies auch nicht an. Aber es genügt,
bei den Sekunden allein einen gebrochenen Anteil
zuzulassen.

Ich würde doch nur gerne die allfälligen Zeitpunkte etwa
als Zeitspanne, gemessen ab 0 Uhr (oder 12 Uhr, was aufs
selbe rausläuft) angeben können. Eine solche Zeitspanne
kann ich dann mit t bezeichnen und nach freier Wahl
in Sekunden, Minuten oder Stunden messen. Will ich dann
aber die Zeit in der gewöhnlichen Weise angeben, so kann
ich schreiben

t = h Stunden + m Minuten + (s+ [mm] \frac{z}{n}) [/mm] Sekunden

Dabei sollen h, m, s, z, n nichtnegative ganze Zahlen sein.
(irrationale Werte braucht man bei der Lösung keine).
Deinen angegebenen Wert

0 Uhr $ [mm] \frac{1427}{33} [/mm] $ min und $ [mm] \frac{260}{11} [/mm] $ sec

würde ich zusammenfassen zu

  0 Stunden  + 43 Minuten + [mm] \underbrace{\frac{8}{33} Minuten}_{\frac{8}{33}*60 Sekunden} [/mm] +  [mm] \frac{260}{11} [/mm] Sekunden

=    0 Stunden  + 43 Minuten + [mm] (38+\frac{2}{11}) [/mm] Sekunden

Zu diesem Zeitpunkt bilden aber die drei Zeiger keineswegs
drei 120° - Winkel ...

Für die eigentlichen Rechnungen empfiehlt es sich aber,
nicht drei Variablen h, m, s zu verwenden, sondern eben
nur eine einzige für die Zeit (z.B. in Stunden oder als
Positionswinkel des Stundenzeigers ausgedrückt)
und dann weitere Bezeichnungen für auftretende Winkel.

Ich habe die Aufgabe (b) dann z.B. in folgende Form
gebracht:

[mm] \alpha [/mm] sei der im Gradmaß und im Uhrzeigersinn von 0 Uhr aus
gemessene Positionswinkel des Stundenzeigers.
[mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] seien die ebenso gemessenen Positionswinkel
von Minuten- und Sekundenzeiger. Alle diese Winkel sollen
im Intervall von 0° bis 360° liegen.
Dann gilt:

[mm] \mu=(12*\alpha) [/mm] mod 360
[mm] \sigma=(720*\alpha) [/mm] mod 360

(modulo hier nicht als Ganzzahlfunktion aufgefasst)

Für den Winkel [mm] \varphi [/mm] zwischen Minuten- und Sekundenzeiger
gilt dann zum Beispiel:

[mm] \varphi [/mm] = min [mm] (|\mu-\sigma|,360-|\mu-\sigma|) [/mm]

Für die anderen zwei Zwischenwinkel [mm] \psi [/mm] und [mm] \omega [/mm] hat man analoge Formeln.
Natürlich sind alle diese Winkel von der Hauptvariablen [mm] \alpha [/mm]
abhängig.

Nun kann man die Funktion

  [mm] $\alpha\ \mapsto\ D(\alpha)\ [/mm] =\ max(\ [mm] |\varphi(\alpha)-120|\ [/mm] ,\ [mm] |\psi(\alpha)-120|\ [/mm] ,\ [mm] |\omega(\alpha)-120|\ [/mm] )$

betrachten und sich dann um deren Minima kümmern. Das
geht natürlich nicht mit Differentialrechnung, denn die Minima
liegen an Stellen, wo der Graph von D Knicke hat.

Eine Übersicht über die ungefähr zu erwartenden Werte der
Minima habe ich mir mittels Skizzen und einem Programm
verschafft. In der Umgebung der interessanten Stellen
(am Schluss blieb bis auf eine einfache Spiegelsymmetrie
für ein absolutes Minimum nur eine einzige übrig) kamen
dann Zusatzüberlegungen zum Zug.
Dazu musste ich einfach die beteiligten Modulo-
und Betragsfunktionen in einem kleinen Intervall durch
lineare Funktionen ersetzen. Das Minimum (der Knick des
Graphen) ergibt sich dann als Schnittpunkt zweier Geraden.
Dies erklärt auch, dass keine irrationalen Ergebnisse
herauskommen.


