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Forum "Extremwertprobleme" - rechteck in einem parabel"tunn
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rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

hallo zusammen.
ich habe ein großes problem. einer meiner lehrer hat sich freitag erst gemedet und mir die themen für meine nachprüfung im fach mathe genannt. eine frage in der ersten prüfung war:

die funktion beschreibt einen tunnel, der die form einer parabel hat. wie groß ist die maximale fläche eines rechtecks, welches in den tunnel passt.

könnt ihr mir bitte helfen. ich weiß nicht, wie ich bei so einer aufgabe vorgehen soll. ich habe auch leider keine ausgangsgleichung. es ist eine hypothetisvhe frage. meine nachhilfe wusste auch nicht weiter.

vielen dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mo 09.09.2013
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenvh]

> hallo zusammen.
> ich habe ein großes problem. einer meiner lehrer hat sich
> freitag erst gemedet und mir die themen für meine
> nachprüfung im fach mathe genannt. eine frage in der
> ersten prüfung war:

>

> die funktion beschreibt einen tunnel, der die form einer
> parabel hat. wie groß ist die maximale fläche eines
> rechtecks, welches in den tunnel passt.

>

> könnt ihr mir bitte helfen. ich weiß nicht, wie ich bei
> so einer aufgabe vorgehen soll.

Hm, das ist ein wenig schwierig einzuschätzen. Nicht die Aufgabe, aber die Tatsache, dass du dein Alter mit 26-30 angibst und an einer Aufgabe der Klassenstufe 10 scheiterst (was kein Vorwurf sein soll!).

> ich habe auch leider keine
> ausgangsgleichung.

Nun ja, das wird bei dieser Art Aufgabenstellung der Normalfall sein. Es geht ja darum, reale Probleme mathematisch zu modellieren, d.h. hier wird man zunächst die Parabelgleichung aus anderen Angaben aufstellen müssen.

> es ist eine hypothetisvhe frage. meine

> nachhilfe wusste auch nicht weiter.

Das nun wiederum fällt mir - als Nachhilfelehrer - sehr, sehr schwer zu glauben!

Gehe folgendermaßen vor:

- Die Parabelgleichung, welche den Tunnelbogen beschreibt, muss ermittelt werden. Wenn die Angaben dies zulassen, dann lege den Scheitel dieser Parabel auf die y-Achse, dann hast du den Vorteil einer viel einfacheren Rechnung unter Ausnutzung der Achsensymmetrie einer solchen Parabel.

- Als nächstes muss ein Punkt des Rechtecks irgendwie mit Koordinaten versehen werden, etwa der rechte untere Punkt mit P(u|0)

- Dann kann man für die fragliche Fläche eine Zielfunktion A(u) aufstellen

- Schlussendlich muss für diese Zielfunktion im zulässigen Definitionsbereich ihr Maximum bestimmt werden. Hier benötigst du in diesem Fall noch die erste und vielleicht für eine Prüfung besser auch noch die zweite Ableitung deiner Zielfunktion.

Um dir aber wirklich sinnvoll helfen zu können, wäre es gut, du würdest in deinem Profil noch Angaben zu deiner Ausbildung und deinem Kenntnisstand machen und sicherlich wäre es auch zielführender, das ganze an Hand einer konkreten Aufgabenstellung durchzurechnen.


Gruß, Diophant

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rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

hallo und vielen dank für deine mühen.
wenn du mir noch einmal helfen könntest?
also ich habe hier eine funktion eines brückenbogens
f(x)= -0,0079x"+19  ("-> hoch 2)
wie groß ist die maximale fläche eines rechtecks, welches in den brückenbogen passt?


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rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Mo 09.09.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> hallo und vielen dank für deine mühen.
> wenn du mir noch einmal helfen könntest?
> also ich habe hier eine funktion eines brückenbogens
> f(x)= -0,0079x"+19 ("-> hoch 2)
> wie groß ist die maximale fläche eines rechtecks,
> welches in den brückenbogen passt?

Ich habe dir oben alle weiteren Schritte aufgezählt. Was ist denn daran unklar? Wir geben hier keine fertigen Lösungen, sondern es ist schon Eigeninitiative von deiner Seite gefragt!

