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Forum "Mathe Klassen 8-10" - ges: Funktionsterm Trigometrie
ges: Funktionsterm Trigometrie < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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ges: Funktionsterm Trigometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:35 Fr 21.10.2016
Autor: RobKobin

Aufgabe
[]https://i.imgur.com/49SvNUG.png



EDIT: Bitte 2. Mitteilung anschauen, da hab ich das Problem eingegrenzt und kürzer gefasst!

Hallo,

Ich habe hier bisher immer hilfreiche Antworten bekommen, ich benötige nun bei etwas kniffligerem Hilfe.

Ich möchte ein Spiel entwickeln bei dem man einen Figur steuert. Dieser soll halbwegs realistisch aus dem Lauf heraus springen können.

Dabei soll der Körper der Figur sich beim Absprung neigen und beim Landen ebenso.

Im Bild oben ist eine Parabel zu sehen.

Auf dieser bewegt sich der Massenschwerpunkt der Figur im Flug zwischen Absprung und Landung. Die Vektoren der vertikalen und horizontalen Geschwindigkeiten beim Absprung sind im Dreieck mit dem [mm]\alpha[/mm] Winkel dargestellt.

Das andere Dreieck mit dem [mm]\beta[/mm] Winkel ist die Körperneigung beim Absprung (bzw rechts bei der Landung). Die Konstante [mm]k[/mm] ist hierbei die Höhe des Massenschwerpunkt über dem Boden und stellt die Hypotenuse des Dreiecks dar.

Im Bild ist abgebildet welche Größen gegeben sind. Ich suche nun [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm], die Weite [mm]w[/mm] ist hier erstmal sekundär.

Ich habe das Modell bereits ohne den Körperneigungsdreieck hinbekommen. Mit ihn schaffe ich es aber nicht so richtig.

Was mir schwer fällt ist die Berechnung von [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm]. Denn diese beeinflusst ja den Winkel [mm]\alpha[/mm], dieser beeinflusst den Winkel [mm]\beta[/mm] (da ich will dass [mm]\tan\beta = 8*\tan\alpha[/mm] ist), und dieser senkt die Parabel nach unten, was (um trotzdem den Scheitelpunkt an der gewünschten Höhe zu behalten) die Geschwindigkeit [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm] wiederum vergrößern muss. Ein Zirkelschluss! :-(

Ohne das Körperneigungsdreieck war es einfach [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm] zu berechnen, da der Höhenunterschied zwischen Scheitelpunkt und den anderen roten Punkten mir als [mm]x[/mm] bekannt war:

[mm]\wurzel{x*2*9,81}[/mm]

Nun weiß ich aber nicht welche Höhe hier vorliegt, da zu [mm]x[/mm] nun noch [mm]k[/mm] minus die Gegenkathete von [mm]\beta[/mm] hinzuaddiert werden muss. Und hier komm ich zum genannten Zirkelschluss.

Falls Werte benötigt werden, hier sind die Zahlen die ich derzeit für meine gegebenen Konstanten einsetzen will:

[mm]x=1[/mm]

[mm]k=1.7875*(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{5}}{2})[/mm]

[mm]v_(_h_o_r_i_z_o_n_t_a_l_)=\bruch{2813}{720}[/mm]

Noch als Randnotiz, das Dreieck bei der Landung gestalte ich vielleicht anders. Es kann ignoriert werden, ich brauche erstmal nur Hilfe beim Finden von [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm].

Großes Danke schonmal für Tipps. Wenn ich mich wo unklar ausgedrückt habe fragt nach. Am Besten bevor ihr euch Mühe gebt eine Lösung bzw einen Lösungsansatz zu finden! ;)

        
Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Fr 21.10.2016
Autor: RobKobin

Ich habe nun einen Ansatz:

Ich habe diverse Gleichungen aufgestellt und diese zusammengeführt:

[mm]b[/mm] = Gegenkathete von [mm]\beta[/mm]

1.a [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_) = \wurzel{(x+k-b)*2*9,81}[/mm] |1.a nach [mm]b[/mm] umstellen:
1.b [mm]b = k+x-\bruch{v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)^2}{2*9,81}[/mm]

2.a [mm]b = \sin\beta*k[/mm]

3.  [mm]\alpha=\arctan\bruch{v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)}{v_(_h_o_r_i_z_o_n_t_a_l_)}[/mm]

