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Forum "Integralrechnung" - rotationskörper
rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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rotationskörper: unsicher
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Mi 23.03.2005
Autor: birdy

Ich muss den Rotationskörper der Funktion f(x) =  [mm] \bruch{ 2\*e^{2\*x}}{e^{2\*x}+4} [/mm] berechnen

mein Ansatz:  [mm] \pi\integral_{2}^{0} {f(x)^{2.} dx} [/mm]

Frage: stimmt es, dass ich [mm] \pi [/mm] davor setzen muss (rotiert ja um x-Achse) und deshalb auch [mm] f(x)^{2.} [/mm] ?

und da ich immer nicht genau weiß, was ich kürzen darf, kann man den Term irgendwie veeifachen, so dass [mm] 2\*e^{2\*x} [/mm] aus dem Zähler verschwindet?

        
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rotationskörper: nächster aufgabenteil
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Mi 23.03.2005
Autor: birdy

f wird für [mm] x\ge [/mm] 2 verglichen mit einer Funktion h, die dort durch
h(x)= [mm] 2-8\* e^{-2\* x} [/mm] gegeben ist
nun muss ich zeigen, dass der Unterschied zwischen den Funktionswerten monoton fällt und wie groß er max wird....

Ansatz: u(x)= f(x)- h(x)
leider reicht mein Grundwissen nicht aus um die Funktionen so umzuformen, dass ich weiterrechnen kann... help!!!

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rotationskörper: Gleichnamig machen ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Mi 23.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Birdy!


> f wird für [mm]x\ge[/mm] 2 verglichen mit einer Funktion h, die dort
> durch
> h(x)= [mm]2-8\* e^{-2\* x}[/mm] gegeben ist
> nun muss ich zeigen, dass der Unterschied zwischen den
> Funktionswerten monoton fällt und wie groß er max
> wird....
>  
> Ansatz: u(x)= f(x)- h(x)

[daumenhoch] Im Grunde kannst Du auch einfach so weiterrechnen, indem Du für $f(x)$ bzw. $h(x)$ die entsprechenden Funktionsvorschriften einsetzt:

$u(x) \ = \ f(x) - h(x) \ = \ [mm] \bruch{2*e^{2x}}{e^{2x}+4} [/mm] - [mm] \left(2 - 8*e^{-2x}\right)$ [/mm]


Du kannst natürlich auch alles auf einen Bruch zusammenfassen. Dafür mußt Du den hinteren Ausdruck mit dem Hauptnenner [mm] $e^{2x}+4$ [/mm] erweitern und anschließend den Zähler zusammenfassen. Bei mir hat dieser sich dann deutlich vereinfacht.


Für die "fallende Monotonie" kannst Du zeigen: $u'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$


Gruß
Loddar


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rotationskörper: weitere Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Mi 23.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, birdy,

Loddars Ausführungen sind natürlich - wie immer - richtig!
Und da die Differenzfunktion (auch ich würde diese zu einem einzigen Bruchterm umformen) tatsächlich echt monoton fällt, muss das Maximum logischerweise am linken Rand, also bei x=2 liegen.
Der Funktionswert d(2) = f(2)-h(2) beträgt bei mir etwa 0,01.

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rotationskörper: Ui !!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 Mi 23.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Zwerglein!


> Loddars Ausführungen sind natürlich - wie immer - richtig!

Vielen Dank für diese hohe Meinung.

Aber es gibt natürlich ausreichend Gegenbeispiele hier im MatheRaum (werde jetzt aber nicht so dämlich sein, und diese Beweise auch noch verlinken [lol] ...)!

Spätestens, wenn Marcel meine Artikel durchliest ... [huhu]


Grüße
Loddar


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rotationskörper: Unverschämtheit ;-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Mi 23.03.2005
Autor: Marcel

Lieber Thorsten!

> Hallo Zwerglein!
>  
>
> > Loddars Ausführungen sind natürlich - wie immer -
> richtig!
>  
> Vielen Dank für diese hohe Meinung.
>  
> Aber es gibt natürlich ausreichend Gegenbeispiele hier im
> MatheRaum (werde jetzt aber nicht so dämlich sein, und
> diese Beweise auch noch verlinken [lol] ...)!
>  
> Spätestens, wenn Marcel meine Artikel durchliest ...
> [huhu]

Was habe ich denn da so großes beanstandet? Wirklich soo viel? Ich kann mich nur noch an einen Rechenfehler erinnern. Immer diese haltlosen Beschuldigungen [grins]. Und wehe, ich lese sowas nochmal:
[auslach] [fechtduell]
  
PS: Keine Angst, Thorsten und ich streiten nicht, wir machen nur Spaß und ziehen uns gegenseitig auf [grins]!

Liebe Grüße,
Marcel

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rotationskörper: Na warte!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mi 23.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Marcel,

na warte! Ich verbünde mich jetzt mit Loddar, und dann: Wehe Dir!

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rotationskörper: Endlich ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Mi 23.03.2005
Autor: Loddar

... Unterstützung!


Danke Dir schon mal im voraus Zwerglein ...


Loddar


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rotationskörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mi 23.03.2005
Autor: Marcel

Hi Zwerglein!

