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Potenzgesetz
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Potenzgesetz

Potenzgesetze


Schule


Sofern die einzelnen Potenzen definiert sind, gelten folgende Rechengesetze:

P1)
a) $ a^r\cdot{}a^s=a^{r+s} $
"Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält."
b) $ \bruch{a^r}{a^s}=a^{r-s} $
"Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält."

P2)
a) $ a^r\cdot{}b^r=(a\cdot{}b)^r $
"Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der beiden Basiszahlen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert."
b) $ \bruch{a^r}{b^r}=\left(\bruch{a}{b}\right)^r $
"Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der beiden Basiszahlen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert."

P3)
$ \left(a^r\right)^s=a^{r\cdot{}s} $
"Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert."

weitere Identitäten, die sofort aus der Definition einer Potenz folgen:

  • $ a^1=a $
  • $ 1^r=1 $

Ausserdem sind folgende Potenzen definiert:


  • $ a^0:=1 $
  • $ a^{-r}:=\bruch{1}{a^r} $
  • $ 0^0=n.d. $ undefiniert, in manchen Zusammenhängen ist aber die Festlegung $ 0^0:=1 $ sinnvoll (da $ \limes_{x\to0}x^x=1 $)


Bemerkungen.

Da Wurzeln nichts anderes sind als Potenzen mit gebrochenen Exponenten, gelten auch für Wurzelterme dieselben Regeln.
$ \wurzel[m]{a}=a^{\bruch{1}{m}} $ und
$ \wurzel[m]{a^n}=(a^n)^\bruch{1}{m}=a^\bruch{n}{m}=(\wurzel[m]{a})^n $

Beispiele.


Beweis.


Universität

Voraussetzungen und Behauptung


Bemerkungen.

Weitere Bemerkungen zum Verständnis des Satzes.


Beispiele.


Beweis.


Erstellt: Mo 08.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: So 14.10.2007 um 18:37 von informix
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