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DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:14 So 03/03/2019
Author: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösung der homogenen DGL


y '' + 2*y '  + 5*y = 0



Zusatzaufgaben
1) Wie lautet die DGL, bei der Anfangsbedingung  y(0) = 0 und y ' (0) = 1 ?

2) Wie lautet die Lösung der inhomogenen DGL
y '' + 2*y '  + 5*y = 3x +7


Moin Moin,

zunächst geht es mir um die Lösung der homogenen DGL.

Der Exponentialansatz  liefert...

y = [mm] e^{\lambda*x} [/mm]

y ' = [mm] \lambda*e^{\lambda*x} [/mm]


y '' = [mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} [/mm]


Charakteristische Gleichung

[mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} +2*\lambda*e^{\lambda*x} [/mm] + [mm] 5*e^{\lambda*x} [/mm] = 0

[mm] \lambda^2 +2*\lambda [/mm] + 5 = 0

[mm] \lambda_1 [/mm] = -1 + 2i

[mm] \lambda_2 [/mm] = -1 - 2i

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{(-1+2i)*x} [/mm] + [mm] C_2*e^{(-1-2i)*x} [/mm]

[mm] y_h [/mm] = [mm] e^{-x}*[C_1*e^{2ix} [/mm] + [mm] C_2*e^{-2ix}] [/mm]

richtig?

Jetzt gilt nach Euler

[mm] e^{i*y} [/mm] = cos(y) + i*sin(y)

[mm] y_h [/mm] = [mm] e^{-x}*[C_1*(cos(2x) [/mm] +i*sin(2x)) + [mm] C_2*(cos(-2x) [/mm] +i*sin(-2x))]

richtig?

Gut, wenn ich jetzt überlege, dass cos(2x) = cos(-2x) ist wegen der Achsensymmetrie und sin(2x) = -sin(-2x)  wegen der Punktsymmetrie... erhalte ich

[mm] y_h [/mm] = [mm] e^{-x}*[(C_1+C_2)*cos(2x) +(C_1 -C_2)*i*sin(2x)] [/mm]

falls das soweit richtig ist...


Wieso wird im nächsten Schritt einfach das i weggelassen ???

= [mm] e^{-x}*[(C_1+C_2)*cos(2x) +(C_1 -C_2)*sin(2x)] [/mm]


Sobald das Problem geklärt ist, schreibe ich gerne meine Gedanken zu den beiden Zusatzaufgaben auf.


Danke für eure Hilfe!





        
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:09 So 03/03/2019
Author: fred97

Allgemein: gegeben ist eine homogene  lineare DGL.  2. Ordnung  mit konstanten  Koeffizienten.

Ist a+ib eine komplexe Lösung  der zugehörigen charakteristischen Gleichung, so bilden die Funktionen

  [mm] $e^{ax} \cos [/mm] (bx), [mm] e^{ax} \sin [/mm] (bx) $

ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung.

( die weitere Lösung a-ib muss man nicht berücksichtigen,  wenn  man  nur an einem reellen Fundamentalsystem interessiert ist.)



Bezug
                
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:19 So 03/03/2019
Author: hase-hh

Es tut mir leid, so kann ich damit nun gar nichts anfangen!




???

Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:44 So 03/03/2019
Author: leduart

Hallo
jede linearkombination von 2 Lin unabhängig. Lösungen der Dgl ist wieder eine Lösung. [mm] e^x*e(2ix) [/mm] und [mm] e^x*e^{-2ix} [/mm] kann man also linear kombinieren, und damit e^(-x)  cos(x) und e^(-x)sin(x) erhalten , für komplexe Lösungen sollte man das ein für alle Mal wissen! natürlich kannst du auch e^(-x)*sin(x) in die Dgl einsetzen und sehen, dass es eine Lösung ist und entsprechen e^(-x)cos(x)
dein Kurzkommentar statt Danke und genauer sagen, was du nicht verstehst ist nicht hilfreich!
Gruß leduart


Bezug
                                
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:58 So 03/03/2019
Author: hase-hh

Entschuldigung, aber deine Antwort verstehe ich auch nicht wirklich.

