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stammfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 So 25.01.2015
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei [mm] M=\IR^2 [/mm] und sei sei [mm] \omega \in \Omega^1(M) [/mm]
[mm] \omega =\bruch{-y}{x^2+y^2}dx+\bruch{x}{x^2+y^2}dy [/mm]

berechne [mm] \integral_{0}^{1}{\omega(\gamma'(t)) dt} [/mm] für den Weg [mm] \gamma(t)=e^{2\pi it}, [/mm] wobei [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] \IC [/mm] identifiziert wird.

Zeige, dass [mm] d\omega=0 [/mm] gilt, dass aber [mm] \omega [/mm] dennoch keine Stammfunktion hat.

hallo,

zum 2. Teil habe ich [mm] d\omega [/mm] berechnet und es kommt tatsächelich 0 heraus, aber warum hat es somit keine stammfunktion? ich habe gedacht, wenn die bedingung [mm] d\omega=0 [/mm] erfüllt ist dann hat [mm] \omega [/mm] eine Stammfunktion?

zum 1. Teil: [mm] \omega [/mm] ist von 2 variable abhängig wie solle ich [mm] \gamma'(t) [/mm] einsetzten?
[mm] \Rightarrow \gamma'(t)=2\pi i\cdot e^{2\pi it} [/mm]

danke im voraus

        
Bezug
stammfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 So 25.01.2015
Autor: MathePower

Hallo questionpeter.

> Sei [mm]M=\IR^2[/mm] und sei sei [mm]\omega \in \Omega^1(M)[/mm]
>   [mm]\omega =\bruch{-y}{x^2+y^2}dx+\bruch{x}{x^2+y^2}dy[/mm]
>  
> berechne [mm]\integral_{0}^{1}{\omega(\gamma'(t)) dt}[/mm] für den
> Weg [mm]\gamma(t)=e^{2\pi it},[/mm] wobei [mm]\IR^2[/mm] mit [mm]\IC[/mm]
> identifiziert wird.
>  
> Zeige, dass [mm]d\omega=0[/mm] gilt, dass aber [mm]\omega[/mm] dennoch keine
> Stammfunktion hat.
>  hallo,
>  
> zum 2. Teil habe ich [mm]d\omega[/mm] berechnet und es kommt
> tatsächelich 0 heraus, aber warum hat es somit keine
> stammfunktion? ich habe gedacht, wenn die bedingung
> [mm]d\omega=0[/mm] erfüllt ist dann hat [mm]\omega[/mm] eine Stammfunktion?
>  


Die notwendige Bedingung ist somit erfüllt.
Dies alleine reicht aber nicht für die Existenz einer Stammfunktion.

Da ist noch die Definitionsmenge, z. B. die Sternförmigkeit
bezüglich eines Punktes aus der Definitionsmenge.


> zum 1. Teil: [mm]\omega[/mm] ist von 2 variable abhängig wie solle
> ich [mm]\gamma'(t)[/mm] einsetzten?
>  [mm]\Rightarrow \gamma'(t)=2\pi i\cdot e^{2\pi it}[/mm]
>  


Es ist doch:

[mm]\gamma\left(t\rigiht)=x\left(t\right)+i*y\left(t\right)[/mm]


> danke im voraus


Gruss
MathePower

Bezug
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