Als kleine Starthilfe mal folgende Frage: wenn der rechte untere Eckpunkt des Rechtecks die Koordinaten (u|0) hat, wie breit ist dann das Rechteck? Wie hoch ist es? Welche Werte kann u überhaupt annehmen? Das alles kann man mit elementarsten Mitteln herausbekommen und du solltest es selbst versuchen.


Gruß, Diophant
 

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rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

ja das kann ja auch sein, aber ich schreibe die prüfung morgen und mir raucht der kopf. könntest du nicht eine ausnahme machen. mit einer musterlösung habe ich eine art fahrplan und kann mich daran orientieren.
wäre voll super

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rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Mo 09.09.2013
Autor: Valerie20

Auch wenn das vielleicht blöd klingt, aber dir wird es nichts bringen eine Musterlösung vorliegen zu haben. du musst schon verstehen was du da tust.

Mit ein bisschen Eigeninitiative kann ich dir aber versprechen, dass du hier heute noch eine vollständige Lösung erhalten wirst.

Bei dieser Art Aufgaben, musst du zunächst eine Hauptbedingung aufstellen und dann einige Nebenbedingungen. Das hört sich vielleicht komplizert an, ist es aber nicht.

Die Hauptbedingung ist: "Der Fächeninhalt eines Rechtecks."

Die Nebenbedingunen (die Grenzen deines Rechtecks) werden durch die Parabel festgelegt.


Also, zunächst zur Hauptbedingung. Wie erwähnt ist das der Flächeninhalt eines Rechtecks. Wie das als Formel aussieht, weißt du:

[mm] $Fläche=Länge\cdot [/mm] Breite$

oder:

[mm] $A=l\cdot [/mm] b$

Damit kommst du leider noch nicht sehr weit, denn die Nebenbedingungen für die "länge l" sowie für die "breite b" fehlen.

Jetzt bist du dran. Beantworte bitte die folgenden Fragen:

1. Welcher maximale Definitionsbereich (maximale Länge des Rechtecks) ist möglich.

2. Wie lauten die Nebenbedingungen für die Länge und die Breite? Also:

$l=....$
$b=....$


Zusätzlich:

Zeichne dir bitte eine beliebige Parabel in ein Koordinatensystem.
Danach Zeichnest du ein beliebiges Rechteck in diese Parabel.
So fällt es dir vielleicht einfacher die Zusammenhänge zu verstehen.

Valerie

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rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

das ist schon einmal gut, aber wie bekomme ich die variablen l und b in meine funktionsgleichung?

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rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Mo 09.09.2013
Autor: Valerie20

Die Variablen l und b sollen nicht in deine Funktionsgleichung, sondern du sollst dir selbst eine Funktion (genauer eine Funktion für die Fläche) aufstellen.

Also so etwas:

$A(x)=.....$

Deshalb ist es jetzt auch notwendig, dass du l und b mit den entsprechenden Nebenbedingungen verknüpst.
und gleichzeitig einen Definitionsbereich für l aufstellst!



Wie weit darst du denn auf der x-Achse nach rechts oder links, sodass überhaupt noch die Möglichkeit besteht ein Rechteck einzuschreiben? Diese beiden Werte: linke und Rechte Grenze stellen den Definitionsbereich für die Länge.
 

Bezug
                                                                
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rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

also wenn die straße unter meinem brückenbogen 49 meter hat, ist das dann meine nebenbedingung l?

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rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Mo 09.09.2013
Autor: Valerie20


> also wenn die straße unter meinem brückenbogen 49 meter
> hat, ist das dann meine nebenbedingung l?

Nicht ganz. Dass ist nun die rechte Grenze deines Definitonsbereiches.
Es gibt aber noch eine linke.
Du hast vermutlich falsch die Wurzel gezogen.

Es ist:

[mm] $-0.0079x^2+19=0$ [/mm]

[mm] \gdw 0.0079x^2=19[/mm]

[mm] \gdw x^2\approx 2405[/mm]

[mm]\Rightarrow x\approx \pm 49[/mm]

Diese beiden Lösungen stellen jetzt die Schnittstellen deiner Parabel mit der x-Achse dar.
Somit den Definitionsbereich für die Länge deines Rechtecks.

Unter der Ausnutzung der Symmetrie schreiben wir nun deine Flächenfunktion um zu:

[mm] $A(x)=2\cdot l\cdot [/mm] b$

Wir betrachten also nur den Bereich von 0 bis +49

Der Definitionsbereich ergibt sich also zu [mm]D=[0,49][/mm]

Ok, aber du musst trotzdem noch die Nebenbedingungen für l und b aufstellen.

