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Forum "Zahlentheorie" - abgeänderter Satz von Wilson
abgeänderter Satz von Wilson < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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abgeänderter Satz von Wilson: Wie beweist man Notwendigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 So 15.01.2017
Autor: wauwau

Aufgabe
$p$ ist genau dann eine ungerade Primzahl, wenn
[mm] $\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)$ [/mm] ist


Wenn obiges gilt dann
[mm] $(p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv [/mm] -1(p)$ wobei die letzte Beziehung wegen Euler-Fermat gilt.
Damit gilt also Wilson und daher ist p eine Primzahl

Nur wie beweist man, dass wenn $p$ Primzahl ist, dass obiges gilt?

        
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> [mm]p[/mm] ist genau dann eine ungerade Primzahl, wenn
>  [mm]\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)[/mm] ist
>  
> Wenn obiges gilt dann
>  [mm](p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv -1(p)[/mm]
> wobei die letzte Beziehung wegen Euler-Fermat gilt.
>  Damit gilt also Wilson und daher ist p eine Primzahl
>  
> Nur wie beweist man, dass wenn [mm]p[/mm] Primzahl ist, dass obiges
> gilt?

Hallo,
der Satz von Wilson besagt doch, dass p prim äquivalent ist zu [mm](p-1)!\equiv -1(p)[/mm]. Somit gilt
[mm](p-1)!\equiv -1(p)\Rightarrow (p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2)(p)\Rightarrow\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)[/mm].
Die letzte Implikation gilt, da p-2 in multiplikatives Inverses modulo p hat und somit Kürzen zulässig ist.

Bezug
                
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 So 15.01.2017
Autor: wauwau

und woher nimmst du die erste Implikation
Warum nimmst du da nicht
[mm] $(p-1)!\equiv [/mm] -1(p) [mm] \Rightarrow (p-1)!\equiv 2^{3p-4}(p-2)(p)$ [/mm]
oder ist das egal??

Bezug
                        
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> und woher nimmst du die erste Implikation
>  Warum nimmst du da nicht
>  [mm](p-1)!\equiv -1(p) \Rightarrow (p-1)!\equiv 2^{3p-4}(p-2)(p)[/mm]
>  
> oder ist das egal??

Hallo,
die erste Implikation ist einfach deine Gleichungskette [mm]2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv -1(p)[/mm] von rechts nach links gelesen.

Bezug
                                
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 So 15.01.2017
Autor: wauwau

D.h. nach dem gleichen Prinzip von dir gilt auch

$p$ ist Primzahl genau dann, wenn

[mm] $\frac{(p-1)!}{(p-2^k)}\equiv 2^{p-k-1}(p)$ [/mm] ist

sofern [mm] $2^k [/mm] < p$ gilt

Bezug
                                        
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> D.h. nach dem gleichen Prinzip von dir gilt auch
>  
> [mm]p[/mm] ist Primzahl genau dann, wenn
>  
> [mm]\frac{(p-1)!}{(p-2^k)}\equiv 2^{p-k-1}(p)[/mm] ist
>  
> sofern [mm]2^k < p[/mm] gilt

Hallo,
das müsste hinkommen, auch wenn 2 durch eine beliebige natürliche Zahl a<p ersetzt wird.

Bezug
                                                
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Cooler Satz finde ich
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 So 15.01.2017
Autor: wauwau

sei [mm] $a^k dann ist $p$ genau dann Primzahl, wenn
[mm] $\frac{(p-1)!}{(p-a^k)}\equiv a^{p-k-1}(p)$ [/mm] ist.

Bezug
                                                        
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> sei [mm]a^k
> dann ist [mm]p[/mm] genau dann Primzahl, wenn
>  [mm]\frac{(p-1)!}{(p-a^k)}\equiv a^{p-k-1}(p)[/mm] ist.

Ja, aber das hat sich bestimmt schonmal jemand überlegt. Für allgemeines a müsste man für "[mm]\Leftarrow[/mm]" allerdings noch voraussetzen, dass ggT(a,p)=1 ist (ist mir eben noch aufgefallen).


Bezug
                                                        
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> sei [mm]a^k
> dann ist [mm]p[/mm] genau dann Primzahl, wenn
>  [mm]\frac{(p-1)!}{(p-a^k)}\equiv a^{p-k-1}(p)[/mm] ist.

So sollte es passen:
Sei  [mm]a,k,p\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]a^k Dann gilt p prim [mm]\Leftrightarrow\frac{(p-1)!}{p-a^k}\equiv a^{p-k-1}(p)[/mm].

Bezug
        
Bezug
abgeänderter Satz von Wilson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> [mm]p[/mm] ist genau dann eine ungerade Primzahl, wenn
>  [mm]\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)[/mm] ist
>  
> Wenn obiges gilt dann
>  [mm](p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv -1(p)[/mm]
> wobei die letzte Beziehung wegen Euler-Fermat gilt.
>  Damit gilt also Wilson und daher ist p eine Primzahl
>  
> Nur wie beweist man, dass wenn [mm]p[/mm] Primzahl ist, dass obiges
> gilt?

Hallo nochmal,
dein Argument stimmt nicht (das taugt eigentlich nur für die andere Richtung p prim [mm]\Rightarrow ...[/mm]). Bei deiner Anwendung von Euler-Fermat setzt du ja schon voraus, dass p prim ist.
Man kann die Sache die Sache aber retten, indem man argumentiert, dass aus [mm](p-1)!\equiv -2^{p-1}(p)[/mm] und p ungerade folgt, dass (p-1)! und p teilerfremd sind, was nur für Primzahlen zutrifft.

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