dichte, lineare Ordnung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:08 Do 12.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Wie viele paarweise nicht isomorphe dichte lineare Ordnungen gibt es auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte mal wieder etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
Zu erst einmal würde ich gerne klären was man hier mit nicht isomorph meint.
Was ein Isomorphismus ist weiß ich, aber dennoch bereitet mir diese "Struktur" im Bezug auf solche Aufgaben immer wieder Probleme, bzw. fällt es mir schwer isomorphe Abbildungen oder sonstiges selbst zu finden, oder in diesem Fall eben nicht isomorphe.
Wann sind denn zwei lineare Ordnungen isomorph? Kann man das leicht formulieren, bzw. gibt es da mehrere Fälle?
Mir würde da eigentlich nur einfallen, dass zwei lineare Ordnungen nicht isomorph sind, wenn die eine Ordnung ein "Vielfaches" der anderen Ordnung ist. Zum Beispiel mit der natürlichen Ordnung <
0<1<2<3<4<...
ist Isomorph zu der Ordnung
0<2<4<6<8<...
oder
0<3<6<9<12<...
oder irre ich mich?
Gibt es andere Beispiele für nicht isomorphe lineare Ordnungen?
Könnte mir jemand den Begriff des Isomorphismus noch einmal verdeutlichen?
Nun soll ich die Frage beanworten wie viele paarweise nicht isomorphe dichte lineare Ordnungen es auf den natürlichen Zahlen gibt.
Eine Ordnung $<_A$ auf A heißt dicht, genau dann wenn für alle $x<_A y$ ein z mit $x<_A z<_A y$ existiert.
Eine dichte lineare Ordnung sollte [mm] $(\mathbb{Q}, [/mm] <)$ sein, oder auch [mm] $(\mathbb{R}, [/mm] <)$ diese sollten auch nicht isomorph sein, weil [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] ja abzählbar und [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ja überabzählbar ist, weshalb es keinen Isomorphismus zwischen diesen Mengen geben kann.
Meine Vermutung wäre, dass alle weiteren dichten linearen Ordnungen zu diesen Isomorph sein könnten und es nur die beiden gibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Do 12.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Wie viele paarweise nicht isomorphe dichte lineare
> Ordnungen gibt es auf [mm]\mathbb{N}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bräuchte mal wieder etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> Zu erst einmal würde ich gerne klären was man hier mit
> nicht isomorph meint.
> Was ein Isomorphismus ist weiß ich, aber dennoch bereitet
> mir diese "Struktur" im Bezug auf solche Aufgaben immer
> wieder Probleme, bzw. fällt es mir schwer isomorphe
> Abbildungen oder sonstiges selbst zu finden, oder in diesem
> Fall eben nicht isomorphe.
>
> Wann sind denn zwei lineare Ordnungen isomorph? Kann man
> das leicht formulieren, bzw. gibt es da mehrere Fälle?
> Mir würde da eigentlich nur einfallen, dass zwei lineare
> Ordnungen nicht isomorph sind, wenn die eine Ordnung ein
> "Vielfaches" der anderen Ordnung ist. Zum Beispiel mit der
> natürlichen Ordnung <
>
> 0<1<2<3<4<...
>
> ist Isomorph zu der Ordnung
>
> 0<2<4<6<8<...
>
> oder
>
> 0<3<6<9<12<...
Diese Ordnungen sind wohl kaum linear.
>
> oder irre ich mich?
>
> Gibt es andere Beispiele für nicht isomorphe lineare
> Ordnungen?
??? Du wolltest doch Beispiele fuer isomorphe Ordnungen angeben...
> Könnte mir jemand den Begriff des Isomorphismus noch
> einmal verdeutlichen?
Es seien $<_{1}$ und $<_{2}$ Ordnungsrelationen auf [mm] $\IN$. [/mm] $<_{1}$ heisst isomorph zu $<_{2}$ wenn es eine Bijektion [mm] $\phi:\IN\to \IN$ [/mm] gibt, sodass fuer alle [mm] $x,y\in \IN$ [/mm] gilt: [mm] $x<_{1}y\iff \phi(x)<_{2}\phi(y)$. [/mm]
>
> Nun soll ich die Frage beanworten wie viele paarweise nicht
> isomorphe dichte lineare Ordnungen es auf den natürlichen
> Zahlen gibt.
> Eine Ordnung [mm]<_A[/mm] auf A heißt dicht, genau dann wenn für
> alle [mm]x<_A y[/mm] ein z mit [mm]x<_A z<_A y[/mm] existiert.