LG   Al-Chw.



Bezug
                                        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:50 Fr 03.08.2012
Autor: wieschoo

Ich versteh nun auch, was falsch ist. Ich hätte annehmen müssen, dass h und m Ganzzahlen sind.

Danke dir auf jeden Fall für die Aufgabe. So wie ich deine Lösung nun verstehe kann man das die beste Zeigerkonstellation nur numerisch (u.a. Subgradientenverfahren) bestimmen.




Bezug
                                                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:14 Fr 03.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> So wie ich deine
> Lösung nun verstehe kann man die beste
> Zeigerkonstellation nur numerisch (u.a.
> Subgradientenverfahren) bestimmen.


Eigentliche "numerische" (Näherungs-) Verfahren sind
nicht erforderlich. Die Minimalstellen lassen sich
exakt durch den Schnitt von Geraden ermitteln.
Die entsprechenden Geraden findet man, indem man
jeweils für ein kleines Intervall die Modulo- und
Betragsfunktionen in der Funktion D mit

     $\ [mm] D(\alpha)\ [/mm] =\ max(\ [mm] |\varphi(\alpha)-120|\ [/mm] ,\ [mm] |\psi(\alpha)-120|\ [/mm] ,\ [mm] |\omega(\alpha)-120|\ [/mm] ) $

(siehe Vorgehensweise)  aufdröselt.

Nur die Suche nach möglichen Anwärtern für geeignete
Intervalle, in welchen vermutete absolute Minimal-
stellen liegen könnten, kann nicht so leicht "elegant"
durchgeführt werden. Dazu habe ich ein kleines
Hilfsprogramm gemacht.

LG    Al

Bezug
        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Do 02.08.2012
Autor: ullim

Hi,


die von wieschoo vorgeschlagene Lösung ist eine. Es gibt aber noch mehr, z.B.

1 Uhr und [mm] \bruch{1604}{33} [/mm] Minuten und [mm] \bruch{320}{11} [/mm] Skunden

2 Uhr und [mm] \bruch{1781}{33} [/mm] Minuten und [mm] \bruch{380}{11} [/mm] Skunden

3 Uhr und [mm] \bruch{1958}{3} [/mm] Minuten und [mm] \bruch{440}{11} [/mm] Skunden

Wahrscheinlich sind das aber auch nicht alle Lösungen

Bezug
                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:56 Fr 03.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi,
>  
>
> die von wieschoo vorgeschlagene Lösung ist eine. Es gibt
> aber noch mehr, z.B.
>  
> 1 Uhr und [mm]\bruch{1604}{33}[/mm] Minuten und [mm]\bruch{320}{11}[/mm]  Sekunden
>  
> 2 Uhr und [mm]\bruch{1781}{33}[/mm] Minuten und [mm]\bruch{380}{11}[/mm]  Sekunden
>  
> 3 Uhr und [mm]\bruch{1958}{3\red{3}}[/mm] Minuten und [mm]\bruch{440}{11}[/mm]  Sekunden  (korrigiert)
>  
> Wahrscheinlich sind das aber auch nicht alle Lösungen


Hallo ullim,

nehmen wir beispielsweise den Fall

> 2 Uhr und [mm]\bruch{1781}{33}[/mm] Minuten und [mm]\bruch{380}{11}[/mm]  Sekunden

Dies lässt sich verwandeln zu 2.909090... h = [mm] \frac{32}{11} [/mm] h

Zu diesem Zeitpunkt, also um 2 Uhr, 54 Minuten und (32 + [mm] \frac{8}{11}) [/mm] Sekunden,
bilden zwar der Stunden- und der Minutenzeiger exakt einen 120° - Winkel,
aber die Winkel zum Sekundenzeiger passen nicht ganz. Der
größte Winkel (zwischen Minuten- und Sekundenzeiger) beträgt
130.909090...° , ist also um über 10° "zu groß".

