www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Faktorhalbgruppe
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Faktorhalbgruppe

Definition Faktorhalbgruppe


Schule


Universität

Es sei $ (H, \circ) $ eine Halbgruppe und $ R $ eine verträgliche Äquivalenzrelation auf $ (H, \circ) $. Dann ist die Menge der Äquivalenzklassen

$ H/R=\{[a]_R\, \vert\, a \in H\} $

zusammen mit der durch

$ [a]_R \circ [b]_R := [a \circ b]_R $

definierten Verknüpfung eine Halbgruppe.

Man nennt diese Halbgruppe $ (H/R,\circ) $ die Faktorhalbgruppe (oder Restklassenhalbgruppe) von $ H $ nach $ R $ (oder von $ H $ modulo $ R $).


Bemerkung

Es hat sich als sehr zweckmäßig erwiesen, für die Verknüpfungen in $ H $ und die dadurch induzierte Verknüpfung in $ H/R $ dieselben Zeichen zu verwenden.


Beispiel

Im Bereich $ \IZ $ der ganzen Zahlen kennen wir die Division mit Rest; d.h. zu $ m,\, n \in \IZ $, $ n>0 $, gibt es eindeutig bestimmte $ q,\, r \in \IZ $ mit

$ m=qn+r $  und  $ 0 \le r < n $.

($ r $ heißt der Rest.)

Zu $ n \in \IN $ erklären wir eine Relation $ R_n \subseteq \IZ \times \IZ $ durch

$ (x,y) \in R_n \ : \Leftrightarrow \ x,y $ haben bei Division durch $ n $ den gleichen Rest.

Wie man sieht, ist $ R_n $ eine Äquivalenzrelation auf $ \IZ $. Anstatt $ (x,y) \in R_n $ schreibt man üblicherweise

(*) $ x \equiv y \pmod{n} \ \Leftrightarrow \ x-y \in n\IZ $.

Denn haben $ x $ und $ y $ bei Division durch $ n $ den gleichen Rest, dann ist $ x-y $ ein Vielfaches von $ n $. Gilt andererseits $ x=qn+r $ und $ y=q'n+r' $ mit $ 0 \le r,r' < n $ und $ x-y \in n\IZ $, dann ist auch $ r-r' \in n\IZ $, das geht wegen der Einschränkung $ 0 \le r,r' < n $ nur für $ r=r' $, also $ x \equiv y \pmod{n} $.

Nun wird gezeigt, dass die Relation "kongruent modulo $ n $" mit $ + $ und $ \cdot $ auf $ \IZ $ verträglich ist:

Dafür sei $ x \equiv y \pmod{n} $ und $ m \in \IZ $. Wegen (*) ist dann

$ mx-my \in n(m\IZ) \subseteq n\IZ $,

also:

$ mx \equiv my \pmod{n} $.

Außerdem gilt trivialerweise

$ (x+m) - (y+m) = x-y \in n\IZ $,

also auch:

$ x+m \equiv y+m \pmod{n} $.

Das zeigt bereits die Verträglichkeit mit $ + $ und $ \cdot $.

Sei $ \bar{x} $ die Äquivalenzklasse $ \pmod{n} $ von $ x \in \IZ $, in diesem Fall Restklasse modulo $ n $ genannt:

$ \bar{x} = \{y' \, \vert \, y-x \in n\IZ\} = \{x+nm\, \vert\, m \in \IZ\} = x+n\IZ $.

Die Menge der Restklassen wir mit $ \IZ_n $ bezeichnet. Da jede Klasse zu genau einem Rest gehört, haben wir

$ \IZ_n=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\} $.

Beachte: $ \overline{n} =\overline{0} $, $ \overline{n+1} = \overline{1} $, etc.

Wegen der Veträglichkeit der Äquivalenzrelationen mit $ + $ und $ \cdot $ haben wir in kanonischer Weise auf $ \IZ_n $ die Verknüpfungen $ + $ und $ \cdot $ erklärt, nämlich

$ \overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y} $

und

$ \overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x \cdot y} $,

und $ (\IZ_n,+) $, $ (\IZ_n,\cdot) $ sind Halbgruppen.


Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9

Erstellt: So 31.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 31.07.2005 um 21:28 von Stefan
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de