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topologische Räume: Maßraum
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:52 Do 25.10.2007
Autor: jumape

Aufgabe
Sei (X,A,f) ein Maßraum. zeigen Sie, dass dann für a1, a2,.....an aus A gilt:
f(Vereinigung der ak für k=1 bis n)=Summe über k=1 bis n von ((-1)hoch k) mal Summe von 1 kleiner gleich n1 kleiner n2...kleiner nk kleiner gleich n über(f(schnitt von l=1 bis k anl)

Ich würde das per Induktion machen komme aber nicht über die Induktionsvorraussetzung hinaus, aber für n=1 und n=2 gilt es.

        
Bezug
topologische Räume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:07 Fr 26.10.2007
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> Sei (X,A,f) ein Maßraum. zeigen Sie, dass dann für a1,
> a2,.....an aus A gilt:
>  f(Vereinigung der ak für k=1 bis n)=Summe über k=1 bis n
> von ((-1)hoch k) mal Summe von 1 kleiner gleich n1 kleiner
> n2...kleiner nk kleiner gleich n über(f(schnitt von l=1 bis
> k anl)
>  Ich würde das per Induktion machen komme aber nicht über
> die Induktionsvorraussetzung hinaus, aber für n=1 und n=2
> gilt es.

ich denke, du wirst eher eine reaktion bekommen, wenn du diese aufgabe mit dem Formeleditor setzt. so ist sie jedenfalls unlesbar.

gruss
matthias


Bezug
                
Bezug
topologische Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Sa 27.10.2007
Autor: verkackt

Hallo Matthias, ich habe dieselbe aufgabe zu lösen.Ich schreib  also nochmal die aufgabenstellung:
Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum.Zeigen Sie, dass dann für alle [mm] A_{1},...,A_{n} \in \mathcal{A} [/mm] gilt:
[mm] \mu(\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}) =\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \summe_{1\le n_{1} Ich habe versucht mit Induktion diese Aufgabe zu beweisen, aber irgendwo bin ich gescheitert.Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann.

Bezug
                        
Bezug
topologische Räume: Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Sa 27.10.2007
Autor: Gnometech

Grüße!

So wie ich das sehe kommt man mit einer einfachen Induktion tatsächlich zum Ziel. Alles was man braucht ist diese Formel:

[mm] $\mu(A \cup [/mm] B) = [mm] \mu(A) [/mm] + [mm] \mu(B) [/mm] - [mm] \mu(A \cap [/mm] B)$

Diese ist der Induktionsanfang für $n = 2$ wenn man mag und hiflt auch im Induktionsschritt weiter.

Ich schreibe den Anfang mal auf:

[mm] $\mu\left( \bigcup_{k=1}^n A_k \right) [/mm] = [mm] \mu \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right) [/mm] + [mm] \mu(A_n) [/mm] - [mm] \mu\left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \cap A_n \right)$ [/mm]

Nun kann die Induktionsvoraussetzung auf beide Klammern mit der Vereinigung angewandt werden, da nur über $n-1$ Mengen vereinigt wird. Der vordere Ausdruck liefert dann alle möglichen Schnitte, die [mm] $A_n$ [/mm] nicht enthalten und die hintere liefert alle Schnitte, die [mm] $A_n$ [/mm] enthalten, wobei das - für die nötige Vorzeichenverschiebung sorgt. Einige elementare Umformungen und ihr seid am Ziel.

Viel Erfolg!

Lars

Bezug
                                
Bezug
topologische Räume: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:08 So 28.10.2007
Autor: kittie

hallo lars,

beschäftige mich der gleicen Aufgabenstellung.
Den Induktionsanfang bekomme ich ja noch hin;)
Aber bei Induktionsschritt geh ich dann leider völlig unter.
Kann auch mit deinem Anfang davon leider nicht viel anfangen.:(
Willst du damit die inklusion von n-1 [mm] \to [/mm] n zeigen, oder verstehe ich da was falsch?
Hoffe du kannst mir da helfen, bekomme es nämlich leider überhaupt nicht auf die Reihe mit dem Induktionsschritt.

Vliele liebe Grüße, kittie

Bezug
                                        
Bezug
topologische Räume: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:23 Di 30.10.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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