Aber dein Kommentar ist (leider wieder einmal) völlig daneben!

1. Ich habe "Entschuldigung" gesagt, das muss reichen.
Im übrigen habe ich die Antwort von fred überhaupt nicht verstanden, daher machte es für mich auch keinen Sinn, zu einem bestimmten Punkt nachzufragen. Sonst hätte ich es gemacht!

2. Und ich weise noch einmal ein "sollte wissen" entschiedne zurück.
Wenn ich das alles verstanden hätte, bräuchte ich nicht zu fragen.



Bezug
                                
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:09 So 03/03/2019
Author: hase-hh

Moin,

> Hallo
>   jede linearkombination von 2 Lin unabhängig. Lösungen
> der Dgl ist wieder eine Lösung. [mm]e^x*e(2ix)[/mm] und
> [mm]e^x*e^{-2ix}[/mm] kann man also linear kombinieren, und damit
> e^(-x)  cos(x) und e^(-x)sin(x) erhalten , für komplexe
> Lösungen sollte man das ein für alle Mal wissen!

also du behauptest, dass jede Linearkombination von zwei linear unabhängigen Lösungen einer DGL wieder eine Lösung der DGL ist, richtig?

Das habe ich so noch nicht gesehen.


Ist es nicht das, was in dem Ansatz enthalten ist... ?

[mm] C_1*e^x*e^{2ix} [/mm] + [mm] C_2*e^x*e^{-2ix} [/mm]

> natürlich kannst du auch e^(-x)*sin(x) in die Dgl
> einsetzen und sehen, dass es eine Lösung ist und
> entsprechen e^(-x)cos(x)

und hier hört es bei mir dann völlig auf...

Wieso kann das dann auch [mm] e^{-x}*cos(x) [/mm] + [mm] e^{-x}*sin(x) [/mm]    ?????

Bitte einmal für Nichtmathematiker erklären!

Ich bemühe mich wirklich, die Dinge nachzuvollziehen und zu verstehen... aber allein so ein Begriff wie "Fundamentalsatz", da steig ich aus.



Übrigens war meine ursprüngliche Frage, wieso man einfach das i weggelassen hat?

Wird hier vielleicht ein anderer mathematischer Zusammenhang benutzt???




Bezug
                                        
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:40 Mo 04/03/2019
Author: fred97


> Moin,

Es ist schwer, Dir gewinnbringend zu antworten, wenn man nicht im Bilde ist, was Ihr gelernt habt ....

>  
> > Hallo
>  >   jede linearkombination von 2 Lin unabhängig.
> Lösungen
> > der Dgl ist wieder eine Lösung. [mm]e^x*e(2ix)[/mm] und
> > [mm]e^x*e^{-2ix}[/mm] kann man also linear kombinieren, und damit
> > e^(-x)  cos(x) und e^(-x)sin(x) erhalten , für komplexe
> > Lösungen sollte man das ein für alle Mal wissen!

Hier meint Leduart sicher  [mm] e^{-x} [/mm]  cos(2x) und [mm] e^{-x}sin(2x) [/mm] und nicht   [mm] e^{-x} [/mm]  cos(x) und [mm] e^{-x}sin(x) [/mm]


>
> also du behauptest, dass jede Linearkombination von zwei
> linear unabhängigen Lösungen einer DGL wieder eine
> Lösung der DGL ist, richtig?

Ja, wenn es sich um eine homogene lineare DGL handelt ist das so.


>  
> Das habe ich so noch nicht gesehen.

Das kannst Du leicht selbst nachrechnen.


>  
>
> Ist es nicht das, was in dem Ansatz enthalten ist... ?
>  
> [mm]C_1*e^x*e^{2ix}[/mm] + [mm]C_2*e^x*e^{-2ix}[/mm]
>
> > natürlich kannst du auch e^(-x)*sin(x) in die Dgl
> > einsetzen und sehen, dass es eine Lösung ist und
> > entsprechen e^(-x)cos(x)

Siehe oben.


