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Forum "Kombinatorik" - fairer Würfel EW Augensumme
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fairer Würfel EW Augensumme: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Di 14.04.2015
Autor: Rocky14

Aufgabe
Ein fairer Würfel werde geworfen. Ist j das Ergebnis, so werden j Würfel geworfen. Betrachten Sie X: insgesamt erielte Augensumme (Inklusive Startwert) und berechnen Sie den Erwartungswert.

Hey Leute,
ich bin mir unsicher, ob ich obige Aufgabe richtig verstehe.
Ich werfe einen Würfel. Mögliche Ergebnisse: 1,....,6
Ich würfel nochmal und zwar mit 1 - 6 Würfeln. Je nachdem, was vorher rauskam. Die kleinste AUgenzahl wäre 2, die größte wäre 36.
Würfel ich dann nochmal? Oder höre ich dann auf?

Beim 1. Wurf ist mein Erwartungswert ja [mm] \summe_{i=1}^{6} [/mm] i*1/6 = 3,5
Beim 2. Wurf beträgt mein Erwartungswert [mm] \summe_{i=1}^{6} [/mm] i*1/6 + 2 * [mm] \summe_{i=1}^{6} [/mm] i*1/6 + 3 * [mm] \summe_{i=1}^{6} [/mm] i*1/6 + 4 * [mm] \summe_{i=1}^{6} [/mm] i*1/6 + 5 * [mm] \summe_{i=1}^{6} [/mm] i*1/6 + 6 * [mm] \summe_{i=1}^{6} [/mm] i*1/6 = 73,5

Insgesamt beträgt mein Erwartungswert also: 3,5 + 73,5 = 77
Stimmt das?
Danke für eure Hilfe im Voraus!


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
fairer Würfel EW Augensumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Di 14.04.2015
Autor: chrisno


> .....
> Ich werfe einen Würfel. Mögliche Ergebnisse: 1,....,6

sehe ich auch so

>  Ich würfel nochmal und zwar mit 1 - 6 Würfeln. Je
> nachdem, was vorher rauskam. Die kleinste AUgenzahl wäre
> 2, die größte wäre 36.

Das sehe ich anders. Wenn der erste Wurf eine 1 war, dann kann beim zweiten als kleinste Zahl eine 1 kommen, die Summe ist also 2. Aber wenn der erste Wurf eine 6 war, dann können beim zweiten Wurf noch 36 dazu kommen, ergibt also 42.

>  Würfel ich dann nochmal? Oder höre ich dann auf?

Da steht nichts von weiterem Würfeln, also aufhören.

>  
> Beim 1. Wurf ist mein Erwartungswert ja [mm]\summe_{i=1}^{6}[/mm]
> i*1/6 = 3,5

>  Beim 2. Wurf beträgt mein Erwartungswert [mm]\summe_{i=1}^{6}[/mm]
> i*1/6 + 2 * [mm]\summe_{i=1}^{6}[/mm] i*1/6 + 3 * [mm]\summe_{i=1}^{6}[/mm]
> i*1/6 + 4 * [mm]\summe_{i=1}^{6}[/mm] i*1/6 + 5 * [mm]\summe_{i=1}^{6}[/mm]
> i*1/6 + 6 * [mm]\summe_{i=1}^{6}[/mm] i*1/6 = 73,5

Das sehe ich ganz anders. Wie berücksichtigst Du, dass beim zweiten Wurf die Zahl der Würfel vom ersten Wurf abhängt?

>  
> Insgesamt beträgt mein Erwartungswert also: 3,5 + 73,5 = 77
>  Stimmt das?

Ich komme auf 15,75 Dazu bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Wenn der erste Wurf eine 1 ist, dann beträgt der Erwartungswert für das Ergebnis in diesem Fall 1 + 3,5 = 4,5.
Wenn der erste Wurf eine 2 ist, ..... 9.
...
Wenn der erste Wurf eine 6 ist, .... 27.
Da alle diese Fälle gleich wahrscheinlich sind, habe ich als Erwartungswert den Mittelwert der einzelnen Erwartungswerte genommen.



Bezug
                
Bezug
fairer Würfel EW Augensumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Di 14.04.2015
Autor: Rocky14

Danke für deine Hilfe.
Du hast Recht, ich habe den vorherigen Wurf nicht berücksichtigt. Ich dachte, wenn ich den 1. EW draufaddiere, reicht das. Daher stand da 3,5 + 73,5.
Deine Erklärung ergibt aber viel mehr Sinn.
Ist das im Prinzip die Umschreibung für die Formel für den bedingten Erwartungswert? Oder gäbe es da noch eine andere Schreibweise?


Bezug
                        
Bezug
fairer Würfel EW Augensumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Di 14.04.2015
Autor: chrisno

Ein Erwartungswert größer als der maximal mögliche Ausgang ist einfach falsch.
Wenn höchstens 42 Punkte erreicht werden können, dann kann der Erwartungswert nicht größer sein.

Ich habe das nun gar nicht formal aufgeschrieben und gelöst. Dazu fehlen mir auch die Mittel. Nachdem, was ich nun gelesen habe, ist der Begriff bedingter Erwartungwswert hier angemessen. Du kannst natürlich auch mit der Definition des Erwartungswerts arbeiten, das wird aber mehr Schreibarbeit.

Bezug
                        
Bezug
fairer Würfel EW Augensumme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Mi 15.04.2015
Autor: rmix22


> Danke für deine Hilfe.
> Du hast Recht, ich habe den vorherigen Wurf nicht
> berücksichtigt. Ich dachte, wenn ich den 1. EW
> draufaddiere, reicht das. Daher stand da 3,5 + 73,5.

Dann wohl eher $3,5+3,5*3,5$.

Eine anschauliche, sachlich aber keineswegs korrekte, weil viel zu saloppe, Begründung dieses Ausdrucks:

Die ersten 3,5: Mittlere zu erwartende Augenzahl des ersten Wurfes.
Die zweiten 3,5: Mittlere zu erwartende "Anzahl" der Würfel für den zweiten Wurf
Die letzten 3,5: Mittlere Augenzahl jedes Würfels beim zweiten Wurf.

Das Ergebnis 15,75 hat chrisno ja schon genannt.

Gruß RMix

P.S.: $4,5*3,5$ wäre noch komapkter -> "Gesamtanzahl aller Würfel (Erster+mittlere Anzahl beim zweiten Wurf) mal mittlere AUgenzahl pro Würfel".

Bezug
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