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Forum "Integration" - 2 malige partielle Integration
2 malige partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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2 malige partielle Integration: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Mi 17.08.2005
Autor: Outside

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi Leute!
Hab ne Aufgabe bei der ich mich irgendwie nur im Kreis drehe.
Aufgabenstellung:
Lösen Sie das Integral [mm] \integral{e^x*cos(x) dx} [/mm] durch zweimalige partielle Integration.
Mein Ansatz war:

$u'(x)=cos(x)$ [mm] v=e^x [/mm] $u(x)=sin(x)$ [mm] v'(x)=e^x [/mm]

[mm] \integral{e^x*cos(x) dx}=e^x*sin(x)-\integral{e^x*sin(x)dx} [/mm]
Klasse dachte ich mir. Habe ja wieder fast genau das selbe. Komme dann im Endefekt (nach dem 2. mal) auf [mm] e^x*sin(x)+e^x*cos(x)-\integral{e^x*-cos(x) dx} [/mm]
Was mir ja nun garnicht helfen dürfte da ich wieder mein Anfangsintegral berechnen muss.

Das ganze dann andersrum nochmal:

[mm] u'(x)=e^x [/mm] $v=cos(x)$ [mm] u=e^x [/mm] $v'=-sin(x)$

[mm] \integral{e^x*cos(x) dx}=cos(x)*e^x-\integral{-sin(x)*e^x dx}=cos(x)*e^x+\integral{sin(x)*e^x dx} [/mm]
baue das ganze also nur andersrum auf...

Wo ist denn der trick der mir grad fehlt um das zu lösen?

        
Bezug
2 malige partielle Integration: Vorzeichenfehler + umstellen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Mi 17.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Outside,

[willkommenmr] !!


>  Mein Ansatz war:
>  
> [mm]u'(x)=cos(x)[/mm] [mm]v=e^x[/mm]  [mm]u(x)=sin(x)[/mm] [mm]v'(x)=e^x[/mm]
>  
> [mm]\integral{e^x*cos(x) dx}=e^x*sin(x)-\integral{e^x*sin(x)dx}[/mm]

[ok] Richtig!

  

> Klasse dachte ich mir. Habe ja wieder fast genau das selbe.
> Komme dann im Endefekt (nach dem 2. mal) auf
> [mm]e^x*sin(x)+e^x*cos(x)-\integral{e^x*-cos(x) dx}[/mm]

[notok] Hier ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen:

[mm] $\integral{e^x*\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\sin(x) [/mm] - [mm] \integral{e^x*\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\sin(x) [/mm] - [mm] \left[e^x*(-\cos(x)) - \integral{e^x*(-\cos(x)) \ dx}\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x*\sin(x) [/mm] + [mm] e^x*\cos(x) [/mm] - [mm] \integral{e^x*\cos(x) \ dx}$ [/mm]


> Was mir ja nun garnicht helfen dürfte da ich wieder mein
> Anfangsintegral berechnen muss.

Aber das ist ja genau der Trick ...

Und hier ersetze ich mal zur Veranschaulichung [mm] $\red{A} [/mm] \ = \ [mm] \integral{e^x*\cos(x) \ dx}$ [/mm] und erhalte:

[mm] $\red{A} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\sin(x) [/mm] + [mm] e^x*\cos(x) [/mm] - [mm] \red{A}$ [/mm]


Und nun lösen doch einfach mal nach [mm] $\red{A}$ [/mm] auf, also zunächst auf die linke Seite bringen usw.


Erhältst Du nun Dein Ergebnis?


> Das ganze dann andersrum nochmal:

So klappt es bei diesem Integral auch, mit demselben "Trick" am Ende ...


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
2 malige partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:59 Fr 22.07.2011
Autor: Mareike85

""
Und hier ersetze ich mal zur Veranschaulichung $ [mm] \red{A} [/mm] \ = \ [mm] \integral{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx} [/mm] $ und erhalte:

$ [mm] \red{A} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\sin(x) [/mm] + [mm] e^x\cdot{}\cos(x) [/mm] - [mm] \red{A} [/mm] $

""

Ich verstehe das noch nicht so richtig.
Da dreht man sich doch immer noch im Kreis, weil sich der Grund der partiellen "endlos" Integration immer noch nicht wegkürzt oder was sehe ich hier nicht?

Bezug
                        
Bezug
2 malige partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Fr 22.07.2011
Autor: fred97


> ""
>  Und hier ersetze ich mal zur Veranschaulichung [mm]\red{A} \ = \ \integral{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx}[/mm]
> und erhalte:
>  
> [mm]\red{A} \ = \ e^x\cdot{}\sin(x) + e^x\cdot{}\cos(x) - \red{A}[/mm]
>  
> ""
>  
> Ich verstehe das noch nicht so richtig.
> Da dreht man sich doch immer noch im Kreis, weil sich der
> Grund der partiellen "endlos" Integration immer noch nicht
> wegkürzt oder was sehe ich hier nicht?

Du siehst nicht, dass sich die Gleichung



$ [mm] \red{A} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\sin(x) [/mm] + [mm] e^x\cdot{}\cos(x) [/mm] - [mm] \red{A} [/mm] $

nach [mm] \red{A} [/mm] auflösen lässt und Du fertig bist !

FRED


Bezug
                                
Bezug
2 malige partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:34 Fr 22.07.2011
Autor: Mareike85

Ich habe eine Weile gebraucht um zu verstehen, dass es Sinn macht, das A auf die linke Seite zu bringen UND durch 2 zu teilen.
Dank dir.

Bezug
                
Bezug
2 malige partielle Integration: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Mi 17.08.2005
Autor: Outside

Vielen Dank Loddar!!!
Ging ja super schnell.
Das ich der Lösung so nah war hätte ich nie gedacht. Habe immernur das selbe gesehen. Auf die idee das dann gleich zu setzen bin ich nicht gekommen. (In Zukunft werd ich mich daran sicher sofort erinnern)
Habe nochmal alles neu gerechnet und als ergibniss: [mm] 0.5*e^x*(sin(x)+cos(x)) [/mm] heraus.

Bezug
                        
Bezug
2 malige partielle Integration: Stimmt ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Mi 17.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Outside!


> Habe nochmal alles neu gerechnet und als ergibniss:
> [mm]0.5*e^x*(sin(x)+cos(x))[/mm] heraus.

[daumenhoch]


[aufgemerkt] Bei unbestimmten Integralen die Integrationskonstante "$ \ + \ C \ $" nicht vergessen!


Gruß
Loddar


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