>  
> und hier hört es bei mir dann völlig auf...
>  
> Wieso kann das dann auch [mm]e^{-x}*cos(x)[/mm] + [mm]e^{-x}*sin(x)[/mm]    
> ?????
>  
> Bitte einmal für Nichtmathematiker erklären!
>
> Ich bemühe mich wirklich, die Dinge nachzuvollziehen und
> zu verstehen... aber allein so ein Begriff wie
> "Fundamentalsatz", da steig ich aus.

Ich sprach von "Fundamentalsystem" nicht von "Fundamentalsatz".

Offenbar hattet Ihr diesen Begriff nicht.


>
>
>
> Übrigens war meine ursprüngliche Frage, wieso man einfach
> das i weggelassen hat?
>
> Wird hier vielleicht ein anderer mathematischer
> Zusammenhang benutzt???

Legen wir los: gegeben ist die homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten reellen Koeefizienten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta: [/mm]

(*)   $y'' [mm] +\alpha [/mm] y' + [mm] \beta [/mm] y=0.$

Dazu gehört die char. Gleichung

[mm] $\lambda^2 +\alpha \lambda [/mm] + [mm] \beta [/mm] y=0.$.


Seien [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] die Lösungen dieser Gleichung. Wir unterscheiden mehrere Fälle:

Fall 1:  [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in \IR$ [/mm] und  [mm] $\lambda_1 \ne \lambda_2$. [/mm]

Dann lautet die allg. Lösung der DGL (*) so:

   [mm] $y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}. [/mm]

In diesem Fall nennt man [mm] e^{\lambda_1x}, e^{\lambda_2x} [/mm] ein Fundamentalsystem der DGL.

Fall 2:  [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in \IR$ [/mm] und  [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2$. [/mm]

Dann lautet die allg. Lösung der DGL (*) so:

   [mm] $y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2xe^{\lambda_1x}. [/mm]

In diesem Fall nennt man [mm] e^{\lambda_1x}, xe^{\lambda_1x} [/mm] ein Fundamentalsystem der DGL.



Fall 3:  [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \notin \IR$ [/mm] , allso $ [mm] \lambda_1=a+ib$ [/mm] mit $b [mm] \ne [/mm] 0$ und [mm] $\lambda_2= \overline{\lambda_1}$. [/mm] Das letzte gilt, weil die char. Gleichung reelle Koeffizienten hat.

In diesem Fall fast man nur  $ [mm] \lambda_1=a+ib$ [/mm] ins Auge (und lässt  $ [mm] \lambda_2$ [/mm] unberücksichtigt). Es ist [mm] $e^{\lambda_1x}=e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).$ [/mm]


Die allgemeine Lösung der DGL lautet in diesem Fall:

[mm] $y(x)=C_1e^{ax} \cos(bx)+C_2e^{ax} \sin(bx)$ [/mm]

und man nennt [mm] e^{ax} \cos(bx), e^{ax} \sin(bx) [/mm] ein Fundamentalsystem der DGL.



Das ist die Theorie und gleichzeitig ein hübsches Kochrezept für die Praxis. Wenn Ihr das nicht hattet, so zweifle ich an der Qualität Deines Dozenten.

Mich würde interessieren, wie Dein Dozent Euch die Theorie und die praktische Vorgehensweise nahegebracht hat.


>  
>
>  


Bezug
                                                
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:54 Mo 04/03/2019
Author: hase-hh

Moin Fred, Moin @ !!

> Es ist schwer, Dir gewinnbringend zu antworten, wenn man
> nicht im Bilde ist, was Ihr gelernt habt ....

Ja, das stimmt. Ich kann es nicht ändern...  :(
Vielen Dank für die ausführlichen Hinweise!

