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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Bestimmung Vektoren Euk. Länge
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Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:09 Mo 28/04/2014
Author: gummibaum

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Vektoren der Form [m]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \in \IR^3[/m], die senkrecht auf [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] stehen und die Euklidische Länge [m]\wurzel{20}[/m] haben.

Hallo zusammen,

ich bezeichne den Punkt oder Vektor (?) [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] als [m]\vec y[/m].

Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt null ergeben.

Also gilt: [m]x \perp y \gdw \vec x \vec y = 0[/m]

Damit ist: [m]\vec x \vec y = 0 \gdw \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw a * 1 + b * 2 + 0 * 3 = 0 \gdw a + 2b = 0[/m]

Ich setze die Norm des Vektors gleich [m]\wurzel{20}:[/m]
[m]|| \vec x || = \wurzel{20}[/m]

Also sind die Lösungen: [m]a = 4, b = 2 \vee a = -4, b = 2 \vee a = 4, b = -2[/m]
Es gilt bspw. für a=4, b=2: [m]|| \vec x || = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \wurzel{2^2 + 4^2 + 0^2} = \wurzel{20}[/m]

Wie kann man die Lösungen für a und b als Mengenschreibweise aufschreiben?
Wie kann ich jetzt a und b explizit bestimmen, habe ja hier nur geraten?!

        
Bezug
Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:41 Mo 28/04/2014
Author: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie alle Vektoren der Form [mm]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \in \IR^3[/mm],
> die senkrecht auf [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> stehen und die Euklidische Länge [mm]\wurzel{20}[/mm] haben.
> Hallo zusammen,

>

> ich bezeichne den Punkt oder Vektor (?) [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> als [mm]\vec y[/mm].

In dem Fall geht es eindeutig um einen Vektor im Sinne einer Verschiebung, also nicht um einen Punkt (der Unterschied zwischen Vektoren und Punkten ist in etwa der zwischen Autos und einem VW Golf).

> Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss das
> Skalarprodukt null ergeben.

>

> Also gilt: [mm]x \perp y \gdw \vec x \vec y = 0[/mm]

>

> Damit ist: [mm]\vec x \vec y = 0 \gdw \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw a * 1 + b * 2 + 0 * 3 = 0 \gdw a + 2b = 0[/mm]

>

Ja, das war schonmal genau der richtige erste Schritt. [ok]

> Ich setze die Norm des Vektors gleich [mm]\wurzel{20}:[/mm]
> [mm]|| \vec x || = \wurzel{20}[/mm]

>

> Also sind die Lösungen: [mm]a = 4, b = 2 \vee a = -4, b = 2 \vee a = 4, b = -2[/mm]

>

> Es gilt bspw. für a=4, b=2: [mm]|| \vec x || = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \wurzel{2^2 + 4^2 + 0^2} = \wurzel{20}[/mm]

>
Dein erstes Paar ist falsch (überlege dir selbst, weshalb!).

> Wie kann man die Lösungen für a und b als
> Mengenschreibweise aufschreiben?
> Wie kann ich jetzt a und b explizit bestimmen, habe ja
> hier nur geraten?!

Die zweite Forderung führt auf die Gleichung

[mm] \wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{20} \gdw a^2+b^2=20 [/mm]

Das ergibt zusammen mit deiner Gleichung ein nichtlineares Gleichungssystem, dessen Lösungen man am besten durch Einsetzen der linearen in die quadratische Gleichung erhält.

Die Lösungsmenge schreibst du dann etwa in der Form

[mm] \left \{ \left ( a_1;b_1 \right );\left ( a_2,b_2 \right ); ... \right \} [/mm]

Das ist aber nur ein Vorschlag, das kann man natürlich auch anders machen, Hauptsache die Lösung stimmt. :-)

Gruß, Diophant

 

Bezug
                
Bezug
Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:51 Mo 28/04/2014
Author: gummibaum

Hi, sorry, aber ich verstehe es gerade nicht.

Ich soll alle Vektoren der Form [m]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}[/m] bestimmen, die senkrecht auf [m]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m] stehen und die Euklidische Länge [m]\wurzel{20}[/m] haben.

Versuche mal systematisch ranzugehen.

Gegeben: [m]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}, \vec y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m] (habe ich jetzt einfach [m]\vec y[/m] genannt), [m][/m]

Gesucht: alle a,b mit [m]\vec x \perp \vec y \wedge || \vec x * \vec y = 0 || = \wurzel{20}[/m]
(wobei in der Aufgabenstellung die Rede von Vektoren ist und nicht von Komponenten, a und b sind ja nur Komponenten des Vektors [m]\vec x[/m], außerdem macht die Norm, wie ich sie da oben hingeschrieben habe keinen Sinn, die Norm ergibt eine Zahl... und der Vektor soll ja die Länge 20 haben???)

