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lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Fr 23.01.2015
Autor: bobbybrown

Aufgabe
Wir betrachten die Funktion [mm]f(x)=x^2*e^(ax) [/mm] mit a >0
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, und skizzieren Sie den Verlauf ihres Graphen.

was ich gemacht habe :
1. ableitung bilden :[mm] 2*x^(ax)+a*x^2*e^(ax)[/mm]
2. e ausklammern nach [mm]e^(ax)*(2*x+ax^2)[/mm]
3. erste ableitung null setzen!
hier ist auch meine frage was ich mit [mm](2*x+ax^2)[/mm] machen soll? kann ich jetzt für a =1 einsetzen  ? sonst weiss ich nciht wie ich das rechnen soll

ps es soll e^(xa) heissen leider klappt die darstellung nicht so gut in der formel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Fr 23.01.2015
Autor: abakus


> Wir betrachten die Funktion [mm]f(x)=x^2*e^(ax) [/mm] mit a >0
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, und
> skizzieren Sie den Verlauf ihres Graphen.
> was ich gemacht habe :
> 1. ableitung bilden :[mm] 2*x^(ax)+a*x^2*e^(ax)[/mm]
> 2. e
> ausklammern nach [mm]e^(ax)*(2*x+ax^2)[/mm]
> 3. erste ableitung null setzen!
> hier ist auch meine frage was ich mit [mm](2*x+ax^2)[/mm] machen
> soll? kann ich jetzt für a =1 einsetzen ? sonst weiss ich
> nciht wie ich das rechnen soll

Hallo
löse die Gleichung [mm]2x+ax^2=0[/mm].
Hier: x ausklammern und Satz vom Nullprodukt anwenden.

Den Faktor [mm]e^{ax}[/mm] musst du hier nicht mitziehen, weil der nie Null werden kann.
>

> ps es soll e^(xa) heissen leider klappt die darstellung
> nicht so gut in der formel

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Fr 23.01.2015
Autor: bobbybrown

2x [mm] +ax^2 [/mm] lösen war ja meine frage was soll ich mit a machen wenn ich

x ausklammere habe ich [mm]x*(2+x*a/x)[/mm]

Bezug
                        
Bezug
lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Fr 23.01.2015
Autor: abakus


> 2x [mm]+ax^2[/mm] lösen war ja meine frage was soll ich mit a
> machen wenn ich

>

> x ausklammere habe ich [mm]x*(2+x*a/x)[/mm]

Nein.
[mm] $2x+ax^2=x(2+ax)$. [/mm] Unter welchen beiden möglichen Bedingungen wird dieses Produkt 0?

Bezug
                                
Bezug
lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Fr 23.01.2015
Autor: bobbybrown

[mm]x(2+ax)[/mm]

wird null wenn x=0 und x=-2
aber was ich mit machen soll verstehe ich immer noch nicht

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Bezug
lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Fr 23.01.2015
Autor: abakus


> [mm]x(2+ax)[/mm]

>

> wird null wenn x=0

Das stimmt.

> und x=-2

das stimmt meist nicht. Es würde nur stimmen, wenn a zufällg den Wert 1 annimmt. Allerdings kann a auch irgendeine andere Zahl sein.
Du musst die Gleichung
2+ax=0 mit zwei Rechenbefehlen nach x umstellen.

> aber was ich mit machen soll verstehe ich immer noch nicht


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lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Fr 23.01.2015
Autor: bobbybrown

ok dann stelle ich [mm]2+ax[/mm] nach x um und erhalte [mm]x=-2/a[/mm]
das ist vermutlich der wert den ich in die ursprungsgleichung einsetzten kann
für den y wert des nullpunktes hoffe ich

und wenn ja wann setzte ich a >0

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lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Fr 23.01.2015
Autor: abakus


> ok dann stelle ich [mm]2+ax[/mm] nach x um und erhalte [mm]x=-2/a[/mm]
> das ist vermutlich der wert den ich in die
> ursprungsgleichung einsetzten kann
> für den y wert des nullpunktes hoffe ich

