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| Aufgabe | | Fuer welche komplexe Zahlen [mm] $z\in\mathbb{C}$ [/mm] gilt $z [mm] \cdot \overline{z} [/mm] = [mm] z^2 [/mm] + 2$? |
Hallo Matheforum,
meine Idee ist es, $z$ allgemein als $a + bi$ zu betrachten sowie [mm] $\overline{z} [/mm] = a - bi$. Ich weiß, dass $z [mm] \cdot [/mm] z = [mm] z^2$ [/mm] ist. Schreibe ich also auf:
$(a + bi)(a - bi) = (a + bi)(a+bi) +2$ und stelle um:
$(a - bi) = [mm] \frac{(a + bi)(a + bi)}{(a + bi)} [/mm] + [mm] \frac{2}{(a+bi)}$ [/mm] habe ich doch eine allgemeine Loesung fuer eine komplexe Zahl. Oder nicht?
$(a - bi) = (a + bi) + [mm] \frac{2}{(a + bi)}$ [/mm] Selbiges kann ich natuerlich auch umgekehrt machen.
Meine Argumentation waere also, fuer jede komplexe Zahl der obigen Form (und umgekehrt, also durch $(a - bi)$) gilt $z [mm] \cdot [/mm] z = [mm] z^2$. [/mm] Aber ist das richtig?
Danke fuer jede Hilfe!
Chris
Edit: Ich verstehe nicht was mit dem LaTeX Code falsch ist, lokal kompiliert es ohne Murren. :(
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Hallo,
ich versuche mich mal trotz der technischen Probleme mit einer Antwort.
> Fuer welche komplexe Zahlen [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] gilt [mm]z \cdot \overline{z} = z^2 + 2[/mm]?
>
> Hallo Matheforum,
>
> meine Idee ist es, [mm]z[/mm] allgemein als [mm]a + bi[/mm] zu betrachten
> sowie [mm]\overline{z} = a - bi[/mm]. Ich weiß, dass [mm]z \cdot z = z^2[/mm]
> ist. Schreibe ich also auf:
Die Idee ist soweit richtig, allerdings geht es auch viel einfacher.
>
> [mm](a + bi)(a - bi) = (a + bi)(a+bi) +2[/mm] und stelle um:
> [mm](a - bi) = \frac{(a + bi)(a + bi)}{(a + bi)} + \frac{2}{(a+bi)}[/mm]
> habe ich doch eine allgemeine Loesung fuer eine komplexe
> Zahl. Oder nicht?
> [mm](a - bi) = (a + bi) + \frac{2}{(a + bi)}[/mm] Selbiges kann ich
> natuerlich auch umgekehrt machen.
>
> Meine Argumentation waere also, fuer jede komplexe Zahl der
> obigen Form (und umgekehrt, also durch [mm](a - bi)[/mm]) gilt [mm]z \cdot z = z^2[/mm].
> Aber ist das richtig?
>
Nein, das ergibt alles keinen Sinn mehr.
Mit deinem Ansatz musst du beide Seiten ausmultiplizieren und dann versuchen, die entstehende Gleichung nach b aufzulösen. Dabei wirst du feststellen, dass a einen ganz bestimmten Wert annehmen muss.
Einfacher geht es aber, wenn man sich überlegt, dass das Produkt einer Komplexen zahl mit ihrer konjugiert Komplexen stets reell ist...
@Admins: das Rendern von LaTex-Code funktioniert derzeit nicht.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Di 04.04.2017 | | Autor: | Chrizzldi |
Hallo Diophant,
danke fuer deine Hilfe trotz der techn. Schwierigkeiten!
Wenn ich deinen Ansatz richtig verstehe meinst du ich erhalte fuer z*z^dach = (a +bi)(a - bi) = [mm] a^2 [/mm] - abi + abi - [mm] b^2i^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
Denn [mm] i^2 [/mm] = -1. Nur was ich damit jetzt als Argumentation anfangen kann weiß ich leider nicht. Hast du mir da noch einen Tipp?
Danke und liebe Gruesse,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Di 04.04.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> danke fuer deine Hilfe trotz der techn. Schwierigkeiten!
>
> Wenn ich deinen Ansatz richtig verstehe meinst du ich
> erhalte fuer z*z^dach = (a +bi)(a - bi) = [mm]a^2[/mm] - abi + abi -
> [mm]b^2i^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm]
>
> Denn [mm]i^2[/mm] = -1. Nur was ich damit jetzt als Argumentation
> anfangen kann weiß ich leider nicht. Hast du mir da noch
> einen Tipp?
Wie gesagt, die rechte Seite, also [mm] z^2+2 [/mm] (mit z=a+b*i) muss dann ebenfalls reell sein. Da gibt es nicht so viele Möglichkeiten. Die musst du eben durchspielen oder nach deiner Variante durchrechnen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mi 05.04.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Edit: Ich verstehe nicht was mit dem LaTeX Code falsch ist,
> lokal kompiliert es ohne Murren. :(
Mit deinem Code ist alles in Ordnung. Irgendetwas ist mit der Forensoftware oder den Servern, auf denen das kompiliert wird. Und niemand kümmmert sich darum, wwie es aussieht...
Gruß, Diophant
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