> > Ist es nicht das, was in dem Ansatz enthalten ist... ?
>  >  
> > [mm]C_1*e^x*e^{2ix}[/mm] + [mm]C_2*e^x*e^{-2ix}[/mm]
> >
> > > natürlich kannst du auch e^(-x)*sin(x) in die Dgl
> > > einsetzen und sehen, dass es eine Lösung ist und
> > > entsprechen e^(-x)cos(x)
>  
> Siehe oben.
>  

>  >  
> > Bitte einmal für Nichtmathematiker erklären!
> >
> > Ich bemühe mich wirklich, die Dinge nachzuvollziehen und
> > zu verstehen... aber allein so ein Begriff wie
> > "Fundamentalsatz", da steig ich aus.
>
> Ich sprach von "Fundamentalsystem" nicht von
> "Fundamentalsatz".

Stimmt. Mein Fehler!

Nun, ich weiß nicht ob das überhaupt zulässig ist, aber bei Linearkombinationen denke ich an Vektoren... und wenn bestimmte Linearkombinationen Lösungen einer DGL sind bzw. diese ein Fundamentalsystem bilden, bilden diese einzelnen "Vektoren" dann vielleicht eine Basis?


> > Übrigens war meine ursprüngliche Frage, wieso man einfach
> > das i weggelassen hat?
> >
> > Wird hier vielleicht ein anderer mathematischer
> > Zusammenhang benutzt???

       :

> Fall 3:  [mm]\lambda_1, \lambda_2 \notin \IR[/mm] , also
> [mm]\lambda_1=a+ib[/mm] mit [mm]b \ne 0[/mm] und [mm]\lambda_2= \overline{\lambda_1}[/mm].
> Das letzte gilt, weil die char. Gleichung reelle
> Koeffizienten hat.
>  
> In diesem Fall fasst man nur  [mm]\lambda_1=a+ib[/mm] ins Auge (und
> lässt  [mm]\lambda_2[/mm] unberücksichtigt). Es ist
> [mm]e^{\lambda_1x}=e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).[/mm]
>  
>
> Die allgemeine Lösung der DGL lautet in diesem Fall:
>  
> [mm]y(x)=C_1e^{ax} \cos(bx)+C_2e^{ax} \sin(bx)[/mm]
>  
> und man nennt [mm]e^{ax} \cos(bx), e^{ax} \sin(bx)[/mm] ein
> Fundamentalsystem der DGL.
>  
>
>
> Das ist die Theorie und gleichzeitig ein hübsches
> Kochrezept für die Praxis. Wenn Ihr das nicht hattet, so
> zweifle ich an der Qualität Deines Dozenten.

Ja, ich glaube, ich habe das Kochrezept verstanden. Nur nicht, wie man von

[mm]e^{\lambda_1x}=e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).[/mm]

zu [mm]y(x)=C_1e^{ax} \cos(bx)+C_2e^{ax} \sin(bx)[/mm]

kommt?!

oder enthält [mm] C_2 [/mm] etwa einen Faktor i  ???
Und noch anders gefragt, sind [mm] C_1, C_2 \in \IC [/mm]  oder müssen diese reell sein?




> Mich würde interessieren, wie Dein Dozent Euch die Theorie
> und die praktische Vorgehensweise nahegebracht hat.

Sagen wir so, das Meiste muss ich mir im Selbststudium beibringen. :-)


Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:08 Mo 04/03/2019
Author: fred97


> Moin Fred, Moin @ !!
>  
> > Es ist schwer, Dir gewinnbringend zu antworten, wenn man
> > nicht im Bilde ist, was Ihr gelernt habt ....
>  
> Ja, das stimmt. Ich kann es nicht ändern...  :(
>  Vielen Dank für die ausführlichen Hinweise!
>  
> > > Ist es nicht das, was in dem Ansatz enthalten ist... ?
>  >  >  
> > > [mm]C_1*e^x*e^{2ix}[/mm] + [mm]C_2*e^x*e^{-2ix}[/mm]
> > >
> > > > natürlich kannst du auch e^(-x)*sin(x) in die Dgl
> > > > einsetzen und sehen, dass es eine Lösung ist und
> > > > entsprechen e^(-x)cos(x)
>  >  
> > Siehe oben.
>  >  
>
> >  >  