>

> und wenn ja wann setzte ich a >0

Laut Aufgabenstellung sind für a nur positive Werte zugelassen. Du brauchst das also nicht extra größer 0 zu setzen.
Halten wir fest: die erste Ableitung wird 0 an den beiden Stelle x=0 und x=-2/a.
Diese beiden Stellen sind also eventuell lokale Extremstellen.
Bilde nun die zweite Ableitung und teste für diese beiden Stellen, ob die zweite Ableitung dort positiv oder negativ ist.

Bezug
                                                                
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lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Fr 23.01.2015
Autor: bobbybrown

ok vielen dank habe ich gemacht
2 ableitung ist
[mm]a^2*x^2*e^(ax)+4axe^(ax)+2*e^(ax)[/mm]

an der stelle 0

bleibt [mm]2*e^(a0) =2*1[/mm]

also f''(0)=2 => tiefpunkt

muss ich jetzt die gleichung für -2/a noch lösen ?
oder kann ich damit argumentieren das es ein hochpunkt sein
muss weil es keine zwei tiefpunkte nacheinander geben kann
also das glaube ich das es so ist

Bezug
                                                                        
Bezug
lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:46 Sa 24.01.2015
Autor: statler

Guten Morgen!

> ok vielen dank habe ich gemacht
> 2 ableitung ist
> [mm]a^2*x^2*e^(ax)+4axe^(ax)+2*e^(ax)[/mm]
>  
> an der stelle 0
>
> bleibt [mm]2*e^(a0) =2*1[/mm]
>  
> also f''(0)=2 => tiefpunkt

Korrekt!

>  
> muss ich jetzt die gleichung für -2/a noch lösen ?

Überhaupt nicht! Die Kandidaten für die Extremstellen hast du schon (mit Hilfe der 1. Ableitung) gefunden. Du mußt jetzt noch x = -2/a in die 2. Ableitung einsetzen, um zu prüfen, ob an der Stelle wirklich ein Extremum vorliegt und wenn ja, von welcher Art es ist. Dabei sollte dir helfen, daß [mm] e^{irgendwas} [/mm] immer > 0 ist.

>   oder kann ich damit argumentieren das es ein hochpunkt
> sein
> muss weil es keine zwei tiefpunkte nacheinander geben kann
> also das glaube ich das es so ist

Ganz so ist es nicht. [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] hat 2 Tiefpunkte.

Gruß aus HH
Dieter


Bezug
                                                                                
Bezug
lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 So 25.01.2015
Autor: bobbybrown

ok ich setzte in die zweite ableitung für x=-2/a ein
und erhalte [mm]f''(-2/a)=(\bruch{-2}{a})^2*x^2e^(\bruch{-2x}{a}) +4\bruch{-2}{a}*x*e^(\bruch{-2x}{a})+2e^(\bruch{-2x}{a})[/mm]

wie soll ich das jetzt lösen kann jetzt für a eine zahl>0 einsetzten zb 1 ?




Bezug
                                                                                        
Bezug
lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 So 25.01.2015
Autor: chrisno


> ok ich setzte in die zweite ableitung für x=-2/a ein
>  und erhalte
> [mm]f''(-2/a)=\left(\bruch{-2}{a}\right)^2*x^2e^{\bruch{-2x}{a}} +4\bruch{-2}{a}*x*e^{\bruch{-2x}{a}}+2e^{\bruch{-2x}{a}}[/mm]

Geschweifte Klammern sind der Trick

>  
> wie soll ich das jetzt lösen kann jetzt für a eine zahl>0
> einsetzten zb 1 ?

Damit kannst Du einen Versuch unternehmen, um es für diese eine Zahl zu testen. Dann musst Du es für jede andere Zahl wiederholen. Das wird lange dauern.
Das Ziel ist ja nur, herauszufinden, ob f'' größer oder kleiner als Null ist.
Erster Schritt: e hoch irgendetwas ist immer größer als Null. Du kannst da einen Faktor abspalten und den Rest untersuchen.