Es gilt: [m]\vec x \perp \vec y \gdw \vec x * \vec y = 0[/m]

Also: [m]\begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw a*1 + b*2 + 0*3 \gdw a + 2b = 0[/m]

So, ab hier weiß ich leider nicht weiter... kann mir jemand bitte einen Tipp geben?
[m]a + 2b = 0[/m] kann man doch nicht wieder als Vektor schreiben oder?
Also... [m]\begin{pmatrix} a \\ 2b \\ 0 \end{pmatrix}[/m]

Ich blicke da leider nicht mehr durch!

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:00 Mo 28/04/2014
Author: Diophant

Hallo gummibaum,

> Hi, sorry, aber ich verstehe es gerade nicht.

Was meinst du mit es, mein Über-Ich kommt da irgendwie durcheinander...

>

> Ich soll alle Vektoren der Form [mm]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> bestimmen, die senkrecht auf [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> stehen und die Euklidische Länge [mm]\wurzel{20}[/mm] haben.

Ja, ich kann mich dunkel entsinnen, dass davon schon die Rede war.

>

> Versuche mal systematisch ranzugehen.

Das hast du doch längst und schon recht erfolgreich getan???

[mm]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}, \vec y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec y[/mm]),[mm][/img]
>

> Gesucht: alle a,b mit [mm]\vec x \perp \vec y \wedge || \vec x * \vec y = 0 || = \wurzel{20}[/mm]

>
Was soll das denn heißen, weißt du das denn selbst?

> (wobei in der Aufgabenstellung die Rede von Vektoren ist
> und nicht von Komponenten, a und b sind ja nur Komponenten
> des Vektors [mm]\vec x[/mm], außerdem macht die Norm, wie ich sie
> da oben hingeschrieben habe keinen Sinn, die Norm ergibt
> eine Zahl... und der Vektor soll ja die Länge 20
> haben???)

>

> Es gilt: [mm]\vec x \perp \vec y \gdw \vec x * \vec y = 0[/mm]

>

> Also: [mm]\begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw a*1 + b*2 + 0*3 \gdw a + 2b = 0[/mm]

>

> So, ab hier weiß ich leider nicht weiter... kann mir
> jemand bitte einen Tipp geben?

Ich versteh halt nicht so ganz, weshalb du nicht erst einmal mit den bereits gegebenen Tipps weitermachst. Das ist hier wieder so ein Beispiel eines super-chaotisch vorgetragenen Anliegens, wo man für die Klärung einer einfachsten Frage nach 40, 50 Beiträgen vielleicht irgendwann mal zum Ziel kommt. Das könnte man durch gründliche Vorbereitung und aufmerksames Studium gegebener Antworten VERMEIDEN!

> [mm]a + 2b = 0[/mm] kann man doch nicht wieder als Vektor schreiben
> oder?

Wozu sollte das gut sein (die Frage ist ernst gemeint: in der Mathematik sollte man nur Dinge tun, für die man ein Ziel formulieren kann, was man erreichne möchte).

Ich habe dir oben die zweite Gleichung zu deiner angegeben. Du hast zwei Gleichungen und zwei Unbekannte, nämlich a und b, also gehe hin und RECHNE!

Zur Erinnerung (falls dein Mausrad kaputt ist oder etwas in der Art):

Die zweite Gleichung lautet zunächst

[mm] \wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{20} [/mm]

und nach Quadrieren

[mm] a^2+b^2=20 [/mm]


Gruß, Diophant
 

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:56 Mo 28/04/2014
Author: gummibaum

Hi,

ich beginne der Vollständigkeit halber wieder von vorne.

1. Bedingung der Aufgabe: [m]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}[/m] und [m]\vec y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m] müssen senkrecht aufeinander stehen.

2. Bedingung der Aufgabe: Euklidische Länge (Norm) von [m]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}[/m] muss [mm] \wurzel{20} [/mm] betragen.

Es gilt: [m]\vec x \perp \vec y \gdw \vec x * \vec y = 0[/m]

Also: [m]\begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw a + 2b = 0[/m]

Somit gilt: [m]\left| \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \wurzel{20} \gdw \wurzel{a^2+b^2+0^2} = \wurzel{20} \Rightarrow a^2 + b^2 = 20[/m]

Die beiden o.g. Bedingungen müssen erfüllt werden, also löse ich das Ergebnis des Skalarprodukts jeweils nach a und b auf setze diese jeweils in die untere Gleichung ein, damit ich nur noch eine unbekannte Variable habe, damit erhalte ich: [m]a^2 = 16[/m] und [m]b^2 = 4[/m]

Die Probe (Erfüllung beider Bedingungen bzw. Gleichungen) zeigt, dass folgende Lösungen in Betracht kommen.