> > > Bitte einmal für Nichtmathematiker erklären!
> > >
> > > Ich bemühe mich wirklich, die Dinge nachzuvollziehen und
> > > zu verstehen... aber allein so ein Begriff wie
> > > "Fundamentalsatz", da steig ich aus.
> >
> > Ich sprach von "Fundamentalsystem" nicht von
> > "Fundamentalsatz".
>  
> Stimmt. Mein Fehler!
>
> Nun, ich weiß nicht ob das überhaupt zulässig ist, aber
> bei Linearkombinationen denke ich an Vektoren... und wenn
> bestimmte Linearkombinationen Lösungen einer DGL sind bzw.
> diese ein Fundamentalsystem bilden, bilden diese einzelnen
> "Vektoren" dann vielleicht eine Basis?


Hattet Ihr den abstrakten Begriff "Vektortraum" ?

>
>
> > > Übrigens war meine ursprüngliche Frage, wieso man einfach
> > > das i weggelassen hat?
> > >
> > > Wird hier vielleicht ein anderer mathematischer
> > > Zusammenhang benutzt???
>  
> :
>
> > Fall 3:  [mm]\lambda_1, \lambda_2 \notin \IR[/mm] , also
> > [mm]\lambda_1=a+ib[/mm] mit [mm]b \ne 0[/mm] und [mm]\lambda_2= \overline{\lambda_1}[/mm].
> > Das letzte gilt, weil die char. Gleichung reelle
> > Koeffizienten hat.
>  >  
> > In diesem Fall fasst man nur  [mm]\lambda_1=a+ib[/mm] ins Auge (und
> > lässt  [mm]\lambda_2[/mm] unberücksichtigt). Es ist
> > [mm]e^{\lambda_1x}=e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).[/mm]
>  >  
> >
> > Die allgemeine Lösung der DGL lautet in diesem Fall:
>  >  
> > [mm]y(x)=C_1e^{ax} \cos(bx)+C_2e^{ax} \sin(bx)[/mm]
>  >  
> > und man nennt [mm]e^{ax} \cos(bx), e^{ax} \sin(bx)[/mm] ein
> > Fundamentalsystem der DGL.
>  >  
> >
> >
> > Das ist die Theorie und gleichzeitig ein hübsches
> > Kochrezept für die Praxis. Wenn Ihr das nicht hattet, so
> > zweifle ich an der Qualität Deines Dozenten.
>  
> Ja, ich glaube, ich habe das Kochrezept verstanden. Nur
> nicht, wie man von
>
> [mm]e^{\lambda_1x}=e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).[/mm]
>  
> zu [mm]y(x)=C_1e^{ax} \cos(bx)+C_2e^{ax} \sin(bx)[/mm]
>  
> kommt?!

[mm] e^{ax} \cos(bx) [/mm] ist der Realteil von [mm] e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)) [/mm] und [mm] e^{ax} \sin(bx) [/mm] ist der Imaginärteil  von [mm] e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)). [/mm]


>
> oder enthält [mm]C_2[/mm] etwa einen Faktor i  ???

Nein.


>  Und noch anders gefragt, sind [mm]C_1, C_2 \in \IC[/mm]  oder
> müssen diese reell sein?

Die sind reell.


>  
>
>
>
> > Mich würde interessieren, wie Dein Dozent Euch die Theorie
> > und die praktische Vorgehensweise nahegebracht hat.
>  
> Sagen wir so, das Meiste muss ich mir im Selbststudium
> beibringen. :-)

Welches Buch hast Du dabei benutzt ?

>  


Bezug
                                                                
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:48 Di 05/03/2019
Author: hase-hh

Moin !

> >
> > Nun, ich weiß nicht ob das überhaupt zulässig ist, aber
> > bei Linearkombinationen denke ich an Vektoren... und wenn
> > bestimmte Linearkombinationen Lösungen einer DGL sind bzw.
> > diese ein Fundamentalsystem bilden, bilden diese einzelnen
> > "Vektoren" dann vielleicht eine Basis?
>
>
> Hattet Ihr den abstrakten Begriff "Vektortraum" ?

Schön!  Ich liebe Poesie !!