>
> Eine dichte lineare Ordnung sollte [mm](\mathbb{Q}, <)[/mm] sein,
> oder auch [mm](\mathbb{R}, <)[/mm] diese sollten auch nicht isomorph
> sein, weil [mm]\mathbb{Q}[/mm] ja abzählbar und [mm]\mathbb{R}[/mm] ja
> überabzählbar ist, weshalb es keinen Isomorphismus
> zwischen diesen Mengen geben kann.
Beachte doch bitte die Aufgabenstellung: Es sind Ordnungen von [mm] $\IN$ [/mm] gesucht.
> Meine Vermutung wäre, dass alle weiteren dichten linearen
> Ordnungen zu diesen Isomorph sein könnten und es nur die
> beiden gibt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 12.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Warum sind meine obigen Ordnungen nicht linear?
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Weil bei
3 <6 <9...
weder [mm] $3\le [/mm] 4$ noch [mm] $4\le [/mm] 3$ gilt.
Auch wenn hippias dich darauf hingewiesen hat, dass Ordnungen auf [mm] $\IN [/mm] $ gesucht sind; [mm] $(\IQ, [/mm] <) $ liefert dir schon einen Isomorphietyp.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 12.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Gibt es dann nur eine lineare Ordnung, nämlich die natürliche Ordnung? Das verstehe ich nicht wieso [mm] $3\geq [/mm] 4$ oder [mm] $4\geq [/mm] 3$ hier ein Gegenbeispiel ist.
Was meinst du mit Isomorphietyp?
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Eine Ordnung heißt linear, wenn stets $ [mm] a\le [/mm] b $ oder $ [mm] b\le [/mm] a $ gilt. 3 und 4 liefern hierzu ein Gegenbeispiel.
Falls du weißt, dass [mm] $\IQ [/mm] $ abzählbar ist, kannst du für jede Bijektion [mm] $\IQ\longrightarrow\IN [/mm] $ eine Ordnung auf [mm] $\IN [/mm] $ definieren, sodass diese Abbildung ein Isomorphismus ist. Allerdings sind diese Ordnungen alle isomorph, du erhälst also nur einen Isomorphietyp .
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 12.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wir haben lineare Ordnung als antisymmetrisch definiert.
[mm] "$\leq$" [/mm] sollte demnach für uns keine lineare Ordnung sein.
Ja, die Abzählbarkeit von [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] ist bekannt.
Was verstehst du unter "Isomorphietyp", könntest du zu meiner Frage bezüglich Isomorphismen aus dem ersten Beitrag noch etwas klären?
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Bist du dir sicher? "Ordnungen" sind eigentlich immer antisymmetrisch, sonst sagt man gewöhnlich "Präordnung". Und ich kenne "lineare Ordnung" ausschließlich als Synonym für "Totalordnung" - z.B. wird das auf Wikipedia auch so gehandhabt.
Mit denselben Isomorphietyp meine ich einfach, dass die Ordnungen isomorph sind. "Wie viele Isomorphietypen" ist für mich nur eine kürzere Formulierung von "Wie viele paarweise nicht isomorphe...".
Es gibt übrigens 4 nichtisomorphe dichte lineare Ordnungen mit unterliegender abzählbarer Menge - hast du eine Idee, welche das sein könnten?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Fr 13.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Nein, leider habe ich keine Idee welche 4 verschiedenen Typen es gibt.
Ich weiß auch leider nicht wie man darauf kommen soll, dass es gerade 4 sind, wobei das Hauptproblem ist, dass ich immer noch nicht so recht weiß wie ich nun gezielt unterscheiden kann wann zwei lineare Ordnungen isomorph und nicht isomorph sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Fr 13.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Nein, leider habe ich keine Idee welche 4 verschiedenen
> Typen es gibt.
>
> Ich weiß auch leider nicht wie man darauf kommen soll,
> dass es gerade 4 sind, wobei das Hauptproblem ist, dass ich
> immer noch nicht so recht weiß wie ich nun gezielt
> unterscheiden kann wann zwei lineare Ordnungen isomorph und
> nicht isomorph sind.
Wenn es zwischen den Ordnungen Isomorphismen gibt oder nicht.