4.a [mm]\tan\beta = 8*\tan\alpha[/mm]
4.b [mm]\beta = \arctan\(8*\tan\alpha)[/mm]

|4.b in 2.a eingesetzt:
2.b [mm]b = \sin(\arctan(8*\tan\alpha))*k[/mm] |3 in 2.b eingesetzt:
2.c [mm]b = \sin(\arctan(8*\tan(\arctan\bruch{v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)}{v_(_h_o_r_i_z_o_n_t_a_l_)})))*k[/mm]

|2.c und 1.b gleich gesetzt damit es nur eine Unbekannte gibt

[mm]k+x-\bruch{v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)^2}{2*9,81} = \sin(\arctan(8*\tan(\arctan\bruch{v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)}{v_(_h_o_r_i_z_o_n_t_a_l_)})))*k[/mm]
[mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_) = ?[/mm]

Jetzt müsste ich nach [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm] auflösen. Wie mache ich das? :/
Alle Variablen sind positiv.

Bezug
                
Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Fr 21.10.2016
Autor: RobKobin

Okay Wolfram Alpha hilft mir gerade weiter. Der letzte Term kann demnach auch so umgeformt werden:

[mm] k+x-\bruch{v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)^2}{2\cdot{}9,81} [/mm] = [mm] \bruch{8*v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)*k}{\wurzel{64*v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)^2+v_(_h_o_r_i_z_o_n_t_a_l_)^2}} [/mm]

Nach [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm] muss ich es dennoch auflösen :/

Wenn ich für alle Bekannten Variablen die im ersten Beitrag angegebenen Zahlen in WOlfram Alpha angebe, gibt er mir ein positives, negatives und ein mit [mm]i[/mm] Faktor aus:

[]https://www.wolframalpha.com/input/?i=(8+a+(1.7875*(-1%2F2%2Bsqrt(5)%2F2)))%2Fsqrt(64+a%5E2%2B(2813%2F720)%5E2)+%3D+(1.7875*(-1%2F2%2Bsqrt(5)%2F2))%2B1-a%5E2%2F(2*9.81)+solve+for+a

Das Ergebnis wäre wohl [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_) \approx 4.44406[/mm]

Das ist ja gut zu wissen, nur eine genaue Zahl wäre besser bzw wie ich das selbst errechnen kann.

Selbst nach [mm]v_(_v_e_r_t_i_k_a_l_)[/mm] auflösen kann Wolfram Alpha nicht so ordentlich. Zumindest hoffe ich dass das nicht so aussehen muss!

[]https://www.wolframalpha.com/input/?i=(8+v+k)%2Fsqrt(64+v%5E2%2Bh%5E2)+%3D+k%2Bx-v%5E2%2F(2*9.81)+solve+for+v

Falls es leichter fällt, ich bin mir für die festgelegten Werte (im Hauptbeitrag) für [mm]v_(_h_o_r_i_z_o_n_t_a_l_)[/mm] und [mm]k[/mm] sicher die zu verwenden, nur x steht noch nicht fest.

Bezug
        
Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:41 Sa 22.10.2016
Autor: leduart

Hallo
von der Neigung der Figur hängt der Rest doch nicht ab?. oder soll sich die während des Fluges ändern, so dass er im höchsten Punkt wieder Aufrecht steht?
dann sin [mm] v_v [/mm] und x nicht einzeln aählbar.
denn [mm] x=v_v^2/2g [/mm]
ebenso kannst du w, [mm] v_h [/mm] , [mm] \alpha [/mm] nicht unabhängig wählen
denn [mm] v_h=v_v/tan(alpha) [/mm] und [mm] w=2*v_h*v_v/g [/mm]
wenn w der Abstand der rotem Punkte ist, sonst musst  dazu noch [mm] 2*k*cos\beta [/mm] addieren um den Abstand unten zu haben.
laut deinen Angaben legst du aber nur [mm] v_v,x [/mm] und die Beziehung zwischen [mm] \beta [/mm] und [mm] \alpha [/mm] fest. eine Größe mehr musst du angeben. also [mm] \alpha [/mm] oder w oder [mm] v_h [/mm]
deine Gleichungen hab ich Schwierigkeiten zu verstehen.
Gruß leduart

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Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:05 Sa 22.10.2016
Autor: RobKobin

Hallo,

Alles bezieht sich rein auf die Absprungsituation. Darum ist wie gesagt mir die Weite erstmal nicht so wichtig. Ich suche daher keine Funktionen die Abläufe während des Sprungs beschreiben.