Ganz dicht neben diesem Zeitpunkt, nämlich bei

[mm] \frac{2092}{719} [/mm] h = 2.90959666203... h oder um

2 Uhr, 54 Minuten und (34 + [mm] \frac{394}{719}) [/mm] Sekunden,

ist zwar der Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger um einen
winzigen Betrag [mm] \Delta\varphi [/mm] kleiner als 120°, jener zwischen Minuten-
und Sekundenzeiger liegt um denselben winzigen Betrag [mm] \Delta\varphi [/mm]
über 120°. Der Winkel zwischen Stunden- und Sekundenzeiger ist
exakt 120°. Zudem ist dieses [mm] \Delta\varphi=\frac{120}{719} [/mm] Grad, also etwa zehn
Bogenminuten, die geringste maximale Winkelabweichung vom
Idealwert 120°, welche überhaupt möglich ist.

LG

Al-Chwarizmi





Bezug
        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Do 02.08.2012
Autor: M.Rex

Vo der ersten Lösung ausgehend, müsste es noch 11 weitere Lösungen geben, jeweils exakt 1 Stunde, 5 Minuten und 5 Sekunden später.

Außerdem müsste man dasselbe nochmal durchführen, aber mit zwei vertauschten Zeigern, beispielsweise den Minuten und den Sekundenzeiger.

Also müsste es meiner Meinung nach insgesamt 24 Möglichkeiten geben.

Marius


Bezug
                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Do 02.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo wieschoo, ullim und Marius !

wenn ihr alle drei Lösungen zu Aufgabe (a) gefunden zu
haben glaubt, so bleibt mir nur der Schluss, dass offenbar
die Frage missverstanden worden ist.

Es wird ja verlangt, dass alle drei Winkel [mm] \alpha, \beta, \gamma, [/mm] welche sich
zwischen je zwei Zeigern bilden, gleich 120° sind.
Weil jedoch  [mm] \alpha+\beta+\gamma [/mm] = 360° ist, ergeben sich
daraus effektiv 2 Gleichungen, wobei aber jeweils
verschiedene Vorzeichenvarianten zu berücksichtigen
sind. Nach meiner Untersuchung gibt es jedenfalls
keinen Zeitpunkt, in dem wirklich alle Bedingungen
exakt erfüllt sind.

Bei der Aufgabe (b) ist mein vorläufiges Ergebnis, dass
die kleinstmögliche Maximalabweichung, also
min(max [mm] (|\alpha-120^{\circ}| [/mm] , [mm] |\beta-120^{\circ}| [/mm] , [mm] |\gamma-120^{\circ}|) [/mm]
ein wenig mehr als 1/6 Bogengrad ist, exakt 120/719 Grad.
Dieses Minimum wird nur für zwei zur vertikalen
Symmetrieachse symmetrische Zeigerkonfigurationen
angenommen.
Es gibt andere Minima, aber die haben größere Werte.
Ich muss die Rechnungen aber noch überprüfen.

LG   Al-Chwarizmi

Bezug
                        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Do 02.08.2012
Autor: wieschoo

Gibt man die Zeit im Format h:m:s mit [mm]h,m,s[/mm] aus geeigneten Intervallen [mm] $\subset \IR$ [/mm] an, so kann man sich folgendes überlegen.

Ausgehend von der Stellung der Zeiger zur Zwölf lassen sich die Winkel wie folgt angeben

[mm] \sigma=6\cdot{}s [/mm]      Winkel vom Sekundenzeiger
[mm] \mu=6m+\frac{1}{10}s [/mm]  Winkel vom Minutenzeiger
[mm] \eta = 30\cdot{}h+\frac{1}{2}m + \frac{1}{120}s [/mm] Winkel vom Stundenzeiger

Es sollte offensichtlich

(*)          [mm] \mu=\sigma +120 [/mm]  und  [mm] \eta= \sigma -120 [/mm]

gelten.
Der Winkel vom Minutenzeiger ist Winkel vom Sekundenzeiger + 120 °.
Der Winkel vom Stundenzeiger ist Winkel vom Sekundenzeiger - 120 °.

