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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - schwaches Maximumprinzip
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schwaches Maximumprinzip: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Mi 18.10.2017
Autor: Noya

Aufgabe
Gilt die Aussage des schwachen Maximumprinzips auch noch, wenn man die Voraussetzung [mm] "\Omega [/mm] beschränkt" weglässt? Begründe deine Antwort.

Guten Abend ihr Lieben,

uns wurde obige Aufgabe gestellt.
Zuerst mal unsere Definitionen :

schwaches Max.prinzip :
Sei [mm] \Omega [/mm] eine beschränkte, offene Menge und u [mm] \in C^{0}(\overline{\Omega}) [/mm] sei eine subhamonische Funktion. Dann gilt
[mm] \underbrace{sup}_{\Omega}u=\underbrace{sup}_{\overline{\Omega}}u. [/mm]

subharmonische Funktion:
[mm] \Omega \subset \IR^n [/mm] offene Menge, u [mm] \in C^2(\Omega). [/mm] Wenn dann
[mm] \Delta [/mm] u(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial^2 u}{\partial^2 x_i}(x) \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in \Omega [/mm] ist, so nennen wir die u subharmonisch in [mm] \Omega. [/mm]


So jetzt meine Überlegung.
ich betrachte beispielhaft eine offene Menge [mm] \Omega=\{x \in \IN :1 u stetig auf [mm] \overline{\Omega}. [/mm]

u subharmonisch auf [mm] \Omega [/mm] : u nimmt sein Maximum nicht in [mm] \Omega [/mm] an.
max u [mm] \notin \Omega [/mm]
aber sup u [mm] \in \overline{\Omega}, [/mm] denn sup u=4 [mm] \in \overline{\Omega} [/mm]


[mm] \partial \Omega [/mm] = [mm] \{1,4\} [/mm] oder?
also sup u [mm] \in \partial \Omega [/mm]
aber sup u [mm] \notin \Omega [/mm]

und somit gilt das schwache Maximumsprinzip nicht für unbeschränkte Mengen oder?
Ist das von der Idee her korrekt? Könntet ihr mir da eventuell helfen? wie kann man das anständig begründen?

Vielen Dank und einen schönen Abend noch :)





        
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Do 19.10.2017
Autor: fred97

Dein  $ [mm] \Omega=\{x \in \IN :1
Bezug
                
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:13 Do 19.10.2017
Autor: Noya

🙄

Angenommen ich betrachte dann das als Intervall... also [mm] \Omega= [/mm] (1,4)
Und der Rest dann analog zz oben.

Wäre nett wenn du mir es auf die Sprünge helfen könntest. 😕



okay vielleicht allgemein :

Menge offen : M [mm] \cap \partial [/mm] M = [mm] \emptyset [/mm]
Abschluss : [mm] \overline{M} [/mm] = M [mm] \cup \partial [/mm] M
Rand : [mm] \partial [/mm] M =  [mm] \overline{M} [/mm] / [mm] M^{\circ} [/mm]

jetzt :
[mm] \Omega [/mm] offen, u [mm] \in C^{0} (\overline{\Omega}) [/mm]

u subharmonisch auf $ [mm] \Omega [/mm] $ : u nimmt sein Maximum nicht in $ [mm] \Omega [/mm] $ an.
max u $ [mm] \notin \Omega [/mm] $
sup u [mm] \in \partial \Omega \subset \overline{\Omega}, [/mm]
sup u [mm] \notin \Omega, [/mm] da [mm] \Omega [/mm] offen und somit gehört der Rand nicht zu [mm] \Omega. [/mm]


und somit gilt das schwache Maximumsprinzip nicht für unbeschränkte Mengen oder?
Ist das von der Idee her korrekt? Könntet ihr mir da eventuell helfen? wie kann man das anständig begründen?

Vielen Dank und einen schönen Abend noch :)

Bezug
                        
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Do 19.10.2017
Autor: fred97

.> 🙄
>  
> Angenommen ich betrachte dann das als Intervall... also
> [mm]\Omega=[/mm] (1,4)

[mm] \Omega [/mm] ist beschränkt !


> Und der Rest dann analog zz oben.
>
> Wäre nett wenn du mir es auf die Sprünge helfen
> könntest. 😕
>  
>
> okay vielleicht allgemein :
>  
> Menge offen : M [mm]\cap \partial[/mm] M = [mm]\emptyset[/mm]
>   Abschluss : [mm]\overline{M}[/mm] = M [mm]\cup \partial[/mm] M
>  Rand : [mm]\partial[/mm] M =  [mm]\overline{M}[/mm] / [mm]M^{\circ}[/mm]
>  
> jetzt :
>  [mm]\Omega[/mm] offen, u [mm]\in C^{0} (\overline{\Omega})[/mm]
>  
> u subharmonisch auf [mm]\Omega[/mm] : u nimmt sein Maximum nicht in
> [mm]\Omega[/mm] an.
>  max u [mm]\notin \Omega[/mm]
>  sup u [mm]\in \partial \Omega \subset \overline{\Omega},[/mm]
> sup u [mm]\notin \Omega,[/mm] da [mm]\Omega[/mm] offen und somit gehört der
> Rand nicht zu [mm]\Omega.[/mm]
>  
>
> und somit gilt das schwache Maximumsprinzip nicht für
> unbeschränkte Mengen oder?
>  Ist das von der Idee her korrekt? Könntet ihr mir da
> eventuell helfen? wie kann man das anständig begründen?
>  
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch :)

Ich formuliere mal das schwache Max. Prinzip:


Sei $ [mm] \Omega [/mm] $ eine beschränkte, offene Menge und $ u  [mm] \in C^{0}(\overline{\Omega}) [/mm] $ sei eine subharmonische Funktion. Dann ex. ein [mm] x_0 \in \partial \Omega [/mm] mit

[mm] \max u(\overline{\Omega})=u(x_0). [/mm]

Das [mm] \max u(\overline{\Omega}) [/mm] überhaupt existiert liegt daran, dass [mm] \overline{\Omega} [/mm] kompakt (und u stetig) ist.