Wir machen ein Beispiel. Es sei [mm] $\leq$ [/mm] die uebliche Ordnung auf [mm] $\IN$. [/mm] Nun konstruiere ich eine weitere Ordnung auf [mm] $\IN$: [/mm] Es bezeichne $G$ die Menge der geraden natuerlichen Zahlen und $U$ die Menge der ungeraden natuerlichen Zahlen. Ich definiere jetzt fuer [mm] $n,m\in \IN$, [/mm] dass [mm] $n\leq' m:\iff$ $n\leq [/mm] m$ und beide [mm] $n,m\in [/mm] G$ oder beide [mm] $n,m\in [/mm] U$; oder [mm] $n\in [/mm] G$ und [mm] $m\in [/mm] U$. M.a.W., wenn $n$ und $m$ gleiche Paritaet besitzen, so sind sie gewoehnlich geordnet, aber jede gerade Zahl ist kleiner als jede ungerade Zahl.
Zeige nun: [mm] $\leq'$ [/mm] ist eine lineare Ordnung auf [mm] $\IN$. [/mm] Die geordneten Strukturen [mm] $(\IN,\leq)$ [/mm] und [mm] $(\IN,\leq')$ [/mm] sind/sind nicht isomorph.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Fr 13.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich würde sagen, dass beides klar ist. Sowohl, dass es sich um eine lineare Ordnung handelt als auch, dass sie paarweise isomorph sind.
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Ich würde das nicht sagen. Wie sieht dein Isomorphismus denn aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 14.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hatte gedacht, dass ich ja einen Isomorphismus von den geraden und ungeraden Zahlen auf die natürlichen Zahlen angeben kann, und ich also auch einen Isomorphismus auf die natürliche Ordnung angeben kann.
Ansonsten, könnte ich nicht einfach einen Isomorphismus zwischen den beiden Ordnungen direkt angeben:
1<3<5<7<.....
0<2<4<6<.....
Ich kann doch einfach die 1 auf die Null, 3 auf 2, 5 auf 4 aus. abbilden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hippias |
Lies doch bitte die Mitteilungen aufmerksamer: [mm] $2<4<\ldots <1<3\ldots$ [/mm] ist als eine einzige Ordnung auf [mm] $\IN$ [/mm] definiert und nicht als zwei Ordnungen auf zwei Teilmengen von [mm] $\IN$! [/mm] Das haette doch gar nichts mit der Fragestellung zu tun: lineare Ordnungen auf [mm] $\IN$, [/mm] und nicht auf irgendwelchen Teilmengen von [mm] $\IN$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Sa 14.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich ehrlich bin sehe ich auch so nicht den zusammenhang zu der Aufgabe.
Ich möchte ja die Frage beantworten wie viele dichte, lineare, paarweise nicht isomorphe Ordnungen es auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] gibt. Wie man dabei zeigt, dass zwei Ordnungen nicht isomorph sind, ist mir dabei immer noch nicht so wirklich klar...
Das [mm] $\leq'$ [/mm] eine lineare Ordnung definiert ist klar.
Es gibt keinen Isomorphismus zwischen der natürlichen Ordnung
1<2<3<4<....
zu
2<4<....<1<3<...
Weil ich, wenn ich die geraden Zahlen irgendwann mal zugeordnet habe, keine Zahlen mehr übrig sind um sie den ungeraden Zahlen zuzuordnen, da diese bereits "besetzt" sind.
Ich hoffe du verstehst wie ich das meine.
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> Wenn ich ehrlich bin sehe ich auch so nicht den
> zusammenhang zu der Aufgabe.
hippias wollte ein Beispiel außerhalb der Aufgabe geben, an dem du üben kannst Ordnungen auf Isomorphie zu testen.
> Ich möchte ja die Frage beantworten wie viele dichte,
> lineare, paarweise nicht isomorphe Ordnungen es auf
> [mm]\mathbb{N}[/mm] gibt. Wie man dabei zeigt, dass zwei Ordnungen
> nicht isomorph sind, ist mir dabei immer noch nicht so
> wirklich klar...
>
> Das [mm]\leq'[/mm] eine lineare Ordnung definiert ist klar.
>
> Es gibt keinen Isomorphismus zwischen der natürlichen
> Ordnung
>
> 1<2<3<4<....
>
> zu
>
> 2<4<....<1<3<...
>
> Weil ich, wenn ich die geraden Zahlen irgendwann mal
> zugeordnet habe, keine Zahlen mehr übrig sind um sie den
> ungeraden Zahlen zuzuordnen, da diese bereits "besetzt"
> sind.
>
> Ich hoffe du verstehst wie ich das meine.