[Dateianhang nicht öffentlich]


Man hat drei Unbekannt h,m,s und zwei Gleichungen (*)

Daraus resultiert

[mm]h\;[/mm] beliebig (passend)

[mm]m={\frac {59}{11}}\,h+{\frac {1427}{33}}[/mm]

[mm]s={\frac {60}{11}}\,h+{\frac {260}{11}}[/mm]

Edit:
Mann muss noch annehmen, dass [mm] $\red{m,h\in \IN}$ [/mm] gilt.


mit h=0 kommt man auf mein Ergebnis. ullim hat die Lösung für [mm]h\in \{1,2,3\}[/mm].
Wenn mich es nicht täuscht, dann sind die Lösungen
[mm]\mathbb{L}=\left\{ (h,m,s)=(h,{\frac {59}{11}}\,h+{\frac {1427}{33}},{\frac {60}{11}}\,h+{\frac {260}{11}})\; |\; h\in [0,12]\wedge s,m\in [0,60) \right\}[/mm]
hoffentlich bin ich nicht total blind.
Bin gerade zu faul zum Nachdenken, ob es noch weitere Lösungen gibt. Ich denke schon, dass M.Rex richtig liegt und der Fall
Der Winkel vom Minutenzeiger ist Winkel vom Sekundenzeiger - 120 °.
Der Winkel vom Stundenzeiger ist Winkel vom Sekundenzeiger + 120 °.
noch betrachtet werden kann.


gruß
wieschoo




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:59 Do 02.08.2012
Autor: ullim

Hi,

wahrscheinlich muss mm [mm] \in \IN [/mm] gelten und das wird nicht unbedingt lösbar sein. Ich habe aber auch den gleichen fehler gemacht.

Bezug
                                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:55 Fr 03.08.2012
Autor: wieschoo


> Hi,
>  
> wahrscheinlich muss mm [mm]\in \IN[/mm] gelten und das wird nicht
> unbedingt lösbar sein. Ich habe aber auch den gleichen
> fehler gemacht.

Das versteh ich jetzt auch.

Dann würde ich den Teil oben abändern wollen:

Wenn man auf

[mm]h\;[/mm] beliebig (passend)
[mm]m={\frac {59}{11}}\,h+{\frac {1427}{33}}[/mm]
[mm]s={\frac {60}{11}}\,h+{\frac {260}{11}}[/mm]

kommt, dann kann [mm]h,m\in\IN[/mm] leider nicht gelten.

gruß
wieschoo



Bezug
                                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Sa 04.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 Fr 03.08.2012
Autor: reverend

Hallo Al,

eine interessante Aufgabe!
Ich habe sie gestern nur kurz gelesen, aber dann doch den späten Abend mit ihr verbracht, nach einem wunderbaren bretonischen Abendessen an einem kleinen Fischerhafen (Doëlan), wonach der erste verregnete Urlaubsabend mit einem guten Wein das richtige „Setting“ für diese Knobelei war.

Die Funktion der Abweichung von der Sollstellung ist spannend. Wenn man den Winkel zwischen zwei Zeigern als [mm] \le 180^{\circ} [/mm] definiert, kann die Gesamtabweichung von der „Mercedesstern-Position“ ja nicht [mm] >360^{\circ} [/mm] werden. Dieser Funktionswert wird in der Startposition der Uhr, also Mitternacht oder Mittag, erreicht.

Ansonsten gibt es aber immer wieder vollkommen konstante Strecken bei [mm] 120^{\circ} [/mm] Abweichung, und jede Minute ein lokales Minimum und ein lokales Maximum. Klar.

Zu erwarten waren aber 22 (nämlich zweimal elf) lokale Minima, von denen aufgrund der Symmetrie zur 6-Uhr-Stellung bzw. zur 12-Uhr-Stellung gerade zwei den Aufgabenteil b) lösen sollten.

