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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Fr 03.02.2006 | | Autor: | alexus |
| Aufgabe | Finde die Lösung der Differentialgleichung
y''(t)-y'(t)-12y(t)=0
welche die Anfangsbedingungen y(0)=0, y'(0)=1 erfüllt. |
Hi
Diese Aufgabe soll ich lösen, die Striche nach dem y bedeuten jeweils die wievielte Ableitung gemeint ist. Hab nur das Problem, dass ich noch nie in meinem Leben ne DGL gelöst hab und dass ich auch nicht weiß, was die Anfangsbedingungen mir bringen sollen.
alexus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Alexus,
wenn du noch nie was mit DGLen zu tun gehabt hast, will ich dich auch gar nicht mit Theorie belasten, sondern dir einen direkten Hinweis zum Lösen dieser Aufgabe geben:
Man löst dies, indem man annimmt, dass die Funktion [mm] $y(t)=\exp{(at)}$ [/mm] die DGL erfüllt.
Bestimme mal zu [mm] $y(t)=\exp{(at)}$ [/mm] die Ableitungen $y'(t)$ und $y''(t)$. Setz dies anschließend in die DGL ein. Für welche [mm] $a\in\IR$ [/mm] ist die Gleichung erfüllt? (Das läuft auf das Lösen einer quadratischen Gleichung hinaus.)
Du müsstest zwei Werte erhalten: [mm] $a_{1}=-3$ [/mm] und [mm] $a_{2}=4$.
[/mm]
D.h. sowohl [mm] $y(t)=\exp{(-3t)}$, [/mm] als auch [mm] $y(t)=\exp{(4t)}$, [/mm] als auch [mm] $y(t)=C_{1}\exp{(-3t)}$ [/mm] (wobei [mm] $C_{1}\in\IR$ [/mm] irgendeine beliebige Konstante ist), als auch [mm] $y(t)=C_{2}\exp{(4t)}$, [/mm] wobei [mm] $C_{2}\in\IR$ [/mm] als auch [mm] $y(t)=C_{1}\exp{(-3t)}+C_{2}\exp{(4t)}$ [/mm] sind Lösungen der DGL (Überprüf das mal, indem du diese Funktionen ableitest und in die DGL einsetzt!).
Entscheidend ist aber folgendes: Du sollst die Lösung finden, für die die Anfangsbedingungen gelten, also $y(0)=0$ und $y'(0)=1$.
Betrachte jetzt mal die "komplizierteste" Lösung [mm] $y(t)=C_{1}\exp{(-3t)}+C_{2}\exp{(4t)}$. [/mm] Du kannst die Konstanten [mm] $C_{1}$ [/mm] und [mm] $C_{2}$ [/mm] so anpassen, dass $y(t)$ die DGL löst und die Anfangsbedingungen erfüllt. Und das geht so:
Berechne mal $y(0)$ und $y'(0)$. Du weißt, es muss gelten $y(0)=0$ und $y'(0)=1$. D.h. du erhältst ein Gleichungssystem, dass du nach [mm] $C_{1}$ [/mm] und [mm] $C_{2}$ [/mm] auflösen musst.
Am Ende müsstest du auf [mm] y(t)=-\bruch{1}{7}\exp{(-3t)}+\bruch{1}{7}\exp{(4t)} [/mm] kommen!
Ich hoffe, das war jetzt einigermaßen verständlich erklärt...
Frag bitte nochmal nach, wenn du irgendwo stecken bleibst, ok?
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Sa 04.02.2006 | | Autor: | alexus |
Hi Yuma, habe gerade erst deine Antwort gesehn und alles sofort verstanden und auf Anhieb das richtige rausgekriegt. Möchte mich bei dir für die gute Erklärung bedanken.
alexus
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