Ja, den Begriff Vektorraum, den du sicher meinst, hatte ich mal...

> >
> > > > Übrigens war meine ursprüngliche Frage, wieso man einfach
> > > > das i weggelassen hat?
> > > >
> > > > Wird hier vielleicht ein anderer mathematischer
> > > > Zusammenhang benutzt???
>  >  
> > :
> >
> > > Fall 3:  [mm]\lambda_1, \lambda_2 \notin \IR[/mm] , also
> > > [mm]\lambda_1=a+ib[/mm] mit [mm]b \ne 0[/mm] und [mm]\lambda_2= \overline{\lambda_1}[/mm].
> > > Das letzte gilt, weil die char. Gleichung reelle
> > > Koeffizienten hat.
>  >  >  
> > > In diesem Fall fasst man nur  [mm]\lambda_1=a+ib[/mm] ins Auge (und
> > > lässt  [mm]\lambda_2[/mm] unberücksichtigt). Es ist
> > > [mm]e^{\lambda_1x}=e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > Die allgemeine Lösung der DGL lautet in diesem Fall:
>  >  >  
> > > [mm]y(x)=C_1e^{ax} \cos(bx)+C_2e^{ax} \sin(bx)[/mm]
>  >  >  
> > > und man nennt [mm]e^{ax} \cos(bx), e^{ax} \sin(bx)[/mm] ein
> > > Fundamentalsystem der DGL.
>  >  >  
> > >
> > >
> > > Das ist die Theorie und gleichzeitig ein hübsches
> > > Kochrezept für die Praxis. Wenn Ihr das nicht hattet, so
> > > zweifle ich an der Qualität Deines Dozenten.
>  >  
> > Ja, ich glaube, ich habe das Kochrezept verstanden. Nur
> > nicht, wie man von
> >
> > [mm]e^{\lambda_1x}=e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).[/mm]
>  >  
> > zu [mm]y(x)=C_1e^{ax} \cos(bx)+C_2e^{ax} \sin(bx)[/mm]
>  >  
> > kommt?!
>
> [mm]e^{ax} \cos(bx)[/mm] ist der Realteil von [mm]e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx))[/mm]
> und [mm]e^{ax} \sin(bx)[/mm] ist der Imaginärteil  von [mm]e^{ax}( \cos(bx)+i \sin(bx)).[/mm]

Ok, das verstehe ich, aber das erklärt eben nicht wie aus

y = a + b*i

plötzlich

y = a + b  

wird. Ich hoffe, es ist deutlich, was ich meine...!?




Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:37 Di 05/03/2019
Author: leduart

Hallo
noch mal langsam: wenn [mm] y_1(x) [/mm] und [mm] y_2(x) [/mm] Lösungen einer linearen  homogenen Dgl sind dann ist auch [mm] c_1*y_1(x)+c_2*y_2(x) [/mm] Lösung dieser Dgl. Nachweis : einsetzen in die Dgl
[mm] (c_1*(y_1''+ay_1'+by_1)=0 [/mm]
und [mm] c_2*((y_2''+ay_2'+by_2)=0 [/mm] gilt
addiert [mm] (c1y_1+c_2y_2)''+a*(c_1y_1+c_2y_2)'+b*(c_1y_1+c_2y_2)=0 [/mm] also die Behauptung. dabei ist egal ob [mm] c_1, c_2 [/mm] reell oder komplex sind.
da der Ansatz [mm] y=e^\(\lambda*x) [/mm] einfacher ist verwendet man ihn lieber als den Ansatz [mm] y=e^{rx}*sin(w*x+\phi) [/mm]  was auch möglich wäre.
dann will man aber weil es sich um ein reelles Problem handelt auch eine reelle Lösung haben, du hattest die Lösungen [mm] y_1 e^x*e^{2ix}=e^x*(cos(x)+isin(x) [/mm]  und [mm] y_2 e^x*(cos(x)-isin(x)) [/mm]
jetzt wähle [mm] c1=c_2=1/2 [/mm]  dann ist [mm] c_1y_1+c_2y_2=e^x*cos(x) [/mm]
dann c1=-i/2m c2=i/2  und du hast [mm] c_1y_1+c_2y_2=e^xsin(x) [/mm]
also wieder 2 Lösungen. jetzt reelle.
Das muss man nicht jedesmal so ausführlich machen, sondern sich kurz merken, dass die imaginären Lösungen und die reellen direkt Lösungen sind.
Gruß ledum


Bezug
                                                                                
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DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:11 Do 07/03/2019
Author: hase-hh

Vielen Dank für die detaillierte Antwort!