Dazu muss man aber doch einige wenige mehr untersuchen, siehe unten.

Ich habe mal einen noch zu groben Ansatz gewählt; für die Praxis wäre er sicher ausreichend.
Damit wird die minimale Abweichung erreicht nach [mm] 10474\bruch{217}{396}s [/mm] und (symmetrisch) [mm] 32725\bruch{179}{396}s, [/mm] gerechnet ab Nullstellung.

Allerdings beträgt dann die Abweichung vom Soll immer noch etwas unter 20’02’’, also viel mehr, als Du gestern annahmst.
Den genauen Wert kannst Du ja leicht bestimmen.

Noch eine Beobachtung:
Sei [mm] \Delta{t}:=\bruch{1}{33}\left(43200-4*\left(60+\bruch{1}{12}\right)\right) [/mm]

Dann liegen die zu untersuchenden Minima alle jeweils [mm] \Delta{t}, \Delta{t}+60\bruch{1}{12}, 2*\Delta{t} [/mm] oder [mm] 2*\Delta{t}+60\bruch{1}{12} [/mm] vom jeweils nächsten entfernt. Gerade hierin liegt wohl die Schwierigkeit der Aufgabe begründet. Da man ja ohne Gaußklammern nicht auskommt, hat man eben solche Unannehmlichkeiten…

So exakt wie sie sich liest, ist diese Lösung übrigens noch gar nicht! Mir scheint, dass die exakte Lösung den Term [mm] \bruch{121}{1440} [/mm] beinhalten könnte.
Sei [mm] \tau:=60+\bruch{121}{1440} [/mm]
und [mm] \Delta{t}=\bruch{1}{33}(43200-4\tau) [/mm]
Dann ist das erste globale Minimum bei [mm] 8*\Delta{t}+\tau [/mm] erreicht.
Wie Du sehen wirst, ist der Wert der Abweichung in der Tat so noch etwas niedriger.
Der Weg aber bleibt im Prinzip der gleiche. Mehr dazu nach meiner Rückkehr (Sonntag Abend), also nächste Woche.

So, den Rest lasse ich Dir (und Euch) mal. ;-)