Überlege dir das folgende Lemma:
Sind [mm] $(S,\le)$, $(T,\le')$ [/mm] zwei geordnete Mengen und $f$ ein Isomorphismus [mm] $S\xrightarrow{\cong}T$, [/mm] so gilt, falls die entsprechenden Infima existieren (man kann auch Infima durch Suprema/Minima/Maxima ersetzen):
[mm] $f(\inf (A))=\inf(f(A))$.
[/mm]
(Übrigens folgt das auch aus kategoriellem Unsinn, denn Äquivalenzen von Kategorien erhalten Limites und Kolimites - dies liefert die Aussage für Infima und daraus folgt die über Minima trivial.)
Per Induktion, kannst du folgern, dass ein Isomorphismus zwischen den obigen Ordnungen durch [mm] $n\longmapsto [/mm] 2n$ gegeben sein müsste - da diese Abbildung offensichtlich nicht surjektiv ist hast du einen Widerspruch.
Auf ähnliche Weise (da Induktion äquivalent zur Wohlordnung auf [mm] $\IN$ [/mm] ist) kann man den allgemeineren Satz zeigen: Zwei wohlgeordnete Mengen sind entweder isomorph, oder die eine ist isomorph zu einem Anfangsstück der jeweils anderen. Hieraus ergibt sich das Resultat ebenfalls.
Um mal wieder zurück zur Aufgabe zu kehren:
Zeige, dass die Ordnungen [mm] $(\IQ,\le)$ [/mm] sowie [mm] $(\IQ\cup\{\pm\infty\},\le)$ [/mm] nicht isomorphe, dichte, lineare Ordnungen sind.
Definiere anschließend zwei weitere Ordnungen auf ähnliche Weise.
Der schwierigere Teil wird sein, zu zeigen, dass jede dichte, lineare Ordnung tatsächlich zu einer dieser viere isomorph ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:47 Sa 14.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Was soll denn [mm] $(\mathbb{Q}\cup\{\pm\})$ [/mm] sein.
Was ich mit deinem angesprochenem Lemma soll, weiß ich auch nicht...
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Entschuldige, ich meinte [mm] $\IQ\cup\{\pm\infty\}$.
[/mm]
Das habe ich oben geschrieben. Nimm an, du hast einen Isomorphismus [mm] $f\colon(\IN,\le)\longrightarrow(\IN,\le')$ [/mm] und zeige per Induktion, dass $f(n)=2n$. Zur Induktion gehört ein Induktionsanfang und ein Induktionsschluss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Sa 14.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich weiß immer noch nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. :'(
Wie eine Induktion funktioniert weiß ich...
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> Wie eine Induktion funktioniert weiß ich...
IA Behauptung: $f(1)=2$. Beweis: [mm] $f(1)=f(\inf_\le(\IN))=\inf_{\le'}(f(\IN))=\inf_{\le'}(\IN)=2$. [/mm] Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt wegen der Bijektivität von [mm] $\IN$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Sa 14.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Hilft mir das für die Lösung der Aufgabe weiter?
Ich denke nicht, weil ich mir nicht vorstellen kann, dass wir uns diesen Zusammenhang noch irgendwie selber herleiten sollten. Das muss doch auch irgendwie "direkt" gehen...
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Nein, hier geht es um ein Beispiel zur Widerlegung von Isomorphie, welches hippias vorgeschlagen hat, weil du meintest, dass du damit allgemein Probleme hast.
Mit der Aufgabe zu tun hat mein Vorschlag, dass du damit anfängst, zu zeigen, dass [mm] $\IQ [/mm] $ und [mm] $\IQ\cup\{\pm\infty\}$ [/mm] nicht isomorph sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Sa 14.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Und in wie weit ist dies Hilfreich? Ich würde deinem Tipp ja gerne nachgehen, aber ich soll ja zeigen wie viele solcher Ordnungen es auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] gibt, und da fände ich es gut, wenn ich wüsste in wie fern das später hilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 So 15.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Also mein Hauptproblem mit dieser Aufgabe ist, dass ich irgendwie überhaupt keinen Zugang zu ihr habe.
In diesem Thread ist ja bereits gefallen, dass es wohl 4 solcher Ordnungen mit den gesuchten Eigenschaften gibt.
Wie kommt man darauf? Ergibt sich sowas automatisch? Ist es bereits Erfahrung die da mit spielt?
Das nächste Problem ist, dass ich mit der geleisteten Hilfestellung leider nicht weiter komme, weil ich zum Teil die Ziele dahinter nicht verstehe wie jüngst der Tipp von Universellesobjekt.
