konstanter Homomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:49 So 26.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jeder Homomorphismus von [mm] $(\mathbb{R}, [/mm] +)$ nach [mm] $(\mathbb{Z},+)$ [/mm] konstant ist. |
Hi,
was ist damit gemeint, dass der Homomorphismus konstant ist?
Das immer auf das selbe Element abgebildet wird, wie bei konstanten Funktionen, oder wie muss man sich das vorstellen?
Ansonsten gilt ja für den Homomorphismus
[mm] $\varphi: (\mathbb{R}, +)\to (\mathbb{Z}, [/mm] +)$
[mm] $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$
[/mm]
Nun ist ja [mm] $a+b\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\varphi(a)+\varphi(b)$ [/mm] muss in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] liegen.
Ich kann aber irgenwie nichts so recht mit dem konstant anfangen...
Was genau ist damit gemeint?
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 So 26.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Die Funktion $ [mm] \varphi: (\mathbb{R}, +)\to (\mathbb{Z}, [/mm] +) $ heißt konstant, wenn es ein [mm] $c\in \IZ$ [/mm] gibt mit [mm] $\varphi(x)=c$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Ich würde das hier mit einem Widerspruchsbeweis lösen. Nimm dafür an, dass es ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt, sodass [mm] $a:=\varphi(x) \in \IZ \backslash \{0\}$.
[/mm]
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 So 26.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Naja, wenn ich annehme, dass für [mm] $x\in\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $a:=\varphi(x)\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ [/mm] ist, dann habe ich direkt einen Widerspruch, weil ein Homomorphismus neutral Element auf neutral Element abbildet.
[mm] $\varphi(0)=a$ [/mm]
wegen [mm] $a\neq [/mm] 0$ habe ich einen Widerspruch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:32 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo YuSul!
> Naja, wenn ich annehme, dass für [mm]x\in\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]a:=\varphi(x)\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}[/mm] ist, dann habe ich
> direkt einen Widerspruch, weil ein Homomorphismus neutral
> Element auf neutral Element abbildet.
>
> [mm]\varphi(0)=a[/mm]
>
> wegen [mm]a\neq 0[/mm] habe ich einen Widerspruch.
Die Widerspruchsannahme war
[mm] $\varphi(x)\not=0$ [/mm] für mindestens ein [mm] $x\in\IR$,
[/mm]
NICHT etwa
[mm] $\varphi(0)\not=0$.
[/mm]
Eine Vorüberlegung zum Beweis:
Zeige mit der Homomorphismus-Eigenschaft von [mm] $\varphi$, [/mm] dass für alle [mm] $b\in\IZ\setminus\{0\}$ [/mm] und [mm] $y\in\IR$ [/mm] gilt:
(*) [mm] $\varphi(b*y)=\varphi(y)*b$.
[/mm]
Betrachte dazu zunächst den Spezialfall $b>0$ und führe anschließend den Fall $b<0$ darauf zurück.
Aus (*) folgt dann auch (Beachte [mm] $b\not=0$!)
[/mm]
(**) [mm] $\varphi(y)=\frac{\varphi(b*y)}{b}$.
[/mm]
Die Idee besteht nun darin, nicht nur zu zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] IRGENDEINE konstante Abbildung [mm] $\varphi\colon\IR\to\IZ$ [/mm] ist, sondern dass schon [mm] $\varphi(x)=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gelten muss.
Angenommen also
[mm] $a:=\varphi(x)\not=0$
[/mm]
für ein [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Wende nun (**) auf
[mm] $b:=2a\not=0$
[/mm]
und
[mm] $y:=\frac{1}{b}*x$
[/mm]
[mm] ($\frac{1}{b}$ [/mm] ist wohldefiniert wegen [mm] $b\not=0$) [/mm] an.
Leite daraus einen Widerspruch zur bekannten Tatsache [mm] $\frac{1}{2}\notin\IZ$ [/mm] her.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 26.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Hat es einen besonderen Grund, dass du anstelle der Verknüpfung $+$ immer [mm] $\cdot$ [/mm] schreibst.
Ich verstehe auch nicht, weshalb es so notwendig ist 0 aus den ganzen Zahlen auszuschließen.