Liebe Grüße
reverend



Bezug
                
Bezug
Zeiger einer Uhr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 03.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  
> eine interessante Aufgabe!
>  Ich habe sie gestern nur kurz gelesen, aber dann doch den
> späten Abend mit ihr verbracht, nach einem wunderbaren
> bretonischen Abendessen an einem kleinen Fischerhafen
> (Doëlan), wonach der erste verregnete Urlaubsabend mit
> einem guten Wein das richtige „Setting“ für diese
> Knobelei war.
>  
> Die Funktion der Abweichung von der Sollstellung ist
> spannend. Wenn man den Winkel zwischen zwei Zeigern als [mm]\le 180^{\circ}[/mm]
> definiert, kann die Gesamtabweichung von der
> „Mercedesstern-Position“ ja nicht [mm]>360^{\circ}[/mm] werden.
> Dieser Funktionswert wird in der Startposition der Uhr,
> also Mitternacht oder Mittag, erreicht.
>  
> Ansonsten gibt es aber immer wieder vollkommen konstante
> Strecken bei [mm]120^{\circ}[/mm] Abweichung, und jede Minute ein
> lokales Minimum und ein lokales Maximum. Klar.
>  
> Zu erwarten waren aber 22 (nämlich zweimal elf) lokale
> Minima, von denen aufgrund der Symmetrie zur 6-Uhr-Stellung
> bzw. zur 12-Uhr-Stellung gerade zwei den Aufgabenteil b)
> lösen sollten.
>  
> Dazu muss man aber doch einige wenige mehr untersuchen,
> siehe unten.
>  
> Ich habe mal einen noch zu groben Ansatz gewählt; für die
> Praxis wäre er sicher ausreichend.
>  Damit wird die minimale Abweichung erreicht nach
> [mm]10474\bruch{217}{396}s[/mm] und (symmetrisch)
> [mm]32725\bruch{179}{396}s,[/mm] gerechnet ab Nullstellung.
>  
> Allerdings beträgt dann die Abweichung vom Soll immer noch
> etwas unter 20’02’’, also viel mehr, als Du gestern
> annahmst.
>  Den genauen Wert kannst Du ja leicht bestimmen.
>  
> Noch eine Beobachtung:
>  Sei
> [mm]\Delta{t}:=\bruch{1}{33}\left(43200-4*\left(60+\bruch{1}{12}\right)\right)[/mm]
>
> Dann liegen die zu untersuchenden Minima alle jeweils
> [mm]\Delta{t}, \Delta{t}+60\bruch{1}{12}, 2*\Delta{t}[/mm] oder
> [mm]2*\Delta{t}+60\bruch{1}{12}[/mm] vom jeweils nächsten entfernt.
> Gerade hierin liegt wohl die Schwierigkeit der Aufgabe
> begründet. Da man ja ohne Gaußklammern nicht auskommt,
> hat man eben solche Unannehmlichkeiten…
>  
> So exakt wie sie sich liest, ist diese Lösung übrigens
> noch gar nicht! Mir scheint, dass die exakte Lösung den
> Term [mm]\bruch{121}{1440}[/mm] beinhalten könnte.
> Sei [mm]\tau:=60+\bruch{121}{1440}[/mm]
>  und [mm]\Delta{t}=\bruch{1}{33}(43200-4\tau)[/mm]
>  Dann ist das erste globale Minimum bei [mm]8*\Delta{t}+\tau[/mm]
> erreicht.
>  Wie Du sehen wirst, ist der Wert der Abweichung in der Tat
> so noch etwas niedriger.
>  Der Weg aber bleibt im Prinzip der gleiche. Mehr dazu nach
> meiner Rückkehr (Sonntag Abend), also nächste Woche.
>  
> So, den Rest lasse ich Dir (und Euch) mal. ;-)
>  
> Liebe Grüße
>  reverend
>  
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Hallo reverend,

deine approximativen Werte für die Minimalstellen liegen tatsächlich
sehr nahe bei meinen, die meiner Meinung nach exakt sein sollten.

Anstatt  [mm]10474\bruch{217}{396}s\ =\ 10474.54\overline{79}\ s[/mm]  (dein Wert)

habe ich  [mm]10474\bruch{394}{719}s\ \approx\ 10474.547983310...\ s[/mm]

Meinen wir mit "maximaler Abweichung" dasselbe ? Ich betrachte das
Maximum des Betrages der Abweichungen der 3 Zentriwinkel von
120°. Bei meiner Lösung ist einer der 3 Winkel exakt 120°, und von
den anderen beiden weicht je einer davon nach oben und nach unten
um 10.0139...' ab. Diese beiden Winkel weichen voneinander
deshalb um 20.0278...' ab.

Liebe Grüße an die Atlantikküste !
Vor einigen Jahren erlebte ich in Quimper ein wundervolles Fest mit
hammermäßiger bretonischer Musik.

Al    


Bezug
        
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Zeiger einer Uhr: Lösung mit komplexen Zahlen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 Sa 04.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo an alle Interessierten !

inzwischen habe ich mir die Lösung zu (b) nochmals überlegt und
mich dabei auf einen Tipp gestützt, den mir Diophant gegeben hat.

Wir betrachten in der komplexen Ebene zu jedem Zeiger die
entsprechende Zahl auf dem Einheitskreis. Dies sind die drei
Zahlenwerte

      [mm] e^{i*t} [/mm]   (Stundenzeiger)
      [mm] e^{i*12\,t} [/mm]   (Minutenzeiger)
      [mm] e^{i*720\,t} [/mm]   (Sekundenzeiger)

Dabei ist t der Positionswinkel des Stundenzeigers in  $\ [mm] [\,0\ [/mm] ...\ [mm] 2\,\pi\,]$ [/mm]

Wichtig:  um überflüssige Kapriolen zu vermeiden, denken
wir uns das komplexe Koordinatensystem einmal in etwas
unüblicher Anordnung: reelle Achse nach oben (Richtung
12 Uhr), imaginäre Achse nach rechts (Richtung 3 Uhr).