Ich würde diesen Tipps ja gerne nachgehen, weil die Aufgabe mich auch langsam peinigt, aber ohne zu wissen was sie bringen oder wo man damit hingelangt fällt es mir umso schwerer.
Gibt es für die Aufgabe nicht eine einfache Zusammenfassung, damit ich den Sinn und die Lösungsmethodik verstehen kann um eure Tipps dann besser umsetzen zu können.
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Also, wir wollen herausfinden, wie viele nicht isomorphe, dichte, lineare Ordnungen es auf [mm] $\IN$ [/mm] gibt. Dazu müssen wir:
I alle Ordnungen, welche obige Eigenschaften erfüllen angeben
II zeigen, dass es tatsächlich keine weiteren gibt.
Im Moment sind wir noch bei Schritt I. Die Eigenschaften "dicht" und "linear" sind für uns nichts Ungewöhnliches - die vertraute Ordnung der reellen Zahlen erfüllt sie zum Beispiel. Wir müssen jetzt aber welche auf [mm] $\IN$ [/mm] finden. Anstatt [mm] $\IN$ [/mm] kann man aber auch eine beliebige abzählbare Menge betrachten. (Warum?) Eine abzählbare Menge mit einer Ordnung, die so ähnlich ist, wie die auf [mm] $\IR$, [/mm] ist [mm] $\IQ$. [/mm] Und tatsächlich liefert [mm] $\IQ$ [/mm] eine 1. wohlvertraute 2. lineare 3. dichte Ordnung auf 4. einer abzählbaren Menge. Hervorragend!
Da wir jetzt schon ein Beispiel kennen, können wir überlegen, ob man dieses Beispiel leicht modifizieren kann, um weitere Beispiele zu erhalten. Zum Beispiel könnte man zu der Ordnung ein Minimum und ein Maximum hinzufügen [mm] ($\IQ$ [/mm] hat keine solchen). Dies führt auf [mm] $\IQ\cup\{\pm\infty\}$. [/mm] Man kann zwei weitere ähnliche Ordnungen konstruieren, mit entweder einem Maximum oder einem Minimum.
Schritt II ist dann: Nimm eine beliebige lineare, dichte Ordnung [mm] $\le$ [/mm] auf einer abzählbaren Menge $A$. Zu zeigen ist, dass $A$ isomorph zu einer der obigen vier Ordnungen ist. Dazu kann man zunächst einmal annehmen, dass $A$ weder Minimum und Maximum hat, und zeigen, dass $A$ zu [mm] $\IQ$ [/mm] isomorph sein muss. Wenn du das erstmal hast, lassen sich die anderen drei Fälle leicht darauf zurückführen.
Ist der Fahrplan damit erstmal klar? Frag sonst bitte gerne weiter, ich würde mich freuen, wenn wir das zusammen hinbekommen!
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Mo 16.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, so ist der Fahrplan schon viel klarer. Danke.
Man kann anstatt [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] auch eine andere abzählbare Menge betrachten, da diese Isomorph zu einander sind.
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Ja, weil sie als Mengen isomorph sind, das heißt, es gibt eine Bijektion [mm] $\IN\xrightarrow{f}A$. [/mm] Wenn ich jetzt eine Ordnung [mm] $\le$ [/mm] auf $A$ habe, bekomme ich durch [mm] $m\le n\iff fm\le [/mm] fn$ eine Ordnung auf [mm] $\IN$ [/mm] und $f$ wird zu einem Ordnungsisomorphismus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 16.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wie sähen denn die anderen drei Fälle aus?
Zwar leuchtet mir der "Fahrplan" dieser Aufgabe mittlerweile ein, aber die Lösungsmethodik erschließt sich mir leider immer noch nicht ganz.
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Es gibt insgesamt die vier Fälle:
$ A $ hat weder Minimum noch Maximum.
Ein Minimum und ein Maximum.
Nur ein Minimum.
Nur ein Maximum.
Je zwei dichte lineare Ordnungen, welche sich eine dieser Eigenschaften teilen, sind bereits isomorph. Das gilt es zu zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Hmm, in einer Aufgabe zu vor habe ich folgendes gezeigt (bzw. darf ich es wohl annehmen, für den Fall, dass ich es falsch gemacht habe)
Sei A eine abzählbar (womit abzählbar unendlich gemeint ist) Menge. Sei [mm] $\leq_A$ [/mm] eine lineare Ordnung auf A. Dann gilt mindestens eine der folgenden Aussagen:
1. Es gibt eine ordnungstreue Abbildung
[mm] $\pi: (\mathbb{N}, <)\to [/mm] (A, [mm] \leq_A)$
[/mm]
2. Es gibt eine ordnungstreue Abbildung
[mm] $\pi: (\mathbb{N}, >)\to [/mm] (A, [mm] \leq_A)$
[/mm]
3. Es gibt eine Ordnungstreue Abbildung
[mm] $\pi: (\mathbb{Q}, <)\to [/mm] (A, [mm] \leq_A)$
[/mm]
< ist die natürliche Ordnung.
