www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Char. Polynom von Produkten
Char. Polynom von Produkten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Char. Polynom von Produkten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Di 08.06.2010
Autor: Faithless

Aufgabe
Es seien A,B [mm] \in K^{nxn}, [/mm] sowie S,T [mm] \in GL_n(K), [/mm] sodass
TAS = [mm] \pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] =: N,
wobei [mm] E_r \in K^{rxr} [/mm] die Einheitsmatrix ist [mm] (r\len). [/mm] Zeigen Sie:
a) AN und NA besitzen das gleiche charakteristische Polynom.
b) AB und BA besitzen das gleiche charakteristische Polynom.

hallo zusammen!

aufgabe a ist recht einfach zu zeigen.

aber bei aufgabe b hab ich zwar tausende ansatzideen, aber alle bringen mich zu einem punkt an dem ich nichtmehr weiter komme

ich habe versucht die basis derart zu wechseln, dass B zur einheitsmatrix wird, und man dann mit aufgabenteil a) argumentieren kann.
aber irgendwie will das nich so ganz klappen :(

hab auch verscuht das irgendwie mit induktion zu lösen, komm da aber immer zu einer indexschlacht die so übel krass is dass das nich gut sein kann :D
(versuche dann dann über linearität der determinante und entwicklung nach der letzten zeile auf ein ergebnis zu kommen.... nicht ganz erfolgreich)

wie zur hölle geh ich da richtig dran?

        
Bezug
Char. Polynom von Produkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Fr 11.06.2010
Autor: felixf

Moin!

> Es seien A,B [mm]\in K^{nxn},[/mm] sowie S,T [mm]\in GL_n(K),[/mm] sodass
>  TAS = [mm]\pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] =: N,

Kann es sein, dass $N = T B S$ sein soll und nicht $T A S$?

>  wobei [mm]E_r \in K^{rxr}[/mm] die Einheitsmatrix ist [mm](r\len).[/mm]
> Zeigen Sie:
>  a) AN und NA besitzen das gleiche charakteristische
> Polynom.

Oder das hier $B N$ und $N B$ stehen soll?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Char. Polynom von Produkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Sa 12.06.2010
Autor: Faithless

eigentlich nicht. funktioniert ja auch so
und wurde beim korrigieren der aufgabenstellung auch so beibehalten also scheints wohl richtig zu sein

Bezug
        
Bezug
Char. Polynom von Produkten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Sa 12.06.2010
Autor: Wredi

zu b)

A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]
B = [mm] \pmat{ e & f \\ g & h } [/mm]

A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] = [mm] \pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & fc+dh } [/mm]

det(AB- [mm] \lambda E_r) [/mm] = [mm] \vmat{ ae+bg-\lambda & af+bh\\ ce+dg & fc+dh-\lambda } [/mm]
= [mm] (ae+bg-\lambda) \cdot (fc+dh-\lambda) -(af+bh)\cdot(ce+dg) [/mm]
= [mm] aefc+aedh-ae\lambda+bgfc+bgdh-bg\lambda-fc\lambda-dh\lambda+\lambda^2-afce-afdg-bhce-bhdg [/mm]
= [mm] \lambda^2-ae\lambda-bg\lambda-fc\lambda-dh\lambda+aefc+aedh+bgfc+bgdh-afce-afdg-bhce-bhdg [/mm]
= [mm] \lambda^2+(-ae-bg-fc-dh)\lambda+(aedh+bgfc-afdg-bhce) [/mm]

Nun das ganze für [mm] A\cdotB [/mm]

B [mm] \cdot [/mm] A =  [mm] \pmat{ e & f \\ g & h } \cdot \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ ae+fc &be+fd \\ ga+ch & bg+dh } [/mm]

det(BA- [mm] \lambda E_r) [/mm] = [mm] \vmat{ ae+fc-\lambda & be+fd\\ ga+ch & bg+dh-\lambda } [/mm]
= [mm] (ae+fc-\lambda) \cdot (bg+dh-\lambda) -(be+fd)\cdot(ga+ch) [/mm]
= [mm] aebg+aedh-ae\lambda+bgfc+fcdh-fc\lambda-bg\lambda-dh\lambda+\lambda^2-bega-bech-fdga-fdch [/mm]
= [mm] \lambda^2-ae\lambda-fc\lambda-bg\lambda-dh\lambda+aebg+aedh+bgfc+fcdh-bega-bech-fdga-fdch [/mm]
= [mm] \lambda^2+(-ae-fc-bg-dh)\lambda+(aedh+bgfc-bech-fdga) [/mm]

somit sind die charakteristische Polynome gleich q.e.d.

Vielleichts interessiert idhc das noch.

MfG
Wredi

Bezug
                
Bezug
Char. Polynom von Produkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 12.06.2010
Autor: felixf

Hallo,

> A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>  B = [mm]\pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]

du rechnest das ganze also mit $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen nach? Damit hast du das nur fuer $n = 2$ gezeigt, aber nicht fuer beliebiges $n$.

Ein Beweis fuer allgemeines $n$ findet sich []hier.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Char. Polynom von Produkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 Sa 12.06.2010
Autor: Wredi

Tatsache, das hatte ich ganz übersehen, dann bitte ich vielmals um Entschuldigung.

MfG
Wredi> Hallo,


Bezug
                                
Bezug
Char. Polynom von Produkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 Sa 12.06.2010
Autor: ullim

Hi,

ich hab es zwar im Moment noch nicht ausgerechnet, aber man kann ja die Matrizen so in Untermatrizen zerlegen, dass jede Matrix als eine Matrix mit 4 Elementen beschrieben wird, wobei die einzelnen Elemente wieder Matrizen entsprechender Ordnung sind.

Wenn man diese Rechnung dann nochmal nachvollzieht und berücksichtigt, dass Matrizen Multiplikationen nicht kommutativ sind, kommt man vielleicht auch zum Ergebniss.

Die Vorbereitungen dazu hat man ja.



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de