Bezug
                                                                                        
Bezug
lokale Maxima und Minima: Einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 So 25.01.2015
Autor: Infinit

Hallo bobbybrown,
wenn Du den Wert (-2/a) für y in Deine zweite Ableitung einsetzt, kann beim besten Willen keine Variable x mehr in Deiner zweiten Ableitung vorkommen. In Deinem angegebenen Ergebnis taucht jedoch x noch auf.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                                                                
Bezug
lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 So 25.01.2015
Autor: bobbybrown

ja du hasst recht da habe ich mich vertan müsste also lauten

[mm] f''(x)=a^2x^2e^{ax}+4axe^{ax}+2e^{ax} f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2e^{a(\bruch{-2}{a} )}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2 [/mm]

dann kann ich e^irgendwas durch 1 ersetzen glaube ich und erhalte

[mm] f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2)}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2 f''(-2/a )=\bruch{a^2+4}{a^2}+\bruch{-8a}{a}+2 f''(-2/a )=4-8+2 =-2 => hochpunkt ! [/mm]

Bezug
                                                                                                        
Bezug
lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 So 25.01.2015
Autor: MathePower

Hallo bobbybrown,

> ja du hasst recht da habe ich mich vertan müsste also
> lauten
>
> [mm] f''(x)=a^2x^2e^{ax}+4axe^{ax}+2e^{ax} f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2e^{a(\bruch{-2}{a} )}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2 [/mm]
>  
> dann kann ich e^irgendwas durch 1 ersetzen glaube ich und
> erhalte
>  
> [mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2)}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2
  f''(-2/a )=\bruch{a^2+4}{a^2}+\bruch{-8a}{a}+2


Bei allen Summanden fehlt die Exponentialfunktion.


f''(-2/a )=4-8+2 =-2 => hochpunkt !

Genauer: [mm]f''\left(\bruch{-2}{a}\right)=-2e^{-2}[/mm] [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
lokale Maxima und Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:53 Sa 24.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo!


> [mm]x(2+ax)[/mm]
>  
> wird null wenn x=0 und x=-2

Auch wenn der zweite Teil falsch ist, solltest du dir klar machen,
dass das Wort "und" nicht korrekt ist. Dort muss ein "oder" stehen,
denn es reicht aus, wenn eine Bedingung erfüllt ist. Verständlich?


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                
Bezug
lokale Maxima und Minima: und und oder
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 So 25.01.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> > [mm]x(2+x)[/mm]

(a=1 gesetzt, damit es auch stimmt)
  

> > wird null wenn x=0 und x=-2
>
> Du solltest dir klar machen,
>  dass das Wort "und" nicht korrekt ist. Dort muss ein
> "oder" stehen, denn es reicht aus, wenn eine Bedingung  
> erfüllt ist.


Hallo DieAcht,

wir haben hier allerdings eine Situation, die man durchaus
auch mit "und" sprachlich korrekt ausdrücken kann:

      [mm] $\green{ x*(2+x)}$ [/mm] wird null für x=0 und für x=-2

oder etwas ausführlicher:

      Die Gleichung [mm] $\green{ x*(2+x)\ =\ 0}$ [/mm] ist für x=0 und auch für x=-2  erfüllt.

Um die  oder/und - Varianten noch besser auf den Punkt zu
bringen:

Oder-Variante:

Wenn x eine Lösung der Gleichung  [mm] $\blue{ x*(2+x)\ =\ 0}$ [/mm]  ist, ist  x=0  oder x=-2

Und-Variante:

Lösungen der Gleichung [mm] $\green{ x*(2+x)\ =\ 0}$ [/mm] sind die Werte  [mm] $\green{ x_1=0}$ [/mm]  und [mm] $\green{ x_2=-2}$ [/mm]


LG ,   Al-Chw.

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