Ableitung von X Wurzel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bilde f'(x)
f(x) = [mm] \wurzel[x]{\bruch{1}{x}} [/mm] |
Guten Abend,
Das [mm] \wurzel[x] [/mm] macht mir die Probleme 
Lässt sich das auch so schreiben?
[mm] {\bruch{1}{x}}^\bruch{x}{2} [/mm] = [mm] x^{-\bruch{x}{2}}
[/mm]
Viele Grüße
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Hallo,
> Bilde f'(x)
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> f(x) = [mm]\wurzel[x]{\bruch{1}{x}}[/mm]
> Guten Abend,
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> Das [mm]\wurzel[x][/mm] macht mir die Probleme
>
> Lässt sich das auch so schreiben?
>
> [mm]{\bruch{1}{x}}^\bruch{x}{2}[/mm] = [mm]x^{-\bruch{x}{2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Viele Grüße
Für $a>0$ ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Hier also [mm] $\sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}}$
[/mm]
Das nun per Kettenregal verarzten ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Danke für deine Antwort.
[mm] =e^{-\frac{\ln(x)}{x}} [/mm] --> Kettenregel.
Ist dann? Oder wie wende ich die Kettenregel hier an?
Innere Funktion(x) =- [mm] \bruch{\ln(x)}{x}
[/mm]
Innere Funktion'(x) =
Äußere Funktion(x) = [mm] e^u
[/mm]
Äußere Funktion'(x) = [mm] e^u
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> Danke für deine Antwort.
>
>
>
> [mm]=e^{-\frac{\ln(x)}{x}}[/mm] --> Kettenregel.
>
> Ist dann?
Was bedeutet das? Ich verstehe diese Frage nicht?!?!
> Oder wie wende ich die Kettenregel hier an?
>
> u(x) =- [mm]\bruch{\ln(x)}{x}[/mm]
>
> u'(x) =
>
> v(x) = e
>
> v'(x) = e
Schreibe besser [mm] $v(z)=e^z$ [/mm] und [mm] $v'(z)=e^z$ [/mm] (mit [mm] $z=z(x)=-\frac{\ln(x)}{x}$)
[/mm]
Genauso ist der Ansatz.
Nun berechne $u'(x)$ mit der Quotientenregel und bastel alles zusammen.
Gruß
schachuzipus
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Okay...
mache ich erstmal das...
- $ [mm] \bruch{\ln(x)}{x} [/mm] $ --> Quotientenregel
u = - ln(x)
u'=- [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
v= x
v' = 1
[mm] v^2 [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm] \bruch{{- \bruch{1}{x}} * x - 1 *(-ln(x))}{x^2}
[/mm]
Soweit richtig hoffe ich
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| Aufgabe | Bilde f'(x)
f(x) = $ [mm] \wurzel[x]{\bruch{1}{x}} [/mm] $
f(x)= $ [mm] \sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}} [/mm] $ |
Hallo,
nochmal zur Aufgabe von Gestern...
Quotientenregel:
von [mm] {-\frac{\ln(x)}{x}}
[/mm]
$ [mm] \bruch{{- \bruch{1}{x}} \cdot{} x - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $
- [mm] \bruch{1}{x} \cdot{} [/mm] x = -x
Wenn ich alles vereinfache komm ich auf [mm] {\frac{\ln(x)}{x}} [/mm] Nehme aber an das stimmt nicht? Sonst bin ich ja genauso schlau wie vorher?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Di 02.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheNullplan!
Nein, [mm] $-\bruch{1}{x}*x$ [/mm] ergibt selbstverständlich $-1_$ !
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Danke für deine Antwort!
$ [mm] \bruch{{- \bruch{1}{x}} \cdot{} x - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $
= $ [mm] \bruch{-1 - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $
= [mm] \bruch{2 ln(x)}{x^2}
[/mm]
Hoffe jetzt besser...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Loddar,
> Danke für deine Antwort!
>
> [mm]\bruch{{- \bruch{1}{x}} \cdot{} x - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-1 - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2 ln(x)}{x^2}[/mm]
>
> Hoffe jetzt besser...
Nein. Was ist $-1-1(-a))$ ?
FRED
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$ [mm] \bruch{-1 - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $
= [mm] \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm]
Ah Punkt vor Strich Ohje wenns schon da scheitert... :-( Ist noch zu früh für mich :-D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Di 02.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheNullplan!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So stimmt es nun.
Gruß
Loddar
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Okay. Danke 
$ [mm] \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $
Lässt sich das denn noch weiter vereinfachen?
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Hallo nochmal,
> Okay. Danke
>
> [mm]\bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]
>
> Lässt sich das denn noch weiter vereinfachen?
Nö, ist aber auch nicht nötig.
Wie sieht denn nun die "Gesamtableitung" aus? Das da oben ist ja "nur" die innere Ableitung ...
Schreibe die Ableitung zur Endkontrolle doch mal komplett hin ...
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | $ [mm] \sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}} [/mm] $ |
Okay,
Das nun alles in die Kettenregel einsetzen...
z(x) =- $ [mm] \bruch{\ln(x)}{x} [/mm] $
z'(x) = $ [mm] \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $
v(z) = [mm] e^z
[/mm]
v'(z) = [mm] e^z
[/mm]
f(x)=v(z(x))
[mm] f'(x)=v'(z(x))\cdot{} [/mm] z'(x)
= [mm] e^z *(-\bruch{\ln(x)}{x})* \bruch{-1+ ln(x)}{x^2}
[/mm]
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> [mm]\sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}}[/mm]
> Okay,
>
> Das nun alles in die Kettenregel einsetzen...
>
> z(x) =- [mm]\bruch{\ln(x)}{x}[/mm]
>
> z'(x) = [mm]\bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]
> v(z) = [mm]e^z[/mm]
> v'(z) = [mm]e^z[/mm]
>
> f(x)=v(z(x))
> [mm]f'(x)=v'(z(x))\cdot{}[/mm] z'(x)
>
> = [mm]e^z *(-\bruch{\ln(x)}{x})* \bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]
f'(x) kann ja nicht [mm] e^z [/mm] sein....du musst den ersten Teil noch anstelle von z in den Exponenten setzen..
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Hallo,
Meinst du so?
f'(x) = $ [mm] e^{-\bruch{\ln(x)}{x}} \cdot{}(-\bruch{\ln(x)}{x})\cdot{} \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Meinst du so?
>
> f'(x) = [mm]e^{-\bruch{\ln(x)}{x}} \cdot{}(-\bruch{\ln(x)}{x})\cdot{} \bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]
Nein so: f'(x) = [mm]e^{-\bruch{\ln(x)}{x}}*\bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]
FRED
>
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Hallo Fred,
Achso. Okay
f'(x) = $ [mm] e^{-\bruch{\ln(x)}{x}}\cdot{}\bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $
lässt sich damit dann noch irgendwas rumdoktoren?
Oder wäre die Aufgabe damit gelöst?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Di 02.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Lösung ist so fertig, du kannst nur (musst aber nicht) den ersten Teil wieder als Wurzel schreiben, wie am Anfang.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Okay. Danke an Alle die mir geholfen haben !!!
$ [mm] e^{-\bruch{\ln(x)}{x}}\cdot{}\bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $
$ [mm] \wurzel[x]{\bruch{1}{x}} \cdot{}\bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $
Viele Grüße
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