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Billinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 So 06.06.2004
Autor: Jessica

Hallo zusammen,

bei der Aufgabe:

Es seien K ein Körper und [mm]n \in \IN [/mm], und es sei  [mm] \Phi : K^{n\times n}\times K^{n\times n} \rightarrow K [/mm] definiert durch [mm] \Phi (A,B):=Spur(AB)[/mm] für [mm]A,B \in K^{n\times n}[/mm].
Zeige: [mm]\Phi [/mm] ist eine nicht ausgeartete, symmetrische Billinearform auf [mm]^K^{n\times n} [/mm]

Dazu:

Ich habe schon gezeigt, das [mm] \Phi[/mm] eine symmetrische Bllinarform ist, indem ich folgendes gezeigt habe:

[mm] \Phi (sA+A',B)=s\Phi (A,B)+\Phi (A',B)[/mm]

und

[mm]\Phi (A,sB+B')=s\Phi (A,B)+\Phi (A,B')[/mm]

wobei [mm]A, A',B,B' \in K^{n\times n}, s\in K [/mm] gilt.

[mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine Billinearform

Weiterhin gilt:

[mm] \Phi (A,B)=\Phi (B,A)[/mm]

[mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine symmetrische Billinearform.

Jedoch beim Beweis, dass [mm] \Phi [/mm] nicht ausgeartet ist hänge ich.

Ich muss ja zeigen, dass, wenn [mm] \Phi (A,B)=0[/mm] ist, für alle [mm]A\in K^{n\times n}[/mm]
[mm]B=\vec 0[/mm] ist. ([mm]\vec 0[/mm] soll Nullmatrix sein)

Wenn [mm] \Phi (A,B)=0=Spur(AB)[/mm].
Hatte mir überlegt, das man folgendes für die Spur(AB) schreiben kann:
[mm] Spur(AB)=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a_{ji}b_{ij}[/mm]

Aber ich weiß nicht wie ich folgern kann, dass dann [mm]B=\vec 0[/mm] gilt.

Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben wie ich das zeigen könnte.

Bis denne Jessica.

(Das habe ich selber abgetippt. [happy] Mein Haussklave hat heute einen "bezahlten" Urlaubstag! [abgelehnt] )

        
Bezug
Billinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 So 06.06.2004
Autor: Marc

Hallo Jessica,

> Es seien K ein Körper und [mm]n \in \IN [/mm], und es sei  [mm]\Phi : K^{n\times n}\times K^{n\times n} \rightarrow K [/mm] definiert durch [mm]\Phi (A,B):=Spur(AB)[/mm] für [mm]A,B \in K^{n\times n}[/mm].
>  Zeige: [mm]\Phi [/mm] ist eine nicht ausgeartete, symmetrische Billinearform auf [mm]^K^{n\times n} [/mm]
>
> Dazu:
>
> Ich habe schon gezeigt, das [mm]\Phi[/mm] eine symmetrische Bllinarform ist, indem ich folgendes gezeigt habe:
>  
> [mm]\Phi (sA+A',B)=s\Phi (A,B)+\Phi (A',B)[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]\Phi (A,sB+B')=s\Phi (A,B)+\Phi (A,B')[/mm]
>  
> wobei [mm]A, A',B,B' \in K^{n\times n}, s\in K [/mm] gilt.
>  
> [mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine Billinearform
>  
> Weiterhin gilt:
>  
> [mm]\Phi (A,B)=\Phi (B,A)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine symmetrische Billinearform.

[ok] (natürlich nur, wenn dein Beweisganz korrekt ist).
  

> Jedoch beim Beweis, dass [mm]\Phi [/mm] nicht ausgeartet ist hänge ich.
>  
> Ich muss ja zeigen, dass, wenn [mm]\Phi (A,B)=0[/mm] ist, für alle [mm]A\in K^{n\times n}[/mm]
>  [mm]B=\vec 0[/mm] ist. ([mm]\vec 0[/mm] soll Nullmatrix sein)

Das ist etwas mißverständlich formuliert:
Du mußt das zeigen:
Wenn [mm]\Phi (A,B)=0[/mm] für alle [mm]A\in K^{n\times n}[/mm], dann folgt $B=0$.
  

> Wenn [mm]\Phi (A,B)=0=Spur(AB)[/mm].
> Hatte mir überlegt, das man folgendes für die Spur(AB) schreiben kann:
> [mm]Spur(AB)=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a_{ji}b_{ij}[/mm]

Sieht gut aus.

> Aber ich weiß nicht wie ich folgern kann, dass dann [mm]B=\vec 0[/mm] gilt.
>  
> Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben wie ich das zeigen könnte.

Du könntest ja auch die Umkehrung zeigen:
[mm] $B\neq0\ \Rightarrow\$ [/mm] Es gibt ein [mm] $A\in K^{n\times n}$, [/mm] so dass [mm]\Phi (A,B)\neq0[/mm].
Das dürfte dann recht einfach zu zeigen sein...

> Bis denne Jessica.
>
> (Das habe ich selber abgetippt. [happy] Mein Haussklave hat heute einen "bezahlten" Urlaubstag! [abgelehnt] )

Wieso bezahlter Urlaubstag? Sklaverei ist auch nicht mehr das, was sie einmal war.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
Billinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 So 06.06.2004
Autor: Jessica

Lieber marc,

das [mm] B\neq0\ \Rightarrow\ [/mm] Es gibt ein[mm]A\in K^{nxn}[/mm] , so dass [mm]\Phi(A,B)\ne 0[/mm] gilt, ist mir klar und auch eigentlich trivial. Nur ich stehe da auf dem Schlauch. ICh weiß nicht wie ich das aufschreiben soll. Wahrscheinlich bin ich vom eintippen so überfordert;-) Könntest du mir da noch weiter helfen?

Bis denne Jessica

(Christa: Stimmt ja gar nicht! Ich tipp wieder. Von wegen ein GANZER freier Tag...)



Bezug
                        
Bezug
Billinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 So 06.06.2004
Autor: Marc

Dear Master and Slave,

> das [mm]B\neq0\ \Rightarrow\[/mm] Es gibt ein[mm]A\in K^{nxn}[/mm] , so dass
> [mm]\Phi(A,B)\ne 0[/mm] gilt, ist mir klar und auch eigentlich
> trivial. Nur ich stehe da auf dem Schlauch. ICh weiß nicht
> wie ich das aufschreiben soll. Wahrscheinlich bin ich vom
> eintippen so überfordert;-) Könntest du mir da noch weiter
> helfen?

Vielleicht so:
Wenn [mm] $B\not=0$, [/mm] dann gibt es doch einen Eintrag [mm] $b_{ij}\not=0$. [/mm]
Jetzt würde ich die Matrix A so geschickt wählen, dass der Eintrag [mm] $b_{ij}$ [/mm] auf jeden Fall in die Spur von $A*B$ einfließt, und dort auch möglichst alleine steht...
  
Viel Spaß beim Knobeln :-) Wofür sind denn Haussklaven da? ;-)

Marc

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