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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1.ter Ordnung
DGL 1.ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 1.ter Ordnung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Do 28.07.2005
Autor: trinkMilch

Hi,

habe hier eine DGL 1.ter Ordnung, von der ich die allgemeine Lösung
nicht hinbekomme.

[mm] e^{-x}-e^{x}-e^{-x}y+e^{-x}y'=0 [/mm]

ich würde nun erstmal die ganze gleichung durch [mm] e^{-x} [/mm] teilen

=> 1 - [mm] e^{2x} [/mm] - y + y' = 0

=> y' - y = [mm] e^{2x} [/mm] - 1

aber weiter komme ich einfach nicht :(

Vielen Dank fuer die Hilfe, bis bald :D
cu...
        
Bezug
DGL 1.ter Ordnung: zunächst homogene Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Do 28.07.2005
Autor: Loddar

Hallo trinkMilch!


> [mm]e^{-x}-e^{x}-e^{-x}y+e^{-x}y'=0[/mm]
>  
> ich würde nun erstmal die ganze gleichung durch [mm]e^{-x}[/mm]
> teilen
>  
> => 1 - [mm]e^{2x}[/mm] - y + y' = 0
>  
> => y' - y = [mm]e^{2x}[/mm] - 1

[daumenhoch] Damit hast Du die größte Hürde dieser DGL bereits gemeistert ...


Nun betrachte doch zunächst die homogene DGL:

[mm] $y_h' [/mm] - [mm] y_h [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ $\Rightarrow$ $y_h [/mm] \ = \ ...$


Anschließend mußt Du dann noch die partikuläre Lösung ermitteln, die eine ähnliche Form hat wie die Inhomogenität [mm] $e^{2x}-1$. [/mm]

[mm] $y_p [/mm] \ = \ [mm] A*e^{2x} [/mm] + B$

Nun hiervon die Ableitung [mm] $y_p'$ [/mm] bilden und in die DGL einsetzen, um die Koeffizienten $A_$ und $B_$ zu ermitteln.


Gesamtlösung am Ende: $y \ = \ [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
DGL 1.ter Ordnung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Do 28.07.2005
Autor: trinkMilch

Hi, danke fuer den nuetzlichen Tip ,p

also ich habe es mal selber versucht, aber irgendwo muss ich
wohl einen Fehler gemacht haben.

Bitte um korrektur...THX

also hier meine Lösung:

y' - y = [mm] e^{2x} [/mm] - 1

homogen:
[mm] y_{h}' [/mm] + [mm] y_{h} [/mm] = 0

=> [mm] y_{h}' [/mm] = [mm] y_{h} [/mm]
=> [mm] y_{h} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm]

partikulär:

[mm] y_{p} [/mm] = [mm] Ae^{2x} [/mm] + B
[mm] y_{p}' [/mm] = [mm] 2Ae^{2x} [/mm]


Koeffizientenvergleich:
=> [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x}(Ae^{2x} [/mm] + B) + [mm] e^{-x}(2Ae^{2x} [/mm] = 0

=> 1 - [mm] e^{2x} [/mm] + [mm] Ae^{2x} [/mm] + B = 0

=> [mm] Ae^{2x} [/mm] + B = [mm] e^{2x} [/mm] -1

=> A = 1 und B = -1

=> [mm] y_{p} [/mm] = [mm] e^{2x}-1 [/mm]

y = [mm] y_{h} [/mm] + [mm] y_{p} [/mm]

soo, nun habe ich aber keine Variable mehr in meiner Allgemeinen Lösung,
so dass die bestimmung des Anfangswertproblems bei dieser DGL
nicht geht.

eigtl. AWA: y(0) = 3

vielen Dank für eure Mühen, habts ja nicht gerade leicht mit mir ;p

cu und bis bald
Bezug
                        
Bezug
DGL 1.ter Ordnung: Integrationskonstante (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Do 28.07.2005
Autor: Loddar

Hallo trinkMilch!


> homogen:
> [mm]y_{h}'[/mm] + [mm]y_{h}[/mm] = 0

[notok] Tippfehler: [mm] $y_h' [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] y_h [/mm] \ =\ 0$

  
> => [mm]y_{h}'[/mm] = [mm]y_{h}[/mm]
> => [mm]y_{h}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]

[notok] Hier hast Du die Integrationskonstante unterschlagen!

Für die homogene Lösung erhält man daher: [mm] $y_h [/mm] \ = \ [mm] \red{c}*e^x$ [/mm]  !!

  
> partikulär:
>  
> [mm]y_{p}[/mm] = [mm]Ae^{2x}[/mm] + B
> [mm]y_{p}'[/mm] = [mm]2Ae^{2x}[/mm]

[ok]


> Koeffizientenvergleich:
> => [mm]e^{-x}[/mm] - [mm]e^{x}[/mm] - [mm]e^{-x}(Ae^{2x}[/mm] + B) + [mm]e^{-x}(2Ae^{2x}[/mm] = 0
>  
> => 1 - [mm]e^{2x}[/mm] + [mm]Ae^{2x}[/mm] + B = 0
>  
> => [mm]Ae^{2x}[/mm] + B = [mm]e^{2x}[/mm] -1
>  
> => A = 1 und B = -1
>  
> => [mm]y_{p}[/mm] = [mm]e^{2x}-1[/mm]

Setze doch mal [mm] $y_p$ [/mm] und [mm] $y_p'$ [/mm] in diese Gleichung ein:

$y' - y \ = \ [mm] e^{2x} [/mm] - 1$

[mm] $2A*e^{2x} [/mm] - [mm] \left(A*e^{2x} + B\right) [/mm] \ = \ [mm] e^{2x} [/mm] - 1$

Ich erhalte dann:  $A \ = \ 1$  sowie  $B \ = \ [mm] \red{+}1$ [/mm]

  
> y = [mm]y_{h}[/mm] + [mm]y_{p}[/mm]

Na, hier setzt Du dann wieder ein:

$y(x) \ = \ [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{c*e^x}_{= \ y_h} [/mm] + [mm] \underbrace{e^{2x} + 1}_{= \ y_p}$ [/mm]


Nun kannst Du durch Einsetzen die Konstante $c_$ bestimmen:

$y(0) \ = \ [mm] c*e^0 [/mm] + [mm] e^{2*0} [/mm] + 1 \ = \ ... \ = \ 3$    [mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $c \ = \ ...$


Nun etwas klarer und [lichtaufgegangen] ??

Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
DGL 1.ter Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 Fr 29.07.2005
Autor: trinkMilch

jau, vielen Dank :D

Nun ist mir ein [lichtaufgegangen].p

Diese blöden Integrationskonstanten vergesse ich immer :(
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