Unsere Verknüpfung ist ja + und Null macht ja nur ärger wenn man mit ihr dividieren würde.
Irgendwie verwirrt mich das...
|
|
|
| |
|
Also du willst zeigen, dass [mm] $\varphi [/mm] x=0$ für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] denn wenn [mm] $\varphi$ [/mm] konstant ist, muss es konstant auf 0 schicken, weil wenigstens [mm] $0\in\IR$ [/mm] sicher auf die 0 geht.
Nehmen wir also an, wir hätten ein $x$ mit [mm] $\varphi [/mm] x=n$ mit [mm] $n\not=0$. [/mm] Dann dürfen wir durch $n$ und auch $2n$ dividieren, das heißt $x/2n$ ist eine reelle Zahl. Es muss aber gelten [mm] $2n\cdot\varphi(x/2n)=\underbrace{\varphi(x/2n)+\dots+\varphi(x/2n)}_{2n-\text{mal}}=\varphi(\underbrace{x/2n+\dots+x/2n}_{2n-\text{mal}})=\varphi(2n\cdot x/2n)=\varphi(x)=n$. [/mm] Division durch $2n$ liefert einen Widerspruch dazu, dass [mm] $\varphi(x/2n)$ [/mm] eine ganze Zahl ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 26.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, ich denke das habe ich verstanden.
Das war ja eigentlich sehr einfach wenn man diese Idee hat.
Und die Multiplikation kommt einfach so zustande, dass ich mehrfache Addition natürlich als Multiplikation auffassen kann, wobei [mm] $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 26.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah, ich denke das habe ich verstanden.
> Das war ja eigentlich sehr einfach wenn man diese Idee
> hat.
>
> Und die Multiplikation kommt einfach so zustande, dass ich
> mehrfache Addition natürlich als Multiplikation auffassen
> kann, wobei [mm]n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist.
Du bist mir mit Deinem letzten Satz zu ungenau:
Ist $(G,\circ)$ eine Gruppe, so schreibt man für $n \in \IN$ und $g \in G$ fest
$\bigcirc\limits_{k=1}^n g=g \circ g \circ ... \circ g\,,$
rechterhand steht das $g\,$ n Mal.
Ist $G\,$ additiv, also eigentlich sieht die Gruppe dann so aus: $(G,+)\,,$ so ist
$n \cdot g:=\bigcirc\limits_{k=1}^n g=\sum_{k=1}^n g\,,$
und ist $G\,$ mutliplikativ, also "$G=(G,\cdot)$", so ist
$g^n:=\bigcirc\limits_{k=1}^n g=\produkt_{k=1}^n g\,.$
Eigentlich steht hier in beiden Fällen das gleiche, nämlich
$\bigcirc\limits_{k=1}^n g=g \circ ... \circ g\,.$
Beim Summenzeichen bedeutet letzteres halt
$g + g + ... + g\,,$
beim Produktzeichen
$g \cdot g \cdot ... \cdot g\,.$
Beachte aber, dass für $n \in \IN$ die Notation
$n \cdot g$
als Auswertung einer Abbildung
$\IN \times G \to G$
zu lesen ist.
Während man für $g_1, g \in G=(G,\cdot)$ auch
$g_1 \cdot g$
hat, was aus dem Zshg. heraus dann als die Auswertung einer Abbildung
$G \times G \to G$
meist gemeint sein wird.
Ich persönlich fände es daher (gerade am Anfang) besser, wenn man,
wenn
sowohl $\cdot \colon G \times G \to G$
als auch
$\cdot \colon \IN \times G \to G$
verwendet werden, dort Unterscheidungen zu treffen. Man kann ja
$\odot$ oder $\cdot_G$ anstatt $\cdot \colon G \times G \to G$ schreiben...