Also lautet die Lösungsmenge [m]\IL := \left\{(a, b) \, | \, (-4, 2), (-4, -2)} \right\}[/m]


Somit lauten die gesuchten Vektoren: [m]\vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/m] und [m]\vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]

Probe wollte ich jetzt hier nicht hinschreiben ;)

Ist das alles korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:53 Mo 28/04/2014
Author: Marcel

Hallo Gummibaum,

> Hi,
>  
> ich beginne der Vollständigkeit halber wieder von vorne.

warum? Aber es ist okay, dann hat man nochmal einen besseren Überblick!
(Bei solchen kleinen Bedingungen hätte mir persönlich durchaus ein Link
auf die Ursprungsfrage gereicht, oder zitiere doch einfach die Aufgabe
nochmal!)

> 1. Bedingung der Aufgabe: [m]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
> und [m]\vec y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
> müssen senkrecht aufeinander stehen.
>  
> 2. Bedingung der Aufgabe: Euklidische Länge (Norm) von
> [m]\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}[/m] muss
> [mm]\wurzel{20}[/mm] betragen.
>  
> Es gilt: [m]\vec x \perp \vec y \gdw \vec x * \vec y = 0[/m]
>  
> Also: [m]\begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw a + 2b = 0[/m]

[ok]

Das Folgende hat nun (eigentlich nur noch) damit zu tun, dass

    [mm] $\|\vec{x}\|=\sqrt{20}$ [/mm] (meinetwegen schreibe auch [mm] $|\vec{x}|$ [/mm] linkerhand)

gelten soll:

> Somit gilt: [m]\left| \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \wurzel{20} \gdw \wurzel{a^2+b^2+0^2} = \wurzel{20} \Rightarrow a^2 + b^2 = 20[/m]
>  
> Die beiden o.g. Bedingungen müssen erfüllt werden, also
> löse ich das Ergebnis des Skalarprodukts jeweils nach a
> und b auf setze diese jeweils in die untere Gleichung ein,
> damit ich nur noch eine unbekannte Variable habe, damit
> erhalte ich: [m]a^2 = 16[/m] und [m]b^2 = 4[/m]

Also, von dem, was Du nun sagst, sagst Du:

    [mm] $\vec{x} \perp \vec{y}$ [/mm] UND [mm] $\|\vec{x}\|=\sqrt{20}$ [/mm]

    [mm] $\Longrightarrow$ [/mm]

    [mm] $a+2b=0\,$ [/mm] und [mm] $a^2+b^2=20\,.$ [/mm]

Das sind notwendige Bedigungen, und nun sagst Du, dass daraus notwendig
weiterhin folgt

    [mm] $a=-2b\,$ [/mm] und damit [mm] $5b^2=20$ [/mm] (bzw. äquivalent: [mm] $b^2=4\,$). [/mm]

Ist Dir klar, was Du bisher rausgefunden hast? Du weißt bisher:
Wenn für

    [mm] $\vec{x}=\vektor{a\\b\\0}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}=\vektor{1\\2\\3}$ [/mm]

die beiden Bedigungen

    [mm] $\vec{x} \perp \vec{y}$ [/mm] und [mm] $|\vec{x}|=\sqrt{20}$ [/mm]

erfüllt sein sollen, dann kann für [mm] $\vec{x}$ [/mm] nur

    [mm] $\vec{x} \in M:=\left\{\vektor{-4\\2\\0},\;\vektor{4\\-2\\0}\right\}$ [/mm]

gelten.

> Die Probe (Erfüllung beider Bedingungen bzw. Gleichungen)
> zeigt, dass folgende Lösungen in Betracht kommen.

