www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebraische Geometrie" - irreduzibeles Polynome normal
irreduzibeles Polynome normal < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

irreduzibeles Polynome normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Mo 23.01.2017
Autor: Schobbi

Aufgabe
a. Zeigen Sie, dass der einzige Automorphismus von [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] die Identität ist.

b. Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Polynom [mm] p(X)\in\IQ[X] [/mm] höchstens eine Nullstelle in [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] besitzt. Somit ist [mm] \IQ\subset\IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] nicht normal.

Moin zusammen,

Mir fehlt für obige Aufgabe noch die zündende Idee bzw. einen geeigneten Ansatz wie ich sie bearbeiten kann. Vielleicht könnt ihr mir helfen.

Kann ich Aufgabenteil b wie folgt begründen?
Sei [mm] L=\IQ(\sqrt[3]{2}). [/mm] Das Minimalpolynom des erzeugten Elements ist dann [mm] X^3-2, [/mm] was offensichtlich komplexe Nullstellen hat, welche nicht in L liegen. Also ist die Körpererweiterung nicht normal.

um zu zeigen, dass p(X) höchstens eine Nullstelle in [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] hat, kann ich doch erstmal sagen dass mit dem Haupsatz jedes Polynom über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerfällt und somit auch mindestens eine Nullstelle in [mm] \IC [/mm] haben muss. Aber wie kann ich das höchstens und auf die Körpererweiterun bezogen zeigen?

Vielen Dank für Eure Anregungen und Hilfen

        
Bezug
irreduzibeles Polynome normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mo 23.01.2017
Autor: hippias


> a. Zeigen Sie, dass der einzige Automorphismus von
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] die Identität ist.
>  
> b. Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Polynom [mm]p(X)\in\IQ[X][/mm]
> höchstens eine Nullstelle in [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] besitzt.
> Somit ist [mm]\IQ\subset\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] nicht normal.
>  Moin zusammen,
>
> Mir fehlt für obige Aufgabe noch die zündende Idee bzw.
> einen geeigneten Ansatz wie ich sie bearbeiten kann.
> Vielleicht könnt ihr mir helfen.
>  
> Kann ich Aufgabenteil b wie folgt begründen?
>  Sei [mm]L=\IQ(\sqrt[3]{2}).[/mm] Das Minimalpolynom des erzeugten
> Elements ist dann [mm]X^3-2,[/mm] was offensichtlich komplexe
> Nullstellen hat, welche nicht in L liegen. Also ist die
> Körpererweiterung nicht normal.

Die Begründung könnte als nicht ausführlich genug angesehen werden, ist aber richtig.


>  
> um zu zeigen, dass p(X) höchstens eine Nullstelle in
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] hat, kann ich doch erstmal sagen dass mit
> dem Haupsatz jedes Polynom über [mm]\IC[/mm] in Linearfaktoren
> zerfällt und somit auch mindestens eine Nullstelle in [mm]\IC[/mm]
> haben muss.

O.K.

> Aber wie kann ich das höchstens und auf die
> Körpererweiterun bezogen zeigen?

Das verstehe ich nicht.

>  
> Vielen Dank für Eure Anregungen und Hilfen

Tip: sind [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] Nullstellen eines über $K$ irreduziblen Polynoms, so gibt es einen $K$-Isomorphismus, der [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $\beta$ [/mm] abbildet; beachte a)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de