definierbar über (R,+,*) < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Ist [mm] $\{0\}$ [/mm] definierbar über [mm] $(\mathbb{R},+,\cdot)$?
[/mm]
b) Ist [mm] $\{1\}$ [/mm] definierbar über [mm] $(\mathbb{R},+,\cdot)$?
[/mm]
c) ist $<$ definierbar über [mm] $(\mathbb{R},+,\cdot)$? [/mm] |
Hallo,
damit die "Zeichen" über [mm] $(\mathbb{R},+,\cdot)$ [/mm] definierbar sind, muss es eine Formel [mm] $\varphi$ [/mm] der Sprache geben, die genau dann gilt, wenn das Modell diese Formel impliziert.
zu a)
[mm] $\varphi\equiv\forall v_0(v_0+v_1=v_0)$
[/mm]
Diese Formel sollte genau die Eigenschaft der Null charakterisieren, da die Null das eindeutige neutrale Element der Addition ist.
zu b)
[mm] $\varphi\equiv\forall v_0(v_0\cdot v_1=v_0)$
[/mm]
Also die 1 als neutrales Element der Multiplikation.
zu c)
Ich würde $<$ über [mm] $(\mathbb{R},+,\cdot)$ [/mm] wie folgt definieren.
[mm] \varphi\equiv (v_0+v_1\cdot v_1=v_2)\wedge (v_1+v_1=v_1))
[/mm]
Ich addiere dabei [mm] $v_1\cdot v_1$ [/mm] um sicherzustellen, dass ich [mm] $v_0$ [/mm] tatsächlich mit einer nichtnegativen Zahl addiere.
Denn sonst könnte ja etwa $3+(-1)=2$ sein und $3<2$ gilt natürlich nicht.
Die Bedingung [mm] $(v_1+v_1=v_1)$ [/mm] soll weiterhin ausschließen, dass die Zahl Null addiert wird.
Also insgesamt tatsächlich eine positive reelle Zahl addiert wird.
Sind diese Formeln korrekt, oder fehlerhaft?
Vielen Dank im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 04.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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