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Forum "Integralrechnung" - Bogenlänge berechnen
Bogenlänge berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Do 21.05.2015
Autor: bobbybrown

Aufgabe
Ermitteln Sie die Länge L des Stücks der Parabel [mm] y=x^2-1, [/mm]
das unterhalb der x-Achse verläuft.

Grenzen für das integral sind schnell gefunden 1 und -1.
Für die länge benutze ich die folgende formel:

[mm]\integral_{b}^{a} \wurzel{1+ (f'(x))^2} dx[/mm]
dann erhalte ich [mm]\integral_{-1}^{1} \wurzel{1+ 4x^2} dx [/mm]
Das würde ich  substtituieren  [mm] u=4x^2+1 [/mm] -> dx = 1/(8x) du
und einsetzten
[mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{x}du[/mm]
dann [mm] u=4x^2+1 [/mm] nach x umstellen x= [mm]\wurzel{\bruch{u-1}{4}} [/mm]  und für x einsetzten in die gleichung
[mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{\wurzel{\bruch{u-1}{4}} }du[/mm]

und jetzt wird das integral für mich unlösbar
Kennt jemand einen weg dieses integral auch mit sinh zu schreiben???

laut wolfram alpha [mm] (https://www.wolframalpha.com/input/?i=arc+length+of+y%3Dx^2-1+from+x%3D-1+to+1) [/mm] gibt es noch eine lösung mit sinh die ich aber nicht nachvollziehen kann.



        
Bezug
Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Do 21.05.2015
Autor: MathePower

Hallo bobbybrown,

> Ermitteln Sie die Länge L des Stücks der Parabel
> [mm]y=x^2-1,[/mm]
>  das unterhalb der x-Achse verläuft.
>  Grenzen für das integral sind schnell gefunden 1 und -1.
>  Für die länge benutze ich die folgende formel:
>  
> [mm]\integral_{b}^{a} \wurzel{1+ (f'(x))^2} dx[/mm]
> dann erhalte ich [mm]\integral_{-1}^{1} \wurzel{1+ 4x^2} dx[/mm]
> Das würde ich  substtituieren  [mm]u=4x^2+1[/mm] -> dx = 1/(8x) du
>  und einsetzten
> [mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{x}du[/mm]
> dann [mm]u=4x^2+1[/mm] nach x umstellen x= [mm]\wurzel{\bruch{u-1}{4}}[/mm]  
> und für x einsetzten in die gleichung
>  [mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{\wurzel{\bruch{u-1}{4}} }du[/mm]
>
> und jetzt wird das integral für mich unlösbar
>  Kennt jemand einen weg dieses integral auch mit sinh zu
> schreiben???
>  
> laut wolfram alpha
> [mm](https://www.wolframalpha.com/input/?i=arc+length+of+y%3Dx^2-1+from+x%3D-1+to+1)[/mm]
> gibt es noch eine lösung mit sinh die ich aber nicht
> nachvollziehen kann.
>  


Bei Wolfram Alpha wurde

[mm]x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right)[/mm]

substituiert.

Hier ist dann [mm]dx=\bruch{1}{2}\cosh\left(u\right) \ du[/mm]

Weiter  ist

[mm]1+\sinh^{2}\left(u\right)=\cosh^{2}\left(u\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Do 21.05.2015
Autor: bobbybrown

wieso kann ich $ [mm] x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right) [/mm] $ substituieren ich dachte man darf nur ersetzten was man auch im integral stehen hat oder sind $ [mm] x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right) [/mm] $ und [mm] 4x^2+1 [/mm] das gleiche

Bezug
                        
Bezug
Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:14 Fr 22.05.2015
Autor: fred97


> wieso kann ich [mm]x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right)[/mm]
> substituieren ich dachte man darf nur ersetzten was man
> auch im integral stehen hat

Da irrst Du. Wer hat Dir so etwas gesagt ?




>  oder sind
> [mm]x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right)[/mm] und [mm]4x^2+1[/mm] das gleiche

Nein.

FRED


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