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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basis eines Polynoms
Basis eines Polynoms < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Basis eines Polynoms: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mi 11.02.2015
Autor: Molo_Hamburg

Aufgabe
Wir betrachten den folgenden Unterraum des [mm] P_{2} [/mm]

U := [mm] \left\{ p= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \in P_2: a_0 = a_1 + a_2 \right\} [/mm]

und folgende Familie von Vektoren

B := [mm] \left(1 + x, 2 + x + x^2\right) [/mm]

Ist B eine Basis?

Hallo liebe Leute,

ich habe noch ein wenig Probleme Basen von Funktionen bzw. Poynomen zubestimmten.
Mein erstes Problem besteht darin wie ich das LGS aufstelle.

Ich würde die Vektoren
P1: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] aufstellen. Demnach wären sie aber linear abhängig.

Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen! :)

        
Bezug
Basis eines Polynoms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Mi 11.02.2015
Autor: fred97


> Wir betrachten den folgenden Unterraum des [mm]P_{2}[/mm]
>  
> U := [mm]\left\{ p= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \in P_2: a_0 = a_1 + a_2 \right\}[/mm]
>  
> und folgende Familie von Vektoren
>
> B := [mm]\left(1 + x, 2 + x + x^2\right)[/mm]
>  
> Ist B eine Basis?

Von was ????  

Ich nehme an, die Frage lautet so: ist B eine Basis von U ?





>  Hallo liebe Leute,
>  
> ich habe noch ein wenig Probleme Basen von Funktionen bzw.
> Poynomen zubestimmten.
>  Mein erstes Problem besteht darin wie ich das LGS
> aufstelle.
>  
> Ich würde die Vektoren
>  P1: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm] aufstellen.
> Demnach wären sie aber linear abhängig.

Hä ?? Diese Vektoren sind linear unabhängig !





>  
> Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen! :)





Setzen wir [mm] p_1(x):=1 [/mm] + x und [mm] p_2(x):= [/mm] 2 + x + [mm] x^2. [/mm]

Frage 1: gilt [mm] p_1,p_2 \in [/mm] U ?

Frage 2: sind [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] linear unabhängig ?

Frage 3: lässt sich jedes p [mm] \in [/mm] U als Linearkombination von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] darstellen ?

Bei dreimal "ja" ist B eine Basis von U, anderenfalls nicht.

FRED


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