Genau diesen Zusammenhang wollte ich verstehen!


> Hallo
>   noch mal langsam: wenn [mm]y_1(x)[/mm] und [mm]y_2(x)[/mm] Lösungen einer
> linearen  homogenen Dgl sind dann ist auch
> [mm]c_1*y_1(x)+c_2*y_2(x)[/mm] Lösung dieser Dgl. Nachweis :
> einsetzen in die Dgl
>  [mm](c_1*(y_1''+ay_1'+by_1)=0[/mm]
> und [mm]c_2*((y_2''+ay_2'+by_2)=0[/mm] gilt
>   addiert
> [mm](c1y_1+c_2y_2)''+a*(c_1y_1+c_2y_2)'+b*(c_1y_1+c_2y_2)=0[/mm]
> also die Behauptung. dabei ist egal ob [mm]c_1, c_2[/mm] reell oder
> komplex sind.

D.h. also [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] können beliebige Zahlen aus [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] sein.
Es ist auch nicht zwingend, dass [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] = 1 oder [mm] c_1 +c_2 [/mm] = 0 sind.

richtig?

>  da der Ansatz [mm]y=e^\(\lambda*x)[/mm] einfacher ist verwendet man
> ihn lieber als den Ansatz [mm]y=e^{rx}*sin(w*x+\phi)[/mm]  was auch
> möglich wäre.
>  dann will man aber weil es sich um ein reelles Problem
> handelt auch eine reelle Lösung haben, du hattest die
> Lösungen [mm]y_1 e^x*e^{2ix}=e^x*(cos(x)+isin(x)[/mm]  und [mm]y_2 e^x*(cos(x)-isin(x))[/mm]
>  
> jetzt wähle [mm]c1=c_2=1/2[/mm]  dann ist [mm]c_1y_1+c_2y_2=e^x*cos(x)[/mm]
>  dann c1=-i/2m c2=i/2  und du hast [mm]c_1y_1+c_2y_2=e^xsin(x)[/mm]
>   also wieder 2 Lösungen. jetzt reelle.

Und nun könnte ich diese reellen Lösungen mit [mm] C_1, C_2 [/mm] multiplizieren, d.h. man könnte diese reellen Lösungen sowohl mit reellen als auch mit komplexen Zahlen multiplizieren.

richtig?

Da ich aber gerade reelle Lösungen gesucht habe, werde ich für [mm] C_1, C_2 [/mm] hier reelle Zahlen wählen.

richtig?

>  Das muss man nicht jedesmal so ausführlich machen,
> sondern sich kurz merken, dass die imaginären Lösungen
> und die reellen direkt Lösungen sind.
>  Gruß ledum

Klar, ich verwende für Aufgaben dann das "Kochrezept". Wie gesagt wollte nur besser verstehen, wie es dazu kommt.



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DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:30 Do 07/03/2019
Author: fred97