Nun überlege Dir ein unbeschränktes [mm] \Omega [/mm] und ein geeignetes u, derart, dass u auf [mm] \overline{\Omega} [/mm] nicht nach oben beschränkt ist

>  


Bezug
                                
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Do 19.10.2017
Autor: Noya


>  
> Ich formuliere mal das schwache Max. Prinzip:
>  
>
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine beschränkte, offene Menge und [mm]u \in C^{0}(\overline{\Omega})[/mm]
> sei eine subharmonische Funktion. Dann ex. ein [mm]x_0 \in \partial \Omega[/mm]
> mit
>  
> [mm]\max u(\overline{\Omega})=u(x_0).[/mm]
>  
> Das [mm]\max u(\overline{\Omega})[/mm] überhaupt existiert liegt
> daran, dass [mm]\overline{\Omega}[/mm] kompakt (und u stetig) ist.
>  
> Nun überlege Dir ein unbeschränktes [mm]\Omega[/mm] und ein
> geeignetes u, derart, dass u auf [mm]\overline{\Omega}[/mm] nicht
> nach oben beschränkt ist
>  >  

Danke.

[mm] \Omega [/mm] = [mm] (0,\infty) [/mm] und u=x ?



Bezug
                                        
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Do 19.10.2017
Autor: fred97


>
> >  

> > Ich formuliere mal das schwache Max. Prinzip:
>  >  
> >
> > Sei [mm]\Omega[/mm] eine beschränkte, offene Menge und [mm]u \in C^{0}(\overline{\Omega})[/mm]
> > sei eine subharmonische Funktion. Dann ex. ein [mm]x_0 \in \partial \Omega[/mm]
> > mit
>  >  
> > [mm]\max u(\overline{\Omega})=u(x_0).[/mm]
>  >  
> > Das [mm]\max u(\overline{\Omega})[/mm] überhaupt existiert liegt
> > daran, dass [mm]\overline{\Omega}[/mm] kompakt (und u stetig) ist.
>  >  
> > Nun überlege Dir ein unbeschränktes [mm]\Omega[/mm] und ein
> > geeignetes u, derart, dass u auf [mm]\overline{\Omega}[/mm] nicht
> > nach oben beschränkt ist
>  >  >  
>
> Danke.
>  
> [mm]\Omega[/mm] = [mm](0,\infty)[/mm] und u=x ?

Das passt.

>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Do 19.10.2017
Autor: Noya


> > [mm]\Omega[/mm] = [mm](0,\infty)[/mm] und u=x ?
>  
> Das passt.


Okay und jetzt versuche ich das drauf anzuwendenn?

Supremum existiert doch dann weder auf [mm] \Omega [/mm] noch auf dem Rand oder?
muss u [mm] \in C^2 [/mm] seine wegen subharm? Dann nehme ich doch besser
[mm] U=x^2 [/mm]
Dann wäre u ja auch subharm oder?

[mm] \Omega =(0,\infty) [/mm]

[mm] \overline{\Omega} [/mm] = [mm] [0,\infty][/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Do 19.10.2017
Autor: fred97


> > > [mm]\Omega[/mm] = [mm](0,\infty)[/mm] und u=x ?
>  >  
> > Das passt.
>  
>
> Okay und jetzt versuche ich das drauf anzuwendenn?
>
> Supremum existiert doch dann weder auf [mm]\Omega[/mm] noch auf dem
> Rand oder?

Ja


> muss u [mm]\in C^2[/mm] seine wegen subharm?

Ja


> Dann nehme ich doch
> besser
>  [mm]U=x^2[/mm]


Ja, das passt auch.


> Dann wäre u ja auch subharm oder?

Ja


>
> [mm]\Omega =(0,\infty)[/mm]
>
> [mm]\overline{\Omega}[/mm] = [mm][0,\infty][/mm]  

Ja




Bezug
                                                                
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:31 Do 19.10.2017
Autor: Noya

Also um das richtig zu verstehen, mit diesem Beispiel wäre meine Argumentation von oben richtig?
Oder wie?



Bzw Überlegung :
Mit dem obigen Beispiel.
Nach dem Satz müsste gelten, dass u sein supremum auf [mm] \Omega [/mm] annimmt und das gleich dem Supremum auf [mm] \partial \Omega [/mm] ist.
Aber u nimmt weder auf [mm] \Omega [/mm] noch auf [mm] \partial \Omega [/mm] sein Supremum an.

Bezug
                                                                        
Bezug
schwaches Maximumprinzip: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 21.10.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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