www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - ln(x) abschätzen mit x > 1?
ln(x) abschätzen mit x > 1? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

ln(x) abschätzen mit x > 1?: Tipp, Hilfe, Idee, Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Do 30.11.2017
Autor: Kian

Hallo,

ich weiss das man ln(1+x) mit folgender Reihe abschätzen kann.

ln(1+x) = x - [mm] \bruch{ x^{2}}{2} [/mm] +  [mm] \bruch{ x^{3}}{3} [/mm] -  [mm] \bruch{ x^{4}}{4} [/mm] ....

Das funktioniert nur für Zahlen von 0<= x <=1.

Meine Frage ist, ob man die Teilorreihe auch für Werte x>1 berechnen kann?
Wenn ja, wie geht das?
Lg

        
Bezug
ln(x) abschätzen mit x > 1?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Do 30.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> ich weiss das man ln(1+x) mit folgender Reihe abschätzen
> kann.

>

> ln(1+x) = x - [mm]\bruch{ x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{ x^{3}}{3}[/mm] -
> [mm]\bruch{ x^{4}}{4}[/mm] ....

>

> Das funktioniert nur für Zahlen von 0<= x <=1.

>

Was nicht das eigentliche Problem ist (denn es gibt Logarithmengesetze...). Das Problem dieser Reihe ist ihre langsame Konvergenz.

> Meine Frage ist, ob man die Teilorreihe auch für Werte x>1
> berechnen kann?
> Wenn ja, wie geht das?

Kennst du die Areatangensfunktion (also die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus)? Man kann sie einerseits mit Hilfe der Logarithmusfunktion darstellen und andererseits in eine Potenzreihe entwickeln. Daraus kann man für den Logarithmus die folgende Reihe gewinnen, die für alle positiven x konvergiert, und damit auf dem gesamten Definitionsbereich der Logarithmusfunktion:

[mm]ln(x)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1}*\left( \frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1} [/mm]

Diese Reihe zeigt wohl vor allem in der Nähe von x=1 ein besseres Konvergenzverhalten.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
ln(x) abschätzen mit x > 1?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Do 30.11.2017
Autor: Kian

Hi,

danke für deine Antwort.
Ich bin grade dabei die Taylorreihe zu programmieren.

Für Werte von 0-1 klappt es. Wenn ich für x dann ein Wert >1 eingebe, werden falsche Werte berechnet. Gibt es keine Möglichkeit x umzurechnen?

Lg

Bezug
        
Bezug
ln(x) abschätzen mit x > 1?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Do 30.11.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich weiss das man ln(1+x) mit folgender Reihe abschätzen
> kann.
>  
> ln(1+x) = x - [mm]\bruch{ x^{2}}{2}[/mm] +  [mm]\bruch{ x^{3}}{3}[/mm] -  
> [mm]\bruch{ x^{4}}{4}[/mm] ....
>  
> Das funktioniert nur für Zahlen von 0<= x <=1.

Was meinst Du mit abschätzen ???

Betrachten wir die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$. [/mm]

Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius 1, sie divergiert in x=-1 und konvergiert in x=1.

Weiter ist

$ [mm] \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] (-1,1).$

Der Abelsche Grenzwertsatz zeigt, dass das auch noch für $x=1$ gilt, also

$ [mm] \ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$. [/mm]

Mit "Abschätzen" hat das also nix zu tun.

>  
> Meine Frage ist, ob man die Teilorreihe auch für Werte x>1
> berechnen kann?


Ganz klar: nein! Denn die Potenzreihe  [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$ [/mm] divergiert für x>1.


>  Wenn ja, wie geht das?
>  Lg


Bezug
                
Bezug
ln(x) abschätzen mit x > 1?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Do 30.11.2017
Autor: Kian

Sehe ich genauso!
Ich habe ln(1+x) programmiert für x>=0 und x<=1.

Aber laut Aufgabe, sollen auch Werte >1 berechnet werden können mit der Taylorreihe, durch eine einfache Umformung.

Siehe Aufgabenstellung:
https://ibb.co/cUJ8vG

Man soll y berechnen. Wenn ich das mache, werden trotzdem falsche Werte berechnet... :/

Lg

Bezug
                        
Bezug
ln(x) abschätzen mit x > 1?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Do 30.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe ln(1+x) programmiert für x>=0 und x<=1.

>

> Aber laut Aufgabe, sollen auch Werte >1 berechnet werden
> können mit der Taylorreihe, durch eine einfache
> Umformung.

Da

[mm] ln\left(\frac{1}{x}\right)=-ln(x) [/mm]

gilt, rechnest du einfach für x>1 den Logarithmus von 1/(1+x) aus und kehrst das Vorzeichen um.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
ln(x) abschätzen mit x > 1?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Do 30.11.2017
Autor: Kian

Perfekt, das hat mir geholfen.

Vielen dank! :D

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de