Und wenn wir jetzt mal in UniversellesObjekts Rechnung schauen:
$x/(2n)\,$ ist eine reelle Zahl. (Hier wird $\cdot \colon \IR \times \IR \to \IR$ verwendet:
$x/(2n)):=x*(2n)^{-1}$ - beachte $\IN \subseteq \IR$) Jetzt rechnet er "eigentlich" mit der
Multiplikation $\IN \times \IR \to \IR$
$2n*\varphi(x/(2n))=\sum_{k=1}^{2n}\varphi(x/(2n))=\varphi\big(\sum_{k=1}^{2n}\tfrac{x}{2n}\big)=\varphi(2n*\tfrac{x}{2n})$
Nun brauchen wir folgendes:
Ist $n \in \IN$ und $r \in \IR\,,$ so liefert
$n*r=\sum_{k=1}^n r$
(das ist eine Definition, die wir nur in der Gruppe $(\IR,+)$ anwenden - hier ist
also $\cdot \colon \IN \times \IR \to \IR$!)
das gleiche Ergebnis wie
$n\; \cdot_{\IR}\; r\,,$
wobei hier
$\cdot_{\IR} \colon \IR \times \IR \to \IR$
gilt - und man $\IN \subseteq \IR$ beachte.
Wenn man aber mal ein bisschen stöbert, findet man sicher an einer Stelle,
wo man $\IR\,,$ dann zugehörige Addition, Multiplikation und auch eine entsprechende
"Ordnung", definiert/konstruiert hat, dass dies sowas bzgl. $\cdot_{\IR}$ eh gefordert wird.
Also eine Stelle, wo für $\cdot_{\IR}$ steht, dass etwa
$\left.\cdot_{\IR}\right|_{\IN \times \IR}=\cdot \colon \IN \times \IR \to \IR$
(die linke Seite ist die Einschränkung der Abbildung $\cdot_{\IR} \colon \IR \times \IR \to \IR$ auf $\IN \times \IR$...)
gelten soll...
Ich verkürze aber gleich mal den Beweis von UniversellesObjekt ein wenig...
(Edit: Habe gerade bemerkt, dass das, was ich machen wollte, so gar nicht
funktionieren wird...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Beachte jedoch, dass alles, was Marcel hier mit natürlichen Zahlen macht, im Falle von Gruppen auch mit ganzen Zahlen funktioniert.
Das heißt, ist $ G $ eine Gruppe, so ist eine Abbildung [mm] $f\colon \IZ\times G\to [/mm] G $ definiert, die man $ (n, [mm] g)\mapsto g^n [/mm] $ schreibt und die Eigenschaft hat, dass für festes $ g $ die Abbildung $f (-, [mm] g):\IZ\to [/mm] G $ ein Gruppenhomomorphismus ist (mit [mm] $1\mapsto [/mm] g$). Falls G kommutativ ist, ist auch für festes n die Abbildung $f [mm] (n,-):G\to [/mm] G$ ein Homomorphismus und ebenso die Abbildung [mm] $\IZ\to \operatorname [/mm] {End} (G)$, $ [mm] n\mapsto [/mm] f (n,-) $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 26.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beachte jedoch, dass alles, was Marcel hier mit
> natürlichen Zahlen macht, im Falle von Gruppen auch mit
> ganzen Zahlen funktioniert.
ja, stimmt, das ist dann erweiterbar.
> Das heißt, ist [mm]G[/mm] eine Gruppe, so ist eine Abbildung
> [mm]f\colon \IZ\times G\to G[/mm] definiert, die man [mm](n, g)\mapsto g^n[/mm]
> schreibt und die Eigenschaft hat, dass für festes [mm]g[/mm] die
> Abbildung [mm]f (-, g):\IZ\to G[/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
> Falls G kommutativ ist, ist auch für festes n die
> Abbildung [mm]f (n,-):G\to G[/mm] ein Homomorphismus und ebenso die
> Abbildung [mm]\IZ\to Hom (G, G)[/mm], [mm]n\mapsto f (n,-) [/mm].
Einverstanden. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 So 26.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also du willst zeigen, dass [mm]\varphi x=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm],
> denn wenn [mm]\varphi[/mm] konstant ist, muss es konstant auf 0
> schicken, weil wenigstens [mm]0\in\IR[/mm] sicher auf die 0 geht.
