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Zusammenhängender Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Mi 18.05.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Sei X ein metrischer Raum,der aus endlich vielen Punkten besteht und der mindestens zwei Punkte hat. Beweisen Sie, dass X nicht zusammenhängend sein kann.

Hallo ^^

Ich komme bei diesem Beweis leider nicht mehr weiter. Ich hab versucht einen Widerspruchsbeweis zu führen.

Angenommen X ist zusammenhängend. Dann existieren keine offenen,disjunkten Teilmengen U,V mit X [mm] \subset [/mm] U [mm] \cup [/mm] V,
X [mm] \cap U\not=\emptyset, [/mm] X [mm] \cap [/mm] V [mm] \not=\emptyset. [/mm]

Dann weiß ich, dass X mindestens zwei Punkte enthält. Also nehme ich mir zwei Punkte. Und jetzt will ich zeigen, dass einer von den Punkten in U und einer in V liegt, dass also solche Mengen doch existieren und A nicht zusammenhängend ist. Aber ich finde keinen richtigen Ansatz dafür.
Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank
lg

        
Bezug
Zusammenhängender Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Mi 18.05.2011
Autor: fred97

Das mußt Du ganz anders machen:

Sei [mm] $X=\{x_1,...,x_n\}$ [/mm]  mit n [mm] \ge [/mm] 2.

Nun überlege Dir , dass [mm] \{x_j\} [/mm]  offen ist !  (j=1,...,n)

Setze dann [mm] $U:=\{x_1\}$ [/mm] und $V:= X [mm] \setminus [/mm] U$

Hilft das ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Zusammenhängender Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Mi 18.05.2011
Autor: Mandy_90

Hallo Fred,

> Das mußt Du ganz anders machen:
>  
> Sei [mm]X=\{x_1,...,x_n\}[/mm]  mit n [mm]\ge[/mm] 2.
>  
> Nun überlege Dir , dass [mm]\{x_j\}[/mm]  offen ist !  (j=1,...,n)

Das könnte man so begründen: Eine Menge ist offen, wenn jeder Punkt den sie enthält ein innerer Punkt von ihr ist. Die Menge [mm] \{x_{j}\} [/mm] enthält nur den Punkt [mm] x_{j}, [/mm] d.h. es gibt keinen anderen Punkt zu dem [mm] x_{j} [/mm] einen Abstand >0 haben könnte. Das bedeutet die Epsilon-Kugel ist der Punkt selbst und dieser liegt eben in [mm] \{x_{j}\}. [/mm] Daher ist [mm] \{x_{j}\} [/mm] offen.Und die leere Menge ist auch noch enthalten, ist auch offen.

>  
> Setze dann [mm]U:=\{x_1\}[/mm] und [mm]V:= X \setminus U[/mm]
>  
> Hilft das ?

Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
Außerdem gilt: U [mm] \cup [/mm] V=X, X [mm] \cap [/mm] U [mm] \not=\emptyset, [/mm] da X [mm] \cap U=\{x_{1}\} [/mm] und X [mm] \cap [/mm] V=V.

Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend sein kann.
Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass man sich einfach U und V so definiert,dass es passt.

Vielen Dank
lg

Bezug
                        
Bezug
Zusammenhängender Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mi 18.05.2011
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Das mußt Du ganz anders machen:
>  >  
> > Sei [mm]X=\{x_1,...,x_n\}[/mm]  mit n [mm]\ge[/mm] 2.
>  >  
> > Nun überlege Dir , dass [mm]\{x_j\}[/mm]  offen ist !  (j=1,...,n)
>  
> Das könnte man so begründen: Eine Menge ist offen, wenn
> jeder Punkt den sie enthält ein innerer Punkt von ihr ist.
> Die Menge [mm]\{x_{j}\}[/mm] enthält nur den Punkt [mm]x_{j},[/mm] d.h. es
> gibt keinen anderen Punkt zu dem [mm]x_{j}[/mm] einen Abstand >0
> haben könnte. Das bedeutet die Epsilon-Kugel ist der Punkt
> selbst


Welche Epsilon- Kugel ? Du mußt schon genauer sein !

Betrachten wir [mm] x_1: [/mm] setze [mm] \varepsilon:= [/mm] min [mm] \{d(x_1,x_2), d(x_1,x_3),...,d(x_1,x_n) \} [/mm]

              dann ist [mm] K(x_1, \varepsilon)=\{x_1\} [/mm]

und dieser liegt eben in [mm]\{x_{j}\}.[/mm] Daher ist

> [mm]\{x_{j}\}[/mm] offen.Und die leere Menge ist auch noch
> enthalten, ist auch offen.
> >  

> > Setze dann [mm]U:=\{x_1\}[/mm] und [mm]V:= X \setminus U[/mm]
>  >  
> > Hilft das ?
>  
> Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und
> V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und
> disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
>  Außerdem gilt: U [mm]\cup[/mm] V=X, X [mm]\cap[/mm] U [mm]\not=\emptyset,[/mm] da X
> [mm]\cap U=\{x_{1}\}[/mm] und X [mm]\cap[/mm] V=V.
>  
> Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend
> sein kann.
>  Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass man sich
> einfach U und V so definiert,dass es passt.