> Hi, Marcel,
>  
> na warte! Ich verbünde mich jetzt mit Loddar, und dann:
> Wehe Dir!

Das ist aber unfair, zwei gegen einen. Tsts... Dann verstecke ich mal lieber [hideingbehindcomputer]. Ähm, ich hau mal lieber schnell ab [mussweg]... [totlach]

Liebe Grüße,
Marcel  

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rotationskörper: hu
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mi 23.03.2005
Autor: delee

hi,
es ist sogar sicher so, dass du vor das integral das [mm] \pi [/mm] setzen musst
und die gesamte funktion quadrieren musst
schau nach dem quadrieren mal, ob du kürzen kannst.
hab jetzt leider ned so viel zeit um selbst zu schaun

gruß lee

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rotationskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mi 23.03.2005
Autor: Paulus

Lieber birdy

> Ich muss den Rotationskörper der Funktion f(x) =  [mm]\bruch{ 2\*e^{2\*x}}{e^{2\*x}+4}[/mm]
> berechnen
>
> mein Ansatz:  [mm]\pi\integral_{2}^{0} {f(x)^{2.} dx} [/mm]
>  

Im Prinzip gut, nur die Integrationsgrenzen machen mir noch etwas Bauchweh. Sollte nicht die Null unten stehen, die Zwei oben? Offenbar musst du den Körper berechnen in den Grenzen x=0 bis x=2 ?

>
> Frage: stimmt es, dass ich [mm]\pi[/mm] davor setzen muss (rotiert
> ja um x-Achse) und deshalb auch [mm]f(x)^{2.}[/mm] ?
>  

Ja klar. Wenn du einmal die Rotationsfigur an einem bestimmten Punkt betrachtest, dann wird doch ein Kreis in den Raum gezeichnet, mit Radius f(x). Und die Kreisfläche ist ja [mm] $\pi r^2$, [/mm] also [mm] $\pi f(x)^2$. [/mm]

Eine dünne Kreisscheibe hat also das Volumen [mm] $\pi f(x)^2*dx$ [/mm]

Diese Kreisscheiben musst du ja einfach aufsummieren, sprich ich diesem Falle: integrieren.

> und da ich immer nicht genau weiß, was ich kürzen darf,
> kann man den Term irgendwie veeifachen, so dass [mm]2\*e^{2\*x}[/mm]
> aus dem Zähler verschwindet?
>  

Da kannst du kaum etwa wegkürzen. Ich würde es eher mit der Substitution [mm] $u:=e^{2x}$ [/mm] versuchen! :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

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rotationskörper: weitere Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Mi 23.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, birdy,

> Ich muss den Rotationskörper der Funktion f(x) =  [mm]\bruch{ 2\*e^{2\*x}}{e^{2\*x}+4}[/mm]
> berechnen
>
> mein Ansatz:  [mm]\pi\integral_{2}^{0} {f(x)^{2.} dx} [/mm]

Frage meinerseits: Warum sind die Integrationsgrenzen vertauscht?
Liegt der Sinn in der Aufgabenstellung? Ich stell's mal "richtig"! (siehe unten!)
  

>
> und da ich immer nicht genau weiß, was ich kürzen darf,
> kann man den Term irgendwie vereinfachen, so dass [mm]2\*e^{2\*x}[/mm]
> aus dem Zähler verschwindet?

Da läge in diesem Fall kein Sinn drin!
Wie Paulus schon geschrieben hat, musst Du hier mit Substitution rangehen. Ich würde allerdings gleich z = [mm] e^{2x}+4 [/mm] substituieren.
Dann ergibt sich: [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] 2e^{2x} [/mm] oder: dx = [mm] \bruch{dz}{2e^{2x}}. [/mm]
Da wir's später brauchen, schreib' ich auch gleich noch: [mm] e^{2x} [/mm] = z - 4
und die Grenzen: Aus x=0 wird z=4 und aus x=2 wird [mm] z=e^{4}+4. [/mm]

Also: [mm] \pi*\integral_{0}^{2} {\bruch{4e^{4x}}{(e^{2x}+4)^{2}} dx} [/mm]
= [mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4} {\bruch{4e^{4x}}{z^{2}}*\bruch{dz}{2e^{2x}}} [/mm]
Nun wird erst mal gekürzt:
[mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4} {\bruch{2e^{2x}}{z^{2}}*dz} [/mm]

Und dann noch [mm] e^{2x} [/mm] = z - 4 eingesetzt:
[mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4} {\bruch{2*(z-4)}{z^{2}}*dz} [/mm]

Der weitere Weg ist nun einfach:
= 2* [mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4}{(z-4)*z^{-2}*dz} [/mm]
= 2* [mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4}{(z^{-1}-4*z^{-2})*dz} [/mm]

So! Den Rest schaffst Du selbst!
(Und übrigens: Alles nachrechnen, nachvollziehen, drüber nachdenken!
Garantie für Leichtsinnsfehler geb' ich nicht!)


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rotationskörper: Merci
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Mi 23.03.2005
Autor: birdy

Danke, ich lass es mir nochmal durch den Kopf gehn....  ich glaub ich kanns nachvollziehen:-)

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