Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe | Bestimme die Lösung der folgenden Anfangswertaufgabe:
y'=x+y+1, y(0)=0 |
Hallo!
Die Aufgabe habe ich versucht anhand der Vorlesung zu lösen. Offenbar soll die "Substitution" trainiert werden - aber ich habe keinerlei Idee wie man da am Besten vorgeht. Ich habe bereits ne MEnge rumprobiert, habe z:=x+y, z:= y+1 gesetzt, aber immer kam am Ende etwas wie
z'=z+2 oder z'=x+z raus. Da kann ich doch dann schlecht das Verfahren vom Trennen der Veränderlichen anwenden, oder?
Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben? Mich beschäftigt auch die Frage was es mit der Bedingung y(0)=0 auf sich hat. Wann benutze ich das?
LG, Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Olek
> Bestimme die Lösung der folgenden Anfangswertaufgabe:
> y'=x+y+1, y(0)=0
> Hallo!
> Die Aufgabe habe ich versucht anhand der Vorlesung zu
> lösen. Offenbar soll die "Substitution" trainiert werden -
> aber ich habe keinerlei Idee wie man da am Besten vorgeht.
> Ich habe bereits ne MEnge rumprobiert, habe z:=x+y, z:= y+1
> gesetzt, aber immer kam am Ende etwas wie z'=z+2
das ist doch gut, damit kannst du Trennung der Variablen machen, einfach durch z+2 teilen.
Sonst gibts noch z=y-x, dann wirds noch einfacher!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Olek |
Hallo!
Tatsächlich, das funktioniert.
Jetzt habe ich dort [mm] \bruch{dz}{z+2}=dx [/mm] stehen. Daraus mache ich [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z+2} dz}=\integral_{c}^{d}{1 dx}.
[/mm]
Aber woher weiß ich nun welche Grenzen ich einsetzen muß, also wie a,b,c,d aussehen? Und vielleicht kann mir noch jemand sagen wann das y(0)=0 wichtig wird - das wird da ja nicht einfach nur so angegeben worden sein, oder?
MfG, Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Do 26.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo olek
> Hallo!
> Tatsächlich, das funktioniert.
> Jetzt habe ich dort [mm]\bruch{dz}{z+2}=dx[/mm] stehen. Daraus
> mache ich [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z+2} dz}=\integral_{c}^{d}{1 dx}.[/mm]
So ist das falsch!
1.wenn du Grenzen a,b,c,d einsetzt kommen Zahlen und keine Funktionen raus!
2. du hast doch ein Gleichheitszeichen, links und recht steht ne Funktion, also mussen die Grenzen auf jeden Fall dieselben sein!
3. [mm]\integral_{a}^{z(x)}{\bruch{1}{z+2} dz}=\integral_{a}^{x}{1 dx}.[/mm]
dann hast du ln(z(x)+2)-ln(a+2)=x-a
oder ln(z(x)+2)=x +(ln2+a)-a) (ln2+a)-a)=C zusammengefasst, solange du a nicht kennst.
daraus [mm] :z+2=C*e^x
[/mm]
x+y [mm] =C*e^x-2, y=C*e^x-x [/mm] -2 Dies nennt man die allgemeine Lösung der DGL.
Jetzt suchst du aber eine zum Anfangswert y(0)=0
dann setzest du ein: [mm] 0=C*e^0+0-2 [/mm] daraus folgt C=2
wäre y(0)=7 hättest du C=9 usw.
Dgl beschreiben oft Naturvorgänge und Experimente. Da kann man die Gesetzmäßigkeiten in der Dgl. darstellen, kann aber z.Bsp ein Experimen an verschiedenen Orten oder mit verschiedenen Geschwindigkeiten usw. anfangen. Das sind dann die Anfangsbed.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:30 Do 26.10.2006 | | Autor: | Olek |
Hi!
Erstmal vielen Dank für die Antwort zu so später Stunde.
Jetzt hab ich noch 2 Fragen:
1. Setzt du die Konstante =C oder =ln(c)? Ich kenn mich mit dem ln und dem e noch nicht so aus, aber wenn du das =C setzt würde doch dann dor [mm] e^c [/mm] stehen, oder? Hoffe du verstehst was ich meine (klingt für dich vielleicht auch nach Erbsenzählerei, aber solange mir das noch nicht ganz klar ist frag ich da lieber noch mal nach ;)
2. Ich hab mich jetzt auch schon an der zweiten Aufgabe versucht:
[mm] y'=-\bruch{3x+y-2}{x-1}
[/mm]
Wie geht man vor um sinnvoll zu substituieren? Gibt es da bestimmte Tricks oder muß man da einfach nur ein Auge für entwickeln wenn man irgendwann verstanden hat worauf man geau hinaus will?
MfG, Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Do 26.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Olek
so wie ichs geschrieben habe, wärs wohl [mm] e^c [/mm] aber das nenn ich dann wieder um in C, da es ja auf jeden Fall ne Konstante ist!
Ob du übrigens gleich die richtigen Grenzen für dein Anfangswertproblem einsetzest oder am Ende die konstante bestimmst ist egal, ich find es einfacher erst ne allgemeine Lösung zu finden und dan die spezielle. Aber irgendwas müsst ihr doch auch durchgenommen haben.
Mit der Substitution hast du recht, man probiert rum und kriegt nen Blick dafür. Wenn du nichts findest, stell das als neuen thread ein, es gibt hier Leute die das viel besser können als ich! Mir fällt auf Anhieb nix gutes ein.
Gruss leduart
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Hallo Olek,
Hier geht's mit der 2. weiter.
viele Grüße
mathemaduenn
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