Kann ich das hier verwenden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Um nochmal auf dieses hier zurück zu kommen:
> Auf ähnliche Weise (da Induktion äquivalent zur
> Wohlordnung auf [mm]\IN[/mm] ist) kann man den allgemeineren Satz
> zeigen: Zwei wohlgeordnete Mengen sind entweder isomorph,
> oder die eine ist isomorph zu einem Anfangsstück der
> jeweils anderen. Hieraus ergibt sich das Resultat
> ebenfalls.
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Bedeutet das, dass wenn ich zwei Ordnungen habe von denen die eine Ordnung "nur" isomorph zu einem Anfangsstück der anderen ist, dann können sie nicht mehr "komplett" isomorph sein.
Wir haben folgenden Satz:
Sei <_A eine Wohlordnung auf A, und sei <_B eine Wohlordnung auf B. Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen:
a) Es gibt ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit $(A, [mm] <_A)_{|x}\cong(B, [/mm] <_B)$
b) Es gibt ein [mm] $y\in [/mm] B$ mit $(A, [mm] <_A)\cong [/mm] (B, [mm] <_B)_{|y}$
[/mm]
c) $(A, [mm] <_A)\cong [/mm] (B, <_B)$
Will ich nun zeigen, dass die beiden Mengen
[mm] $(\mathbb{Q}, [/mm] <)$ und [mm] $(\mathbb{Q}\cup\{+\infty\}, [/mm] <)$
nicht isomorph sind, dann muss ich ja lediglich zeigen, dass es ein [mm] $y\in (\mathbb{Q}\cup\{+\infty\}, [/mm] <)$
So, dass die Aussage b) gilt. Da wir in beiden Mengen eine Wohlordnung haben, können diese Mengen dann nicht mehr isomorph sein, denn es gilt ja nur genau eine dieser Aussagen. Und das sie auf einem Anfangsstück isomorph sind, ist klar. In der zweiten Menge wurde ja nur das Maximum [mm] $\infty$ [/mm] eingefügt.
Auf gleiche Weise würde man dann auch die "nicht-isomorphie" zu der Menge mit dem Minimum [mm] $-\infty$ [/mm] erhalten.
Ist aber bestimmt wieder falsch. :(
Ich bin an dieser Aufgabe zerbrochen.
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Hi,
bei dieser Aufgabe hilft dir das nicht weiter, da es sich nicht um Wohlordnungen handelt. Es ging hierbei noch um das Beispiel von hippias.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Hast recht... ich hatte den Thread noch einmal überflogen und den Zusammenhang außer acht gelassen.
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Auch bei diesem Resultat weiß ich leider nicht, wie man es hier nutzbringend verwenden könnte.
Zu zeigen ist jetzt: Zwei abzählbare, dicht linear geordnete Mengen ohne Minimum oder Maximum [mm] $A=\{a_1,\dots\}$ [/mm] und [mm] $B=\{b_1,\dots\}$ [/mm] sind isomorph unter einem Isomorphismus $f$.
Die Idee sieht so aus: Wir schicken erstmal [mm] $a_1$ [/mm] auf irgendein Element in $B$. Im nächsten Schritt wählen wir in $B$ das erste Element (bezüglich der Abzählung), welches noch kein Urbild hat. Je nachdem ob dieses größer oder kleiner als [mm] $fa_1$ [/mm] ist, wählen wir ein Element in $A$, welches größer oder kleiner als [mm] $a_1$ [/mm] ist und senden dieses auf das Element in $B$.
So geht es weiter: In jedem ungeraden Schritt wählen wir das kleinste Element in $A$, welches noch nicht abgebildet wurde. Liegt es zwischen zwei Elementen, die wir bereits abgebildet haben, schicken wir es auf ein Element zwischen deren Bildern in $B$ (ein solches existiert wegen Dichtheit). Ist es größer als alle die wir schon abgebildet haben, schicken wir es auf eines das größer, als alle Bilder in $B$ ist (ein solches existiert, da $B$ nach Annahme unbeschränkt ist).