Es passt, verlass Dich drauf

FRED

>  
> Vielen Dank
>  lg


Bezug
                                
Bezug
Zusammenhängender Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mi 18.05.2011
Autor: Mandy_90


> > > Hilft das ?
>  >  
> > Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und
> > V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und
> > disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
>  >  Außerdem gilt: U [mm]\cup[/mm] V=X, X [mm]\cap[/mm] U [mm]\not=\emptyset,[/mm] da
> X
> > [mm]\cap U=\{x_{1}\}[/mm] und X [mm]\cap[/mm] V=V.
>  >  
> > Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend
> > sein kann.
>  >  Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass man
> sich
> > einfach U und V so definiert,dass es passt.
>  
>
> Es passt, verlass Dich drauf

Ich glaube es passt doch nicht, denn wenn [mm] U=\{x_{1}\} [/mm] und V=X [mm] \backslash [/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X. Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich aber nicht zwei offene Mengen und die brauche ich doch.  
Halt, warte. Die Negation von zwei nicht-offenen ist mind. eine offene. Das heißt es passt doch.
Also: Es passt doch oder?

Vielen Dank
lg

Bezug
                                        
Bezug
Zusammenhängender Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mi 18.05.2011
Autor: fred97


>  
> > > > Hilft das ?
>  >  >  
> > > Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und
> > > V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und
> > > disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
>  >  >  Außerdem gilt: U [mm]\cup[/mm] V=X, X [mm]\cap[/mm] U [mm]\not=\emptyset,[/mm]
> da
> > X
> > > [mm]\cap U=\{x_{1}\}[/mm] und X [mm]\cap[/mm] V=V.
>  >  >  
> > > Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend
> > > sein kann.
>  >  >  Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass
> man
> > sich
> > > einfach U und V so definiert,dass es passt.
>  >  
> >
> > Es passt, verlass Dich drauf
>  
> Ich glaube es passt doch nicht,


Doch es passt, verlass Dich drauf.

> denn wenn [mm]U=\{x_{1}\}[/mm] und
> V=X [mm]\backslash[/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X.
> Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich
> aber nicht zwei offene Mengen

Doch ! V ist  offen und abgeschlossen !

Die Abgeschlossenheit hast Du gezeigt. V ist auch offen, denn

           [mm] $V=\{x_2\} \cup [/mm] ... [mm] \cup \{x_n\}$ [/mm]

Die Vereinigung offener Mengen ist offen

Der verlässliche FRED


>  und die brauche ich doch.
> Verstehe ich das richtig?
>  
> Vielen Dank
>  lg


Bezug
                                                
Bezug
Zusammenhängender Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mi 18.05.2011
Autor: Mandy_90


> > > Es passt, verlass Dich drauf
>  >  
> > Ich glaube es passt doch nicht,
>
>
> Doch es passt, verlass Dich drauf.

Ich verlasse mich gern drauf, wenn ich es komplett durchschaut habe.

>  
> > denn wenn [mm]U=\{x_{1}\}[/mm] und
> > V=X [mm]\backslash[/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X.
> > Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich
> > aber nicht zwei offene Mengen
>  
> Doch ! V ist  offen und abgeschlossen !

Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen und abgeschlossen zugleich sind.

>  
> Die Abgeschlossenheit hast Du gezeigt. V ist auch offen,
> denn
>  
> [mm]V=\{x_2\} \cup ... \cup \{x_n\}[/mm]
>  
> Die Vereinigung offener Mengen ist offen
>  

Ja,aber doch nur für unendlich viele und nicht für endlich viele, so kenne ich es zumindest.

> Der verlässliche FRED

lg


Bezug
                                                        
Bezug
Zusammenhängender Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Mi 18.05.2011
Autor: fred97


> > > > Es passt, verlass Dich drauf
>  >  >  
> > > Ich glaube es passt doch nicht,
> >
> >
> > Doch es passt, verlass Dich drauf.
>  
> Ich verlasse mich gern drauf, wenn ich es komplett
> durchschaut habe.
>  >  
> > > denn wenn [mm]U=\{x_{1}\}[/mm] und
> > > V=X [mm]\backslash[/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X.
> > > Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich
> > > aber nicht zwei offene Mengen
>  >  
> > Doch ! V ist  offen und abgeschlossen !
>  
> Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X
> sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen
> und abgeschlossen zugleich sind.


