www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - Äquivalenz, kompakt, stetig
Äquivalenz, kompakt, stetig < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Äquivalenz, kompakt, stetig: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:12 So 15.05.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Sei $X$ ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und [mm] $f\in [/mm] C(X)$. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a) Für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ist die Menge [mm] $\{x\in X:|f(x)|\geq\epsilon\}$ [/mm] kompakt.

b) Die Funktion [mm] $\widetilde{f}:X^+\to\mathbb{C}$, [/mm] definiert durch [mm] $\widetilde{f}_{|X}=f$ [/mm] und [mm] $\widetilde{f}(\infty)=0$, [/mm] ist stetig.


Hallo,

ich möchte die Äquivalenz dieser beiden Aussagen zeigen.
[mm] $C(X)=\{f:X\to\mathbb{C}\quad\text{stetig}\}$. [/mm]

a) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] b)

Da [mm] $\widetilde{f}_{|X}=f$ [/mm] und [mm] $f\in [/mm] C(X)$, ist [mm] $\widetilde{f}_{|X}$ [/mm] stetig.
Bleibt zu zeigen, dass [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] stetig im Punkt [mm] $\infty$ [/mm] ist.

Sei $V$ eine beliebige Umgebung von [mm] $\widetilde{f}(\infty)=0$. [/mm]
Dann ist zu zeigen, dass eine Umgebung $U$ von [mm] $\infty$ [/mm] existiert, mit [mm] $\widetilde{f}(U)\subseteq [/mm] V$.

Hier weiß ich leider nicht weiter, wie ich es zeigen kann, dass diese offene Umgebung existiert.
Oder ist der Ansatz nicht zielführend?

Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Äquivalenz, kompakt, stetig: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:23 Do 19.05.2016
Autor: impliziteFunktion

Hallo,

kann hier wirklich niemand helfen? Ich wäre weiterhin an einer Antwort interessiert.

Ich habe nun folgendes:

a) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] b) (Ich schreibe $f'$ anstelle von [mm] $\widetilde{f}$) [/mm]

Da [mm] $f\in [/mm] C(X)$, ist $f'_{|X}=f$ stetig und es reicht zu zeigen, dass $f'$ in [mm] $\infty$ [/mm] stetig ist.
Sei also $V$ eine beliebige Umgebung von [mm] $f'(\infty)=0$. [/mm]
Dann ist zu zeigen, dass eine Umgebung $U$ von [mm] $\infty$ [/mm] existiert, mit [mm] $f(U)\subseteq [/mm] V$.

Die Topologie auf $X^+$, ist [mm] $\tau^+=\{U\subseteq X: U\quad\text{offen}\}\cup\{U\cup\{\infty\}, U\subseteq X\quad\text{offen}, und U^c\quad\text{quasi-kompakt}\}$. [/mm]

Da $X$ Hausdorffsch ist also [mm] $U^c$ [/mm] kompakt. Also [mm] $W=\{x\in X: |f(x)|<\varepsilon'\}$ [/mm] für ein [mm] $\varepsilon'>0$. [/mm]

Also [mm] $|f'(x)-f'(\infty)|=|f'(x)-0|=|f'(x)|$. [/mm] Wenn [mm] $x=\infty$, [/mm] dann [mm] $|f'(\infty)|=0$ [/mm] und es ist nicht zu zeigen. Für [mm] $x\neq\infty$ [/mm] ist

[mm] $|f'(x)|=|f(x)|<\varepsilon'$ [/mm]

Wähle also [mm] $\varepsilon'=\varepsilon$, [/mm] dann ist für alle [mm] $x\in [/mm] U$

[mm] $|f'(x)-f'(\infty)|<\epsilon$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz, kompakt, stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:52 Di 24.05.2016
Autor: impliziteFunktion

Die Implikation [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] hat sich mittlerweile erledigt.

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz, kompakt, stetig: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Fr 27.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Äquivalenz, kompakt, stetig: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Mo 23.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de