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Forum "Zahlentheorie" - diophantische gleichungen
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diophantische gleichungen: Tipp,Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Do 10.08.2017
Autor: nkln

Aufgabe
Beschreiben Sie alle Lösungen der folgenden linearen Diophantischen Gleichungen, sofern sie existieren. Lösen Sie die Aufgaben
a)  $143x + 299y = 13. $
b)  $6x + 10y + 15z = 0. $
c)  $x + y + z = 0. $

a)  $143x + 299y = 13. $

$ggt(299,143)=13 $

13|13 deshalb lösbar
bezout identität

$13=299*1-2*143 $,d.h dass unser  [mm] $x_0=-2 [/mm] $ und  [mm] $y_0=1 [/mm] $ ist. Da zufälligerweise der  $ggt(299,143) $ ober der  $13 $ gleicht, haben wir direkt eine spezielle lsg gefunden,die da  [mm] $x_0=-2 [/mm] $ und  [mm] $y_0=1 [/mm] $ ist.

nun beschreibe ich die Allgemeine Lösung durch  [mm] $(x,y)=(x_0+\frac{b*t}{ggt(a,b)},y_0-\frac{a*t}{ggt(a,b)}| [/mm] t [mm] \in \IZ) [/mm] $ mit  $a=143,b=299 $

also  $ [mm] (x,y)=(x_0+\frac{b*t}{ggt(a,b)},y_0-\frac{a*t}{ggt(a,b)}| [/mm] t [mm] \in \IZ) =(-2+\frac{299*t}{13},1-\frac{143*t}{13}) [/mm] =(-2+23*t,1-11*t| t [mm] \in \IZ)$ [/mm]

b)

dies ist ja eine homogene diophantische gleichung

$6x + 10y + 15z = 0. $

$ggt(a,b,c)=ggt(ggt(a,b),c)$

$ggt(6,10,15)=ggt(ggt(6,10),15)=ggt(2,15)=1$

$1=15*1-14*6-7*10$

$1|0$ deshalb lösbar.

ich hab keine Ahnung wie ich jetzt vorgehen soll. Ich hab das hier schonmal ausgecheckt

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm , aber ich raff dieses Verfahren nicht. kann mir jemand bitte helfen?:)

        
Bezug
diophantische gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Do 10.08.2017
Autor: leduart

Hallo
bei Brünner kannst du doch einfach deine Gleichung eingeben, "Erklärung generieren" ankreuzen und schon wird das schrittweise erklärt.
mach das mal und erzähle, was dabei unklar bleibt.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
diophantische gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Fr 11.08.2017
Autor: nkln

Hi:)

es hat sich alles geklärt,ich hab ein wenig auf dem  'Schlau gestanden,ich hoffe ,dass du mir das nicht übel nimmst:)

Bezug
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