Nein. Wo hast Du das denn her ? Das gilt im [mm] \IR^n [/mm] und ......, aber das lassen wir jetzt

>  >  
> > Die Abgeschlossenheit hast Du gezeigt. V ist auch offen,
> > denn
>  >  
> > [mm]V=\{x_2\} \cup ... \cup \{x_n\}[/mm]
>  >  
> > Die Vereinigung offener Mengen ist offen
>  >  
> Ja,aber doch nur für unendlich viele und nicht für
> endlich viele, so kenne ich es zumindest.

Dann kennst Du was falsches ! In einem  topologischen Raum ist eine beliebige Vereinigung offener Mengen wieder offen.

FRED

>  
> > Der verlässliche FRED
>  
> lg
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Zusammenhängender Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Mi 18.05.2011
Autor: Mandy_90


> > > Doch ! V ist  offen und abgeschlossen !
>  >  
> > Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X
> > sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen
> > und abgeschlossen zugleich sind.
>  
>
> Nein. Wo hast Du das denn her ? Das gilt im [mm]\IR^n[/mm] und
> ......, aber das lassen wir jetzt
>  

> > > Die Vereinigung offener Mengen ist offen
>  >  >  
> > Ja,aber doch nur für unendlich viele und nicht für
> > endlich viele, so kenne ich es zumindest.
>  
> Dann kennst Du was falsches ! In einem  topologischen Raum
> ist eine beliebige Vereinigung offener Mengen wieder
> offen.

Na gut, wenn das so ist, dann verlasse ich mich auf dich.
Danke für deine Hilfe.

lg

Bezug
                                                                
Bezug
Zusammenhängender Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:01 Do 19.05.2011
Autor: fred97

  
> > Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X
> > sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen
> > und abgeschlossen zugleich sind.


Hallo Mandy,

es gilt folgender

SATZ: Ist M ein metrischer Raum (oder allgemeiner ein topologischer Raum), so gilt:

M ist nicht zusammenhängend  

     [mm] \gdw [/mm]  

es gibt eine Teilmenge A von M mit: [mm] \emptyset \ne [/mm] A [mm] \ne [/mm] M , A ist offen und A ist abgeschlossen.

BEWEIS:

[mm] "\Rightarrow": [/mm] Es ex. nichtleere offene Teilmengen A und B von M mit:

         $M=A [mm] \cup [/mm] B$ und  $A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset$ [/mm] .

Dann ist A=M  \ B. Da B offen ist ist A abgeschlossen.

[mm] "\Rightarrow": [/mm]

Setze B:= M \ A. Da A abgeschlossen ist, ist B offen. Weiter ist B [mm] \ne \emptyset, [/mm]  $M=A [mm] \cup [/mm] B$ und  $A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset$ [/mm] .

M ist also nicht zusammenhängend.

FRED



Bezug
                                                                        
Bezug
Zusammenhängender Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:25 Do 19.05.2011
Autor: Mandy_90

Hallo Fred,

> es gilt folgender
>  
> SATZ: Ist M ein metrischer Raum (oder allgemeiner ein
> topologischer Raum), so gilt:
>  
> M ist nicht zusammenhängend  
>
> [mm]\gdw[/mm]  
>
> es gibt eine Teilmenge A von M mit: [mm]\emptyset \ne[/mm] A [mm]\ne[/mm] M ,
> A ist offen und A ist abgeschlossen.
>  
> BEWEIS:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Es ex. nichtleere offene Teilmengen A und B
> von M mit:
>  
> [mm]M=A \cup B[/mm] und  [mm]A \cap B= \emptyset[/mm] .
>  
> Dann ist A=M  \ B. Da B offen ist ist A abgeschlossen.
>  
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>
> Setze B:= M \ A. Da A abgeschlossen ist, ist B offen.
> Weiter ist B [mm]\ne \emptyset,[/mm]   [mm]M=A \cup B[/mm] und  [mm]A \cap B= \emptyset[/mm]
> .
>  
> M ist also nicht zusammenhängend.

Danke sehr,dass du dir Mühe gemacht hast, das zu beweisen. Jetzt bin ich versichert, dass es so ist und muss es nicht einfach hinnehmen.

lg  


Bezug
                        
Bezug
Zusammenhängender Raum: Hallo
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 19.05.2011
Autor: looney_tune

ist das schon der Beweis?

Bezug
                                
Bezug
Zusammenhängender Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Do 19.05.2011
Autor: fred97


> ist das schon der Beweis?

Ja

FRED


Bezug
                                        
Bezug
Zusammenhängender Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Do 19.05.2011
Autor: looney_tune

danke;) Fred

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