In jedem geraden Schritt wählen wir in $B$ das erste Element $b$, welches noch kein Urbild ist. Gibt es größere und kleinere Bilder in $B$, wählen wir in $A$ ein Element, das zwischen deren Urbildern liegt, und senden dieses auf $b$.
Durch rekursive Definition kann man das präzisieren. Die sich ergebende Abbildung ist offenbar bijektiv und ordnungshomomorph.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
:O Wie kommt man denn auf so eine Abbildung? Da wäre ich ja nie drauf gekommen.
Ich versuche es mal aufzuschreiben.
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Du hast Recht, der Beweis ist leider nicht so intuitiv und vor allem nicht konzeptionell, was auch dazu führt, dass das Resultat keine wirklichen Verallgemeinerungen (z.B.) auf Mengen größerer Kardinaltität besitzt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Könnte man es so formalisieren:
Seien A, B zwei abzählbare Mengen mit einer linearen Ordnung
[mm] $A:=\{a_1,...\}$
[/mm]
[mm] $B:=\{b_1,...\}$
[/mm]
Konstruiere die Abbildung
$f: [mm] A\to [/mm] B$
Durch
[mm] $f(a_1)=b_i$ [/mm] mit [mm] $b_i\in [/mm] B$.
Wähle nun ein [mm] $b_j\in [/mm] B$ mit [mm] $j\neq [/mm] i$ durch [mm] $\min B=b_i$ [/mm] welches kein Urbild unter f besitzt.
Ist [mm] $f^{-1}(b_j)>a_1$ [/mm] oder [mm] $f^{-1}(b_j)
[mm] $f^{-1}(b_j)=a_m$ [/mm] oder [mm] $f^{-1}(b_j)=a_n$ [/mm] für [mm] $a_m>a$ [/mm] oder [mm] $a
Gehe nun rekursiv weiter vor.
Wähle [mm] $\min A=\{a\in A|f(a)\neq b\}:=a_{\text{min}}$. [/mm] (Also die Menge aller a welche noch keinem b zugeordnet wurden.)
Gilt nun [mm] $a_k
(Die Menge aller a welche bereits einem b zugeordnet wurden.)
So ist [mm] $f(a_k)
Gilt [mm] $a_\text{min} >a_l$ [/mm] für alle [mm] $a_l\in\{a\in A|f(a)=b\}$, [/mm] so wähle
[mm] $f({a\in A|f(a)=b\})=b_l$ [/mm] mit [mm] $b_l> [/mm] f(a)$ für alle [mm] $a\in\{a\in A|f(a)=b\}$
[/mm]
Dies geht, weil B unbeschränkt ist.
Ich hoffe ich konnte das was du beschrieben hast ein wenig (zufriedenstellend) formalisieren. Naja, ist ein kleines Indexmassaker geworden und wahrscheinlich an einigen Stellen Formal nicht wirklich schön.
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> Könnte man es so formalisieren:
>
> Seien A, B zwei abzählbare Mengen mit einer linearen
> Ordnung
>
> [mm]A:=\{a_1,...\}[/mm]
> [mm]B:=\{b_1,...\}[/mm]
>
> Konstruiere die Abbildung
>
> [mm]f: A\to B[/mm]
>
> Durch
>
> [mm]f(a_1)=b_i[/mm] mit [mm]b_i\in B[/mm].
> Wähle nun ein [mm]b_j\in B[/mm] mit [mm]j\neq i[/mm]
> durch [mm]\min B=b_i[/mm] welches kein Urbild unter f besitzt.
> Ist [mm]f^{-1}(b_j)>a_1[/mm] oder [mm]f^{-1}(b_j)
> so, dass
>
> [mm]f^{-1}(b_j)=a_m[/mm] oder [mm]f^{-1}(b_j)=a_n[/mm] für [mm]a_m>a[/mm] oder
> [mm]a
Hier ist einiges durcheinander. Ungerader Schritt: Wähle $j$ (!) minimal, sodass [mm] $b_j$ [/mm] kein Urbild unter $f$ hat. Sei [mm] $B_j$ [/mm] die (endliche) Menge der Elemente von $B$, welche bereits ein Urbild haben. Sie ist notwendigerweise wohlgeordnet. Drei Fälle sind zu unterscheiden:
1. Alle Elemente von [mm] $B_j$ [/mm] sind kleiner als [mm] $b_j$. [/mm] Dann wähle als Urbild von [mm] $b_j$ [/mm] ein Element, welches kleiner als alle Urbilder von [mm] $B_j$ [/mm] ist. (Existenz nach Unbeschränktheit)