Ich gebe dir jetzt mal die Nebenbedingung für die Länge.

$l=x$ mit unserem obigen Definitionsbereich.

Was ist jetzt die Breite deines Rechtecks?

Die Flächenfunktion sieht jetzt also so aus:

[mm] $A(x)=2\cdot x\cdot [/mm] .........$

Um auf b zu kommen:

Bereits herausgefunden haben wir, dass die Länge des Rechtecks durch die Nullstellen der Parabel mit der x-Achse begrenzt wird.

Jetzt stellt sich die Frage:
Durch Welchen "Wert" wird denn die Höhe deines Rechtecks begrenzt?
Hast du dir schon den Graphen gezeichnet?






 

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rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

ja die höhe der parabel, also der HP liegt bei (0/19)
wie gehts denn jetzt weiter?

Bezug
                                                                
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

also mein brückenbogen hat die koordinaten
A(-49/0)
B(0/19)
C(49/0)
und daraus fold die gleichung f(x)= -0,0079x"+19

"-> steht für hoch 2
wie gehe ich denn jetzt weiter vor?

Bezug
                                                                        
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Mo 09.09.2013
Autor: Thomas_Aut


> also mein brückenbogen hat die koordinaten
> A(-49/0)
>  B(0/19)
>  C(49/0)
>  und daraus fold die gleichung f(x)= -0,0079x"+19
>  
> "-> steht für hoch 2

Was ist das Problem an der Schreibweise: [mm] x^{2}? [/mm]

>  wie gehe ich denn jetzt weiter vor?

Gruß Thomas

Bezug
                                                                                
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

hmm iwie bringt mich das auch nicht so ganz weiter....aber vielen danke :-)

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Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mo 09.09.2013
Autor: meili

Hallo marc,

hast Du schon eine Parablel mit einem Rechteck darin gezeichnet?

Wie berechnet man die Fläche dieses Rechtecks abhängig von der Parabelfunktion?

Zwei Eckpunkte des Rechtecks liegen symmetrisch auf der Parabel.
Die anderen beiden Eckpunkte liegen auf der x-Achse,
als senkrechte Projektion der ersten beiden Punkte.

Welche Koordinaten haben diese Eckpunkte, ausgedrück mit x, f(x)?

Gruß
meili

Bezug
                                                                                
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

also die echpunkte meiner parabel haben die koordinaten (-49/0)und (49/0)

Bezug
                                                                                        
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rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Mo 09.09.2013
Autor: meili

Hallo,

> die echpunkte meiner parabel haben die koordinaten
> (-49/0)und (49/0)  

Und die Eckpunkte des Rechtecks?

Denn es geht ja um die Fläche des Rechtecks.

Gruß
meili

Bezug
                                                                                                
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

genau das ist ja mein problem... ich habe eine funktionsgleichung zu der parabel ermittelt und die frage in der prüfung was: was ist die maximale fläche eines rechtecks in der parabel.... und da weiß ich einfach nicht weiter

Bezug
                                                                                                        
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mo 09.09.2013
Autor: Valerie20


> genau das ist ja mein problem... ich habe eine
> funktionsgleichung zu der parabel ermittelt und die frage
> in der prüfung was: was ist die maximale fläche eines
> rechtecks in der parabel.... und da weiß ich einfach

Ok. Vielleicht hilfts dir ja etwas:

Die Koordinaten eines beliebigen Eckpunktes auf der Parabel lauten:

P(x|f(x))

Du bewegst dich also in dem Bereich von 0 bis 49 nach rechts auf der x-Achse und erhälst jeweils einen Eckpunkt, der von diesem Wert abhängig ist: f(x).

Damit ist die Höhe b=f(x)

Deine Flächenfunktion sieht nun so aus:

[mm] $A(x)=2\cdot l\cdot b=2\cdot x\cdot [/mm] f(x)$

Ich habe gerade "gegoogelt" und das hier gefunden:

http://goo.gl/Rh9X4a

Dort wird dieselbe Aufgabe nur mit anderen Werten behandelt.  Es ist Beispiel 2.

Valerie

Bezug
                                                                                                                
Bezug
rechteck in einem parabel"tunn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Mo 09.09.2013
Autor: marc1908

vielen dank :-)

Bezug
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