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liminf
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liminf

Definition lim inf ("Limes inferior") und lim sup ("Limes superior")


Universität

Sei $ (x_n)_{n\in\IN} $ eine Folge. Die Menge H der Häufungspunkte von $ (x_n) $ sei beschränkt und nichtleer.

Das kleinste Element der Menge H heißt Limes inferior, $ \liminf x_n=\inf H $.
Das größte Element der Menge H heißt Limes superior, $ \limsup x_n=\sup H $.

Als alternative Definitionen eignen sich die gekennzeichneten Sätze.


Wichtige Sätze zu Limes inferior und Limes superior


Satz Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen Limes inferior und einen Limes superior.

(1), Satz 4.G.15


Satz (alternative Definition von liminf und limsup) Sei $ (x_n) $ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann ist
$ \limsup x_n=\limes_{n\to\infty}(\operatorname{Sup}\{x_n\ |\ m\ge n\}) $
$ \liminf x_n=\limes_{n\to\infty}(\operatorname{Inf}\{x_n\ |\ m\ge n\}) $

(1), Aufgabe 13 in 4.G


Satz  (alternative Definition von liminf und limsup) Sei $ (x_n) $ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann ist
$ \limsup x_n=\operatorname{Inf}\{x\in\IR\ |\ x\ge x_n \mbox{ für fast alle } n\} $
$ \liminf x_n=\operatorname{Sup}\{x\in\IR\ |\ x\le x_n \mbox{ für fast alle } n\} $

(1), Aufgabe 14 in 4.G


Satz  (alternative Definition von liminf und limsup) Sei $ (x_n) $ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann ist
$ \limsup x_n=\operatorname{Sup }\{x\in\IR\ |\ x\le x_n \mbox{ für unendlich viele } n\} $
$ \liminf x_n=\operatorname{Inf}\{x\in\IR\ |\ x\ge x_n \mbox{ für unendlich viele } n\} $

(1), Aufgabe 14 in 4.G


Satz Seien $ (x_n) $ und $ (y_n) $ beschränkte Folgen reeller Zahlen.
Es gilt: $ \liminf x_n+\liminf y_n\le \liminf(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\liminf y_n\le\limsup(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\limsup y_n $

(1), Aufgabe 15a in 4.G


Satz Seien $ (x_n) $ und $ (y_n) $ beschränkte Folgen reeller, nichtnegativer Zahlen.
Es gilt: $ \liminf x_n\cdot{}\liminf y_n\le \liminf(x_n\cdot{}y_n)\le\limsup x_n\cdot{}\liminf y_n\le\limsup(x_n\cdot{}y_n)\le\limsup x_n\cdot{}\limsup y_n $

(1), Aufgabe 15b in 4.G


Literaturangaben

(1) isbn3411032049

Erstellt: Mi 17.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 20.11.2008 um 20:53 von Loddar
Weitere Autoren: informix
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