2. Ersetze "kleiner" durch "größer" in 1.
3. Es gibt Elemente, die größer, und welche die kleiner sind. Wähle $x'$ als das größte Element von [mm] $B_j$, [/mm] welches kleiner als [mm] $b_j$ [/mm] und $y'$ als das kleinste Element von [mm] $B_j$, [/mm] welches größer als [mm] $b_j$ [/mm] ist. Seien $x,y$ die jeweiligen Urbilder. Wegen Dichtheit existiert ein Element zwischen $x$ und $y$. Wähle dies als Urbild für [mm] $b_j$.
[/mm]
> Gehe nun rekursiv weiter vor.
> Wähle [mm]\min A=\{a\in A|f(a)\neq b\}:=a_{\text{min}}[/mm].
Schon wieder diese Schreibweise... [mm] $\min [/mm] A$ existiert überhaupt nicht. Wir haben expilizit angenommen, dass $A$ unbeschränkt ist. Was ist an dieser Stelle $b$? $a_min$ ist eine Teilmenge von $A$? Das passt doch alles nicht. Es ist übrigens auf keinen Fall schlecht, einen Beweis mit Worten, anstelle von Zeichen zu führen! In der Mengenlehre wird das gerne vergessen, am besten wir alles noch quantorifiziert, aber das nützt doch keinem!
Wähle [mm] $a_i$ [/mm] so, dass $i$ (nicht [mm] $a_i$!) [/mm] minimal ist mit der Eigenschaft, dass [mm] $a_i$ [/mm] noch nicht abgebildet wurde. Das sagt doch alles, was man wissen muss, ist leichter zu schreiben, leichter zu lesen und kürzer als jeder Formelsalat.
(Also
> die Menge aller a welche noch keinem b zugeordnet wurden.)
>
> Gilt nun [mm]a_k
>
> (Die Menge aller a welche bereits einem b zugeordnet
> wurden.)
>
> So ist [mm]f(a_k)
> A und B nach Voraussetzung dicht sind.
Was ist $f(a_min)$ (was bei mir jetzt [mm] $f(a_i)$) [/mm] heißt? Das wollen wir doch erst definieren!
Sei [mm] $A_i$ [/mm] die Menge der bereits zugeordneten Elemente. Sind alle Elemente aus [mm] $A_i$ [/mm] größer als [mm] $a_i$, [/mm] wähle ein [mm] $b
Wichtig ist jetzt, dass du dir klar machst, wieso $f$ auf diese Weise eine Abbildung definiert (das heißt jedem [mm] $a\in [/mm] A$ wird genau ein [mm] $b\in [/mm] B$ zugeordnet), diese bijektiv ist (dies folgt aus Symmetriegründen, denn jedem [mm] $b\in [/mm] B$ wird genau ein [mm] $a\in [/mm] A$ zugeordnet; die Konstruktion von $f$ funktioniert ja in beiden Richtungen gleich.)
Und auch Ordnungstreue ist eigentlich trivial, es geht eigentlich nur ums "Klarmachen".
Fazit: Habe Mut dich deiner eigenen Sprache (Deutsch, nicht Prädikatenlogik) zu bedienen. Pass auf, dass nicht allzuoft sinnlose Wort- oder Zeichenfolgen entstehen, wie halt eben z.B. [mm] $\min A=\{a\in A\mid\dots\}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 18.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay.
Wenn ich dies also Formal aufschreibe, ist dann die Aufgabe gelöst, oder muss ich noch andere Fälle betrachten?
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Es bleibt zu zeigen, dass auch je zwei dichte lineare Ordnungen
- mit Minimum und Maximum
- nur mit Minimum
- nur mit Maximum
isomorph sind.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Werden diese Fälle leichter? Du schriebst ja einmal weiter oben, dass wenn ich den ersten Fall habe sich die anderen darauf leicht zurückführen lassen.
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Ja. Denn in jedem Fall enthalten solche Menge eine dichte lineare Ordnung ohne Minimum und Maximum. Auf diese kann man den bereits betrachteten Fall anwenden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay.
Vielen Dank für die langwierige Hilfe.
Ich werde es nun versuchen alleine zum Ende zu bringen und gegebenen Fall die Lösung einfach abwarten, wenn wir sie in der Übungsgruppe besprechen.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 16.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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