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Aufgabe | Es seien A,B [mm] \in K^{nxn}, [/mm] sowie S,T [mm] \in GL_n(K), [/mm] sodass
TAS = [mm] \pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] =: N,
wobei [mm] E_r \in K^{rxr} [/mm] die Einheitsmatrix ist [mm] (r\len). [/mm] Zeigen Sie:
a) AN und NA besitzen das gleiche charakteristische Polynom.
b) AB und BA besitzen das gleiche charakteristische Polynom. |
hallo zusammen!
aufgabe a ist recht einfach zu zeigen.
aber bei aufgabe b hab ich zwar tausende ansatzideen, aber alle bringen mich zu einem punkt an dem ich nichtmehr weiter komme
ich habe versucht die basis derart zu wechseln, dass B zur einheitsmatrix wird, und man dann mit aufgabenteil a) argumentieren kann.
aber irgendwie will das nich so ganz klappen :(
hab auch verscuht das irgendwie mit induktion zu lösen, komm da aber immer zu einer indexschlacht die so übel krass is dass das nich gut sein kann :D
(versuche dann dann über linearität der determinante und entwicklung nach der letzten zeile auf ein ergebnis zu kommen.... nicht ganz erfolgreich)
wie zur hölle geh ich da richtig dran?
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:03 Fr 11.06.2010 | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien A,B [mm]\in K^{nxn},[/mm] sowie S,T [mm]\in GL_n(K),[/mm] sodass
> TAS = [mm]\pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] =: N,
Kann es sein, dass $N = T B S$ sein soll und nicht $T A S$?
> wobei [mm]E_r \in K^{rxr}[/mm] die Einheitsmatrix ist [mm](r\len).[/mm]
> Zeigen Sie:
> a) AN und NA besitzen das gleiche charakteristische
> Polynom.
Oder das hier $B N$ und $N B$ stehen soll?
LG Felix
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 14:25 Sa 12.06.2010 | Autor: | Faithless |
eigentlich nicht. funktioniert ja auch so
und wurde beim korrigieren der aufgabenstellung auch so beibehalten also scheints wohl richtig zu sein
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Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 15:14 Sa 12.06.2010 | Autor: | Wredi |
zu b)
A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ e & f \\ g & h }
[/mm]
A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] = [mm] \pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & fc+dh }
[/mm]
det(AB- [mm] \lambda E_r) [/mm] = [mm] \vmat{ ae+bg-\lambda & af+bh\\ ce+dg & fc+dh-\lambda } [/mm]
= [mm] (ae+bg-\lambda) \cdot (fc+dh-\lambda) -(af+bh)\cdot(ce+dg) [/mm]
= [mm] aefc+aedh-ae\lambda+bgfc+bgdh-bg\lambda-fc\lambda-dh\lambda+\lambda^2-afce-afdg-bhce-bhdg [/mm]
= [mm] \lambda^2-ae\lambda-bg\lambda-fc\lambda-dh\lambda+aefc+aedh+bgfc+bgdh-afce-afdg-bhce-bhdg [/mm]
= [mm] \lambda^2+(-ae-bg-fc-dh)\lambda+(aedh+bgfc-afdg-bhce)
[/mm]
Nun das ganze für [mm] A\cdotB
[/mm]
B [mm] \cdot [/mm] A = [mm] \pmat{ e & f \\ g & h } \cdot \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ ae+fc &be+fd \\ ga+ch & bg+dh }
[/mm]
det(BA- [mm] \lambda E_r) [/mm] = [mm] \vmat{ ae+fc-\lambda & be+fd\\ ga+ch & bg+dh-\lambda } [/mm]
= [mm] (ae+fc-\lambda) \cdot (bg+dh-\lambda) -(be+fd)\cdot(ga+ch) [/mm]
= [mm] aebg+aedh-ae\lambda+bgfc+fcdh-fc\lambda-bg\lambda-dh\lambda+\lambda^2-bega-bech-fdga-fdch
[/mm]
= [mm] \lambda^2-ae\lambda-fc\lambda-bg\lambda-dh\lambda+aebg+aedh+bgfc+fcdh-bega-bech-fdga-fdch
[/mm]
= [mm] \lambda^2+(-ae-fc-bg-dh)\lambda+(aedh+bgfc-bech-fdga)
[/mm]
somit sind die charakteristische Polynome gleich q.e.d.
Vielleichts interessiert idhc das noch.
MfG
Wredi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 15:20 Sa 12.06.2010 | Autor: | felixf |
Hallo,
> A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> B = [mm]\pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
du rechnest das ganze also mit $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen nach? Damit hast du das nur fuer $n = 2$ gezeigt, aber nicht fuer beliebiges $n$.
Ein Beweis fuer allgemeines $n$ findet sich hier.
LG Felix
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 15:53 Sa 12.06.2010 | Autor: | Wredi |
Tatsache, das hatte ich ganz übersehen, dann bitte ich vielmals um Entschuldigung.
MfG
Wredi> Hallo,
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 16:14 Sa 12.06.2010 | Autor: | ullim |
Hi,
ich hab es zwar im Moment noch nicht ausgerechnet, aber man kann ja die Matrizen so in Untermatrizen zerlegen, dass jede Matrix als eine Matrix mit 4 Elementen beschrieben wird, wobei die einzelnen Elemente wieder Matrizen entsprechender Ordnung sind.
Wenn man diese Rechnung dann nochmal nachvollzieht und berücksichtigt, dass Matrizen Multiplikationen nicht kommutativ sind, kommt man vielleicht auch zum Ergebniss.
Die Vorbereitungen dazu hat man ja.
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