>
> Nehmen wir also an, wir hätten ein [mm]x[/mm] mit [mm]\varphi x=n[/mm] mit
> [mm]n\not=0[/mm]. Dann dürfen wir durch [mm]n[/mm] und auch [mm]2n[/mm] dividieren,
> das heißt [mm]x/2n[/mm] ist eine reelle Zahl. Es muss aber gelten
> [mm]2n\cdot\varphi(x/2n)=\underbrace{\varphi(x/2n)+\dots+\varphi(x/2n)}_{2n-\text{mal}}=\varphi(\underbrace{x/2n+\dots+x/2n}_{2n-\text{mal}})=\varphi(2n\cdot x/2n)=\varphi(x)=n[/mm].
> Division durch [mm]2n[/mm] ...
ich würde hier gar nicht mit der Division durch 2n argumentieren (übrigens
wäre es besser, [mm] $x/(2n)\,$ [/mm] anstatt [mm] $x/2n\,$ [/mm] zu schreiben).
Es reicht folgende Argumentation aus:
Wir hatten
[mm] ($\*$) $2n*\varphi(x/(2n))=\sum_{k=1}^{2n} \varphi(\tfrac{x}{2n})=\varphi\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{x}{2n}\right)=\varphi(2n*\tfrac{x}{2n})=\varphi(x)=n\,,$
[/mm]
wobei das letzte Gleichheitszeichen sich mit der Multiplikation
[mm] $\cdot_{\IR} \colon \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] begründet (und weil [mm] $\varphi$ [/mm] insbesondere eine Abbildung ist,
also linkseindeutig).
O.E. können wir [mm] $\varphi(x)=n [/mm] > 0$ annehmen (andernfalls ersetzen wir [mm] $x\,$ [/mm] durch
[mm] $-x\,$). [/mm] Man überlege sich, dass dann auch [mm] $\varphi(x/(2n)) [/mm] > 0$ gelten muss - also
[mm] $\varphi(x),\varphi(x/(2n)) \in \IN$ [/mm] (bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$).
[/mm]
Wenn [mm] ($\*$) [/mm] nun stimmen würde, so müßte
[mm] $2n*\varphi(x/(2n))-n=0\,$
[/mm]
gelten. Das impliziert
[mm] $n*\varphi(x/(2n))+n*(\varphi(x/(2n))-1)=0\,.$
[/mm]
Alleine schon aber Summand
[mm] $n*\varphi(x/(2n))$
[/mm]
zeigt, dass das für $n [mm] \in \IN$ [/mm] unmöglich ist.
(Beachte: Wir hatten o.E. $n > [mm] 0\,$ [/mm] angenommen, daraus folgte [mm] $\varphi(x),\varphi(x/(2n)) \in \IN$ [/mm] und
damit insbesondere natürlich auch [mm] $\varphi(x/(2n)) \ge [/mm] 1$).
Ich gebe aber zu, dass das ein wenig *Geschmacksache* ist...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> Also du willst zeigen, dass [mm]\varphi x=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm],
> denn wenn [mm]\varphi[/mm] konstant ist, muss es konstant auf 0
> schicken, weil wenigstens [mm]0\in\IR[/mm] sicher auf die 0 geht.
>
> Nehmen wir also an, wir hätten ein [mm]x[/mm] mit [mm]\varphi x=n[/mm] mit
> [mm]n\not=0[/mm]. Dann dürfen wir durch [mm]n[/mm] und auch [mm]2n[/mm] dividieren,
> das heißt [mm]x/2n[/mm] ist eine reelle Zahl. Es muss aber gelten
> [mm]2n\cdot\varphi(x/2n)=\underbrace{\varphi(x/2n)+\dots+\varphi(x/2n)}_{2n-\text{mal}}=\varphi(\underbrace{x/2n+\dots+x/2n}_{2n-\text{mal}})=\varphi(2n\cdot x/2n)=\varphi(x)=n[/mm].
Diese Rechnung ist nur für $n>0$ sinnvoll.
Der Fall $n<0$ muss also auch noch in irgendeiner Form behandelt werden.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 So 26.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo UniversellesObjekt!
