3xMindestens 3 Treffer < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 21.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es werden in einer Massenproduktion Teile hergestellt. Diese Teile sind erfahrungsgemäßig zu 4% defekt.
Wie viele Teile muss man der Produktion mindestens entnehmen, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens drei fehlerfreie Teile finden möchte? |
Moin Moin,
hier frage ich mich, ob es einen einfachen Lösungsweg gibt???
Also ich definiere:
X ist die Anzahl der fehlerfreien Teile in der Stichprobe.
p = 0,96; q = 0,04; n ist gesucht.
P(X [mm] \ge [/mm] 3) [mm] \ge [/mm] 0,95
1 - P(X < 3) [mm] \ge [/mm] 0,95
1 - P(X [mm] \le [/mm] 2) [mm] \ge [/mm] 0,95
P(X [mm] \le [/mm] 2) [mm] \le [/mm] 0,05
Soweit, sollte es stimmen...
[mm] \vektor{n \\ 0}*0,96^0*0,04^n [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1}*0,96^1*0,04^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2}*0,96^2*0,04^{n-2} \le [/mm] 0,05
[mm] 0,04^n +n*0,96*0,04^{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-2)!*2!}*0,96^2*0,04^{n-2} \le [/mm] 0,05
[mm] 0,04^n +n*0,96*0,04^{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{n*(n-1)}{2}*0,96^2*0,04^{n-2} \le [/mm] 0,05
Nun könnte ich noch [mm] 0,04^{n-2} [/mm] ausklammern und ein bisschen zusammenfassen
[mm] 0,04^{n-2}*[0,04^2+ [/mm] n*0,96*0,04 [mm] +n*(n-1)*0,96^2] \le [/mm] 0,05
[mm] 0,04^{n-2}*[0,0016 [/mm] + 0,0384*n [mm] +(n^2-n)*0,9216] \le [/mm] 0,05
[mm] 0,04^{n-2}*[0,0016 [/mm] -0,88324*n [mm] +0,9216*n^2] \le [/mm] 0,05
Wenn das soweit richtig ist, wie geht es dann weiter?
Muss ich da probieren oder gibt es ein einfaches Verfahren? Oder kann ich bereits vorher die Lösung einfacher ermitteln?
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 So 21.10.2018 | | Autor: | abakus |
Nach "Soweit sollte es stimmen" hast du in der Formel jeweils die Werte 0,04 und 0,96 vertauscht.
Aber egal, die Gleichung ist sowieso nur mit Näherungsverfahren bzw. elektronischen Hilfsmitteln zu lösen.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.96%5En%2Bn*0.04*0.96%5E(n-1)%2B(n*n-n)%2F2*0.04%5E2*0.96%5E(n-2)%3D0.05
Du brauchst 156 Versuche.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:16 So 21.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
> Nach "Soweit sollte es stimmen" hast du in der Formel
> jeweils die Werte 0,04 und 0,96 vertauscht.
>
> Aber egal, die Gleichung ist sowieso nur mit
> Näherungsverfahren bzw. elektronischen Hilfsmitteln zu
> lösen.
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.96%5En%2Bn*0.04*0.96%5E(n-1)%2B(n*n-n)%2F2*0.04%5E2*0.96%5E(n-2)%3D0.05
>
> Du brauchst 156 Versuche.
Ok, aber wo soll ich die Wahrscheinlichkeiten vertauscht haben???
Trefferwahrscheinlichkeit (fehlerfreie Teile) p=0,96 und q = 0,04 (fehlerhafte Teile) ... das habe ich nicht vertauscht...
Ich erhalte durch Probieren:
Bei mindestens 3 Treffern muss n [mm] \ge [/mm] 3 sein.
n = 3 P = 22,96 %
n = 4 P = 1, 79 %
n = 5 P = 0,12 %
Also müsste n mindestens 4 sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 23.10.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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