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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Übung Mengenlehre: Beweisen
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Übung Mengenlehre: Beweisen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:44 Mo 23.10.2017
Autor: Tobikall

Aufgabe
Es seien A,B Teilmengen einer Menge X. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (i) A ⊂ B, (ii) A∩B = A, (iii) A∪B = B, (iv) A ∩ ( X \ B ) = ∅, (v) ( X \ A )∪ B = X. (Hinweis zu H4: Es reicht zu zeigen: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v) ⇒ (i).






Hallo,

ich studiere nun seit 2 Wochen Mathe und tue mich bei einer meiner Übungsaufgaben noch schwer und weiß nicht so recht, wie ich diese angehen soll. Von der Logik her ist es mir klar, dass obige Aussagen äquivalent sind, nur weiß ich nicht richtig, wie ich meine Antworten formulieren oder exakt beweisen soll. wäre top wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Übung Mengenlehre: Beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Mo 23.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Es seien A,B Teilmengen einer Menge X. Beweisen Sie, dass
> die folgenden Aussagen äquivalent sind. (i) A ⊂ B, (ii)
> A∩B = A, (iii) A∪B = B, (iv) A ∩ ( X \ B ) = ∅, (v)
> ( X \ A )∪ B = X. (Hinweis zu H4: Es reicht zu zeigen:
> (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v) ⇒ (i).

>
>
>
>
>

> Hallo,

>

> ich studiere nun seit 2 Wochen Mathe und tue mich bei einer
> meiner Übungsaufgaben noch schwer und weiß nicht so
> recht, wie ich diese angehen soll. Von der Logik her ist es
> mir klar, dass obige Aussagen äquivalent sind, nur weiß
> ich nicht richtig, wie ich meine Antworten formulieren oder
> exakt beweisen soll. wäre top wenn mir jemand dabei helfen
> könnte.

Hm. Der entscheidende Hinweis steht doch dabei, was verstehst du daran nicht?

Fangen wir einmal mit dem ersten Schritt an. Aus der Tatsache, dass A Teilmenge von B ist, folgt (mit der Definition der Teilmenge)

[mm]a\in{A}\ \Rightarrow\ \left(a\in{A}\ \land a\in{B}\right) \Rightarrow\ A \cap{B}=A[/mm]

Aus der Tatsache, dass alle Elemente von A auch in B liegen folgt doch unmitelbar, dass der Schnitt von A und B die Menge A ist.

So machst du das jetzt für die anderen Implikationen auch und ein guter Tipp für solche Aufgaben ist es immer, sich den Sachverhalt an einem Venn-Diagramm klarzumachen. Wenn dir eine Schlussfolgerung klar ist, dann formuliere sie erst kurz sprachlich aus und dann 'übersetze' sie in eine mathematische Notation.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Übung Mengenlehre: Beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Mo 23.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Tobikall und herzlich [willkommenmr]!


Ich denke nicht, dass es für den Nachweis von i) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ii) genügt zu behaupten, diese Implikation sei offensichtlich.


Wir müssen für fast alle zu zeigenden Implikationen die Gleichheit zweier Mengen $M$ und $N$ nachweisen.
Das tut man typischerweise dadurch, dass man nacheinander [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ nachweist.


Für die Implikation i) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ii) müssen wir unter der Annahme, dass [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gilt, nachweisen, dass [mm] $A\cap [/mm] B=A$ gilt.
Dazu zeigen wir also nacheinander
1. [mm] $A\cap B\subseteq [/mm] A$ und
2. [mm] $A\subseteq A\cap [/mm] B$.

Bedingung 1. gilt sogar für alle Mengen A und B unabhängig von der Annahme [mm] $A\subseteq [/mm] B$:
Sei nämlich [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ beliebig vorgegeben.
Dann gilt nach Definition von [mm] $\cap$ [/mm] insbesondere [mm] $x\in [/mm] A$.
Da [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ beliebig vorgegeben war, gilt somit [mm] $x\in [/mm] A$ für ALLE [mm] $x\in A\cap [/mm] B$, d.h. es gilt in der Tat 1. .

Zu 2.:
Sei [mm] $x\in [/mm] A$ beliebig vorgegeben. (*)
Zu zeigen ist [mm] $x\in A\cap [/mm] B$, d.h. zu zeigen sind nach Definition von [mm] $\cap$: [/mm]
a) [mm] $x\in [/mm] A$ und
b) [mm] $x\in [/mm] B$.

Gemäß (*) gilt a) und wegen [mm] $A\subseteq [/mm] B$ impliziert [mm] $x\in [/mm] A$ auch [mm] $x\in [/mm] B$, womit auch b) gezeigt ist.

Damit ist die Implikation i)=>ii) gezeigt.


Kommst du nun bei den anderen Implikationen weiter?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Übung Mengenlehre: Beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Mo 23.10.2017
Autor: Tobikall

Ok danke, ich glaube, dass ich jetzt verstehe wie es geht und probiere den Rest selbst.


Bezug
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