>
>
> > Also du willst zeigen, dass [mm]\varphi x=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm],
> > denn wenn [mm]\varphi[/mm] konstant ist, muss es konstant auf 0
> > schicken, weil wenigstens [mm]0\in\IR[/mm] sicher auf die 0 geht.
> >
> > Nehmen wir also an, wir hätten ein [mm]x[/mm] mit [mm]\varphi x=n[/mm] mit
> > [mm]n\not=0[/mm]. Dann dürfen wir durch [mm]n[/mm] und auch [mm]2n[/mm] dividieren,
> > das heißt [mm]x/2n[/mm] ist eine reelle Zahl. Es muss aber gelten
> >
> [mm]2n\cdot\varphi(x/2n)=\underbrace{\varphi(x/2n)+\dots+\varphi(x/2n)}_{2n-\text{mal}}=\varphi(\underbrace{x/2n+\dots+x/2n}_{2n-\text{mal}})=\varphi(2n\cdot x/2n)=\varphi(x)=n[/mm].
>
> Diese Rechnung ist nur für [mm]n>0[/mm] sinnvoll.
>
> Der Fall [mm]n<0[/mm] muss also auch noch in irgendeiner Form
> behandelt werden.
ich dachte immer, dass ich alles *mit 'ner Lupe* untersuche. ^^
Aber guter Hinweis, gut, dass Dir das aufgefallen ist. (Wenn man meine
letzte Mitteilung liest, steht diesbezüglich sogar etwas mit drin...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ja, du hast Recht. Zum Glück kann man n stets positiv wählen. Bzw. Anfang und Ende der Gleichungskette stimmen auch für negative n, wie es aus deiner ersten Antwort folgt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Hat es einen besonderen Grund, dass du anstelle der
> Verknüpfung [mm]+[/mm] immer [mm]\cdot[/mm] schreibst.
Ich meine mit [mm] $\cdot$ [/mm] natürlich nicht die Verknüpfung $+$, sondern die gewöhnliche Multiplikation reeller Zahlen.
> Ich verstehe auch nicht, weshalb es so notwendig ist 0 aus
> den ganzen Zahlen auszuschließen.
> Unsere Verknüpfung ist ja + und Null macht ja nur ärger
> wenn man mit ihr dividieren würde.
Ich habe in meiner anderen Antwort durch $b$ dividiert.
Obwohl in der Aufgabenstellung nur von + die Rede ist, hilft es zur Lösung der Aufgabe, auch die Multiplikation und Division reeller Zahlen zu verwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 So 26.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass jeder Homomorphismus von [mm](\mathbb{R}, +)[/mm]
> nach [mm](\mathbb{Z},+)[/mm] konstant ist.
> Hi,
>
> was ist damit gemeint, dass der Homomorphismus konstant
> ist?
> Das immer auf das selbe Element abgebildet wird, wie bei
> konstanten Funktionen,
ein Homomorphismus ist ja eine Abbildung, und sofern ihr, wie manche es
machen, zwischen dem Begriff Abbildung und Funktion nicht unterscheidet,
fragst Du hier eigentlich, ob eine konstante Funktion das ist, was Du als
konstante Funktion kennst. 
> oder wie muss man sich das vorstellen?
Das war schon korrekt. Man kann auch sagen:
$f [mm] \colon \varnothing \not=M \to [/mm] N$
heißt genau dann konstant, wenn [mm] $|\{f(M)\}|=1\,.$
[/mm]
(Ist [mm] $f\,$ [/mm] nicht die leere Abbildung, so heißt [mm] $f\,$ [/mm] genau dann konstant, wenn
[mm] $f\,$ [/mm] genau einen Wert annimmt... Auch solche Definitionen gibt es, die sind
aber einander äquivalent...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Allerdings ist das nur ein Abfallprodukt der wirklich nützlichen Definition von konstanten Abbildungen (wie die meisten Charakterisierungen, die Fallunterscheidungen benötigen). Eine Abbildung $ [mm] X\to [/mm] Y $ ist genau dann konstant, wenn sie über die Einpunktmenge $1$ faktorisiert. Dies liefert dann insbesondere Marcels Charakterisierung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 So 26.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank an alle beteiligten und die vielen Kommentare.
:)
|
|
|
|