Okay, ich formuliere es mal anders:
Ist mit

    [mm] $\vec{y}:=\vektor{1\\2\\4}$ [/mm]

nun

    [mm] $\IL:=\left\{\vec{x}:\;\; \vec{x}=\vektor{a\\b\\0} \text{ mit: }\; \vec{x} \perp \vec{y} \text{ und }|\vec{x}|=\sqrt{20}\right\}\,,$ [/mm]

so haben wir bisher

    [mm] $\IL \subseteq [/mm] M$

erkannt. Deine "Probe" zeigt nun eigentlich:
Für alle

     [mm] $\vec{m} \in [/mm] M$

gilt

     [mm] $\vec{m} \in \IL\,,$ [/mm]

und damit

    [mm] $M=\IL\,.$ [/mm]
  

> Also lautet die Lösungsmenge [m]\IL := \left\{(a, b) \, | \, (-4, 2), (-4, -2)} \right\}[/m]

Die rechte Seite ist unsinnig: Wenn Du [mm] $\IL=\{(a,b):\;\;\ldots\}$ [/mm] schreibst (wobei ich
mal $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] annehme), so wäre [mm] $\IL \subseteq \IR^\red{2}\,.$ [/mm]

Abgesehen davon wäre aber so [mm] $\IL=\IR^2\,,$ [/mm] denn was ist die Menge
aller $(a,b) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] die "$(-4,2)$ und $(-4,-2)$" erfüllen... da steht ja gar
keine Bedigung an [mm] $(a,b)\,.$ [/mm]
Mal anders gesagt:
Die Menge aller reellen Zahlen, die "das Haus" erfüllen:

    [mm] $\{r \in \IR:\;\;r \text{ erfüllt "das Haus"} \}$ [/mm]

sind nun mal alle reellen Zahlen (und da wäre ja noch der 'Zusatz', dass
[mm] $r\,$ [/mm] hier 'sprachlich' an etwas gekoppelt erscheint - bei Dir ist oben noch
nicht mal solch' eine Kopplung der [mm] $(a,b)\,$ [/mm] zu sehen).

Das, was Du schreiben willst, kann man so schreiben:

    [mm] $\IL=\left\{\vektor{a\\b\\0}:\;\;\vektor{a\\b\\0}\red{\;=\;}\vektor{-4\\2\\0} \text{ oder }\vektor{a\\b\\0}\red{\;=\;}\vektor{4\\-2\\0}\right\}\,,$ [/mm]

oder Du schreibst einfach rechts das hin, was ich als [mm] $M\,$ [/mm] definiert habe!

> Somit lauten die gesuchten Vektoren: [m]\vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
> und [m]\vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]

Ne, hier steht zweimal der gleiche Vektor. Du kannst es meinetwegen aber
auch so formulieren:
Wenn wir (genau) alle gesuchten [mm] $\vec{x}$ [/mm] aufzählen:

    [mm] $\vec{x}=\vektor{-4\\2\\0}$ [/mm] oder [mm] $\vec{x}=\red{\;-\;}\vektor{-4\\2\\0}$ $\left(\text{der letzte Vektor ist auch }=\vektor{4\\-2\\0}\right)$ [/mm]

> Probe wollte ich jetzt hier nicht hinschreiben ;)

Na, das kann man auch schnell im Kopf nachrechnen... Der Vollständigkeit
wegen gehört es aber eigentlich auch zur Aufgabe, das kurz vorzurechnen
(sind ja nur maximal 4 kleine Zeilchen...). Mir egal, aber wenn Dir jemand
Punkte auf die Aufgabe gibt: Vorrechnen (und wenn es auch noch so leicht
ist).
  

> Ist das alles korrekt?

Logisch sicher (i.W.) größtenteils okay, aber formal sind da einige Mängel.
Frage bitte nach, wenn Dir formal noch etwas unklar geblieben sein sollte...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:23 Mo 28/04/2014
Author: Marcel

Hi Diophant,

Du hast bei

    [mm] $\sqrt{a^2+b^2}=20$ [/mm]

rechterhand vergessen, dass da noch ein Wurzelzeichen steht (Länge des
Vektors soll [mm] $\red{\sqrt{\black{20}}}$ [/mm] sein):

    [mm] $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{20}\,.$ [/mm]

Beim darauffolgenden Quadrieren wirkt sich das dann auch aus!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung Vektoren Euk. Länge: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:42 Di 29/04/2014
Author: Diophant

Hallo Marcel,


> Hi Diophant,

>

> Du hast bei

>

> [mm]\sqrt{a^2+b^2}=20[/mm]

>

> rechterhand vergessen, dass da noch ein Wurzelzeichen steht
> (Länge des
> Vektors soll [mm]\red{\sqrt{\black{20}}}[/mm] sein):

>

> [mm]\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{20}\,.[/mm]

>

> Beim darauffolgenden Quadrieren wirkt sich das dann auch

Ja stimmt, das werde ich noch ausbessern. Nach wie vor will mir aber nicht in den Kopf, warum jemand, der eine Frage hat, auf die er eine Antwort sucht: weshalb so jeman d sich nicht die Mühe machen sollte, diese Frage präzise zu formulieren...

Gruß, Diophant

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