Ich habe gegeben:
[mm]x, k, v_h,[/mm] Verhältnis [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]

Dabei suche ich [mm]v_v[/mm] um dabei den auf der Höhe [mm]x+k[/mm] festgelegten Scheitelpunkt beim Sprung zu erreichen.

Das Problem hierbei ist dass der Winkel für die Absprungvektoren auch den Winkel der Körperneigung beeinflusst. Wenn ich nun [mm]v_v[/mm] bestimme, ergibt sich der Winkel [mm] \alpha. [/mm] Das ergibt wiederum durch mein gegebenen Verhältnis auch den Winkel [mm] \beta. [/mm] Dieser wiederum senkt die beiden rot markierten Enden der Parabel ab, da der KSP durch die Neigung abgesunken ist. Das wiederum erfordert jedoch eine Vergrößerung von [mm]v_v[/mm] weil ich ja gerade meinen auf eine Höhe fixierten Scheitelpunkt erreichen will.

Das stellt mich vor das Problem dass das Bestimmen von [mm] v_v [/mm] stets eine Korrektur von [mm] v_v [/mm] erfordern würde um den Scheitelpunkt zu erreichen.

Die letzte von mir gepostete Formel funktioniert wenn ich alle Werte außer eben [mm]v_v[/mm] eingebe. Mit Wolfram Alpha bekomme ich dann einen gerundeten Wert für [mm]v_v[/mm] der erreicht was ich will.

Nur weiß ich nicht welchen Wert ich für x einsetzen werde, daher brauche ich eine Funktion [mm]f(x)[/mm] die [mm]v_v[/mm] ergibt.

Hier nochmal die Gleichung die soweit wohl stimmt die ich aber nicht umgestellt bekomme:

[mm]k+x-\bruch{v_v^2}{2\cdot{}9,81} = \bruch{8*v_v*k}{\wurzel{64*v_v^2+v_h^2}}[/mm]

Wenn ich meine bekannten Größen [mm]v_h[/mm] und [mm]k[/mm] eingebe:

[mm]1,7875*(\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2})+x-\bruch{v_v^2}{2\cdot{}9,81} = \bruch{8*v_v*1,7875*(\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2})}{\wurzel{64*v_v^2+\bruch{42195}{10800}^2}}[/mm]

Und die will ich nach [mm]v_v[/mm] umstellen.

Bezug
                        
Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Sa 22.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Hier nochmal die Gleichung die soweit wohl stimmt die ich
> aber nicht umgestellt bekomme:
>  
> [mm]k+x-\bruch{v_v^2}{2\cdot{}9,81} = \bruch{8*v_v*k}{\wurzel{64*v_v^2+v_h^2}}[/mm]
>  
> Wenn ich meine bekannten Größen [mm]v_h[/mm] und [mm]k[/mm] eingebe:
>  
> [mm]1,7875*(\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2})+x-\bruch{v_v^2}{2\cdot{}9,81} = \bruch{8*v_v*1,7875*(\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2})}{\wurzel{64*v_v^2+\bruch{42195}{10800}^2}}[/mm]
>  
> Und die will ich nach [mm]v_v[/mm] umstellen.


Guten Abend RobKobin,

ich habe deine Vorüberlegungen nicht kontrolliert.
Falls du aber wirklich die obige Gleichung nach [mm] v_v [/mm]  
auflösen möchtest, habe ich keine sehr gute Nachricht:
Diese Gleichung führt bei Umformung zwar "nur" auf
eine Polynomgleichung, aber halt eine vom Grad 6 .
Solche Gleichungen lassen sich insbesondere nicht
mittels Wurzeltermen exakt auflösen (wie dies etwa
bei Gleichungen bis zum 4. Grad im Prinzip noch
möglich wäre).
Formale Auflösung geht also nicht - käme allenfalls nur
eine "numerische" Näherungsmethode in Frage.

LG  ,    Al-Chw.




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ges: Funktionsterm Trigometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Sa 22.10.2016
Autor: RobKobin

Schade, dann muss mir eine Annäherung genügen.

