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Häufungspunkt
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Häufungspunkt

Definition Häufungspunkt (einer Folge)


Universität

Sei $ (x_n) $ eine Folge reeller (bzw. komplexer) Zahlen.
Ein Punkt $ z\in\IR $ (bzw. $ z\in\IC $) heißt Häufungspunkt (der Folge $ (x_n) $), wenn in jeder Umgebung von z unendlich viele Folgenglieder von $ (x_n) $ liegen.


Wichtige Sätze


Satz Sei $ (x_n) $ eine Folge reeller (bzw. komplexer) Zahlen und $ z\in\IR $ (bzw. $ z\in\IC $.
z Häufungspunkt von $ (x_n) $ $ \gdw $ $ (x_n) $ besitzt eine gegen z konvergente Teilfolge.


Satz von Weierstraß-Bolzano Jede beschränkte Folge reeller (bzw. komplexer) Zahlen besitzt einen Häufungspunkt.


Definition Häufungspunkt (einer Menge)

Für den Raum $ \IC $ bzw. $ \IR $

Sie A eine Teilmenge von $ \IK $ ($ \IK=\IR $ oder $ \IK=\IC $).
Ein Punkt $ x\in \IK $ heißt Häufungspunkt von A, wenn in jeder Umgebung von x unendliche viele Elemente von A liegen.

Für metrische Räume

Sei (M,d) metrischer Raum, $ B \subset M $.
$ x \in M $ heißt Häufungspunkt von B, wenn es in jeder Umgebung von x Punkte aus B gibt, die von x verschieden sind.

Für topologische Räume

Seien X ein topologischer Raum und $ M\subseteq X $.
Ein Punkt $ x\in X $ heißt ein Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von x ein von x verschiedener Punkt aus M liegt.


Wichtige Sätze


Satz Seien X ein topologischer Raum und $ M\subseteq X $.
Jeder Häufungspunkt von M ist ein Berührpunkt von M.


Satz Seien X ein topologischer Raum und $ M\subseteq X $.
Jeder Berührpunkt von M, der nicht zu M gehört, ist ein Häufungspunkt von M.
Erstellt: Do 18.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Fr 18.02.2005 um 11:08 von Marc
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