Um die Winkel zwischen den Zeigern zu berechnen, bestimmt
man die jeweiligen Quotienten. Um für jeden Winkel den Wert
im Intervall $\ [mm] [\,0\ [/mm] ...\ [mm] \pi\,]$ [/mm]  zu erhalten, setzen wir:

    [mm] $\alpha(t)\,:=\ arccos(cos(11\,t))$ [/mm]      Winkel zwischen h- und m-Zeiger
    [mm] $\beta(t)\,:=\ arccos(cos(708\,t))$ [/mm]     Winkel zwischen m- und s-Zeiger
    [mm] $\gamma(t)\,:=\ arccos(cos(719\,t))$ [/mm]     Winkel zwischen s- und h-Zeiger

Für die maximale Abweichung vom "Idealwert" ergibt sich nun
die Funktion

     [mm] Dmax(t)\,:=\ \underset{0\le t<2\,\pi}{max}(\,|\alpha(t)-\frac{2\,\pi}{3}|\,,\,|\beta(t)-\frac{2\,\pi}{3}|\,,\,|\gamma(t)-\frac{2\,\pi}{3}|\,)$ [/mm]

Dies ist eine äußerst wild aussehende Funktion. Zwei von
Mathematica gelieferte Plots sollen einen Eindruck davon
vermitteln:
   [Dateianhang nicht öffentlich]
Gesucht sind nun das absolute Minimum dieser Funktion
sowie die Stellen, an welchen dieses auftritt. Leider hatte
ich auch mit Mathematica bei dieser Suche (im gesamten
Intervall von 0 bis 2 [mm] \,\pi) [/mm] noch gewisse Schwierigkeiten mit
der Funktion NMinimize. Beschränkung auf ein kleines Intervall
von 1.52 bis 1.53 bestätigte aber jedenfalls das vorherige
Ergebnis   $\ t\ =\ 1.523461249724118557...\ =\ [mm] \frac{1046*\pi}{3*719}$ [/mm]

LG    Al-Chwarizmi



    

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Zeiger einer Uhr: Suche nach globalen Minima
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:44 So 05.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Eine wichtige Frage wurde bis jetzt nicht besprochen:
Wie findet man heraus, wo man nach Kandidaten für
globale Minimalstellen suchen soll, da die Funktion
Dmax  ja offenbar sehr viele lokale Minimal- und
Maximalstellen aufweist ?

Das kann man sich beispielsweise so überlegen:
Soll [mm] Dmax(\alpha) [/mm] wirklich klein werden, so muss
insbesondere der Winkel zwischen Stunden- und
Minutenzeiger nahe bei 120° = [mm] \frac{2\,\pi}{3} [/mm] oder
bei  240° = [mm] \frac{4\,\pi}{3} [/mm]  liegen. Dies kann man so
ausdrücken:
  
    [mm] $\alpha\ \approx\ \frac{2\,\pi}{11}*(k+\frac{1}{3})$ [/mm]  oder  [mm] $\alpha\ \approx\ \frac{2\,\pi}{11}*(k+\frac{2}{3})$ [/mm]

für ein  $\ [mm] k\in\{\,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\,\}$ [/mm] . Damit kann man
die Suche also einmal auf 22 kleine Intervalle beschränken,
wovon wegen der Symmetrie nur 11 wirklich betrachtet
werden müssen.
Ferner kann man sich noch klar machen, dass der rationale
Faktor f in  [mm] $\alpha=f*\pi$ [/mm]  nur wenige bestimmte Nenner haben
kann. Dies ergibt sich aus einer genaueren Analyse der
Situation, die sich in einem Minimalpunkt ergibt, denn ein
solcher ist notwendigerweise Schnittpunkt von zwei
Geraden, deren Gleichungen nur wenige bestimmte
Formen aufweisen können.

LG    Al-Chw.

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