Sind solche Erkenntnisse eigentlich in Stein gemeiselt oder lassen mögliche Neuerkenntnisse in der Mathematik Raum solche Probleme irgendwann lösen zu können?

Bezug
                                        
Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 So 23.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Schade, dann muss mir eine Annäherung genügen.
>  
> Sind solche Erkenntnisse eigentlich in Stein gemeiselt oder
> lassen mögliche Neuerkenntnisse in der Mathematik Raum
> solche Probleme irgendwann lösen zu können?


Hallo RobKobin,

dass die allgemeine Polynomgleichung von einem Grad n mit n≥5 im
nicht mit Hilfe von Wurzeltermen auflösbar, ist eine Erkenntnis,
die seit ihrer Entdeckung (Niels Henrik Abel, 1824) quasi in
Stein gemeißelt ist. Da lässt sich nicht dran rütteln.
Nicht ausgeschlossen wäre allerdings, dass es vielleicht
irgendwann "Mode" wird, das Nullstellenproblem bei
Polynomgleichungen quasi zum Ausgangspunkt für eine
neue Terminologie zu nehmen, bei welcher alle Nullstellen
beliebiger Polynomfunktionen auf simple Weise notiert
werden können - aber halt eben nicht mit jener Art von
Wurzeltermen, die in der klassischen Mathematik bisher
als "geschlossene Terme" zulässig waren.
Mathematische Aussagen beziehen sich immer auf das
Umfeld von Definitionen und Vereinbarungen, in welcher
sie gemacht wurden. Werden plötzlich die "Spielregeln" oder
das "Spielfeld" geändert, darf nicht erwartet werden,
dass man die früheren bewiesenen Sätze einfach über-
nehmen kann.

Vor der Einführung eines Konzepts wie der irrationalen
Zahlen waren ja auch die Wurzeln (Quadrat- , Kubik- etc.)
noch quasi "unerlaubte" oder nur "fingierte" Terme.

LG ,  Al-Chw.




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ges: Funktionsterm Trigometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:16 Sa 22.10.2016
Autor: tobit09

Hallo zusammen!

Wenn ich mich nicht täusche, hat die entstehende Polynomgleichung vom Grade 6 in [mm] $v_v$ [/mm] nur Terme mit geradzahligen Exponenten über [mm] $v_v$. [/mm]

Sie lässt sich also als Polynomgleichung in [mm] $(v_v)^2$ [/mm] vom Grade 3 auffassen.

Somit sollte [mm] $(v_v)^2$ [/mm] (und damit auch [mm] $v_v$) [/mm] hier prinzipiell durch Wurzelausdrücke ausdrückbar sein, wenn auch auf komplizierte Art.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                        
Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 So 23.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Wenn ich mich nicht täusche, hat die entstehende
> Polynomgleichung vom Grade 6 in [mm]v_v[/mm] nur Terme mit
> geradzahligen Exponenten über [mm]v_v[/mm].

Oh sorry, da habe ich wohl nicht ganz genau hingeguckt.

> Sie lässt sich also als Polynomgleichung in [mm](v_v)^2[/mm] vom
> Grade 3 auffassen.
>  
> Somit sollte [mm](v_v)^2[/mm] (und damit auch [mm]v_v[/mm]) hier prinzipiell
> durch Wurzelausdrücke ausdrückbar sein, wenn auch auf
> komplizierte Art.

Allerdings - ich würde in einem solchen Fall dann (wenn es
sich um ein einzelnes Beispiel und nicht um eine Frage mit
größerer Tragweite handelt) mit einer Näherungslösung
vorlieb nehmen.
Mir ist aber die Fragestellung von vornherein ein wenig
seltsam vorgekommen. Ich stelle mir da so eine Art Floh
vor, der geradlinig ein Stück weit in die Luft springt, um
dann im Flug einen abrupten Knick zu einer Parabelbahn
vornimmt und dann vor der Landung wieder analog zur
steilen, geradlinigen Abstiegsbahn abknickt ...

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                                                
Bezug
ges: Funktionsterm Trigometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 So 23.10.2016
Autor: RobKobin

Die gerade Linie bzw das an ihr konstruierte Dreieck mit dem Winkel beta beschreibt nur den Startpunkt der Flugparabel über dem Boden. ;)

Ich werde dann mit Annäherung arbeiten. Danke auch für die Erklärung mit der Unlösbarkeit von höheren Termen. :)

Bezug
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