> Vielen Dank für die detaillierte Antwort!
>  
> Genau diesen Zusammenhang wollte ich verstehen!
>
>
> > Hallo
>  >   noch mal langsam: wenn [mm]y_1(x)[/mm] und [mm]y_2(x)[/mm] Lösungen
> einer
> > linearen  homogenen Dgl sind dann ist auch
> > [mm]c_1*y_1(x)+c_2*y_2(x)[/mm] Lösung dieser Dgl. Nachweis :
> > einsetzen in die Dgl
>  >  [mm](c_1*(y_1''+ay_1'+by_1)=0[/mm]
> > und [mm]c_2*((y_2''+ay_2'+by_2)=0[/mm] gilt
>  >   addiert
> > [mm](c1y_1+c_2y_2)''+a*(c_1y_1+c_2y_2)'+b*(c_1y_1+c_2y_2)=0[/mm]
> > also die Behauptung. dabei ist egal ob [mm]c_1, c_2[/mm] reell oder
> > komplex sind.
>  
> D.h. also [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] können beliebige Zahlen aus [mm]\IR[/mm] oder
> [mm]\IC[/mm] sein.
> Es ist auch nicht zwingend, dass [mm]c_1[/mm] + [mm]c_2[/mm] = 1 oder [mm]c_1 +c_2[/mm]
> = 0 sind.
>  
> richtig?

Ja


>
> >  da der Ansatz [mm]y=e^\(\lambda*x)[/mm] einfacher ist verwendet man

> > ihn lieber als den Ansatz [mm]y=e^{rx}*sin(w*x+\phi)[/mm]  was auch
> > möglich wäre.
>  >  dann will man aber weil es sich um ein reelles Problem
> > handelt auch eine reelle Lösung haben, du hattest die
> > Lösungen [mm]y_1 e^x*e^{2ix}=e^x*(cos(x)+isin(x)[/mm]  und [mm]y_2 e^x*(cos(x)-isin(x))[/mm]
>  
> >  

> > jetzt wähle [mm]c1=c_2=1/2[/mm]  dann ist [mm]c_1y_1+c_2y_2=e^x*cos(x)[/mm]
>  >  dann c1=-i/2m c2=i/2  und du hast
> [mm]c_1y_1+c_2y_2=e^xsin(x)[/mm]
>  >   also wieder 2 Lösungen. jetzt reelle.
>  
> Und nun könnte ich diese reellen Lösungen mit [mm]C_1, C_2[/mm]
> multiplizieren, d.h. man könnte diese reellen Lösungen
> sowohl mit reellen als auch mit komplexen Zahlen
> multiplizieren.
>  
> richtig?

Ja


>
> Da ich aber gerade reelle Lösungen gesucht habe, werde ich
> für [mm]C_1, C_2[/mm] hier reelle Zahlen wählen.
>  
> richtig?

Ja


>  
> >  Das muss man nicht jedesmal so ausführlich machen,

> > sondern sich kurz merken, dass die imaginären Lösungen
> > und die reellen direkt Lösungen sind.
>  >  Gruß ledum
>  
> Klar, ich verwende für Aufgaben dann das "Kochrezept". Wie
> gesagt wollte nur besser verstehen, wie es dazu kommt.
>
>  


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DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:35 Do 07/03/2019
Author: hase-hh

Ok, ich komme mal zurück auf das Anfangswertproblem...

Die Lösung der DGL war ja

y = [mm] C_1*e^{-x}*cos(2x) [/mm] + [mm] C_2*e^{-x}*sin(2x) [/mm]

=>

y ' = [mm] -C_1*e^{-x}*cos(2x) [/mm] + [mm] C_1*e^{-x}*(-sin(2x))*2 -C_2*e^{-x}*sin(2x) [/mm] + [mm] C_2*e^{-x}*(cos(2x))*2 [/mm]

y ' = [mm] C_1*e^{-x}*(-cos(2x) [/mm] -2*sin(2x)) + [mm] C_2*e^{-x}*(-sin(2x) [/mm] +2*cos(2x))


y(0) = 0     =>  [mm] C_1*e^{-0}*cos(2*0) [/mm] + [mm] C_2*e^{-0}*sin(2*0) [/mm] = 0

[mm] C_1 [/mm] = 0  

richtig?


y ' (0) = 1   =>  [mm] C_1*e^{-0}*(-cos(2*0) [/mm] -2*sin(2*0)) + [mm] C_2*e^{-0}*(-sin(2*0) [/mm] +2*cos(2*0)) = 1

- [mm] C_1 +2*C_2 [/mm] = 1

[mm] C_2 [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2} [/mm]


richtig?

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DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:43 Do 07/03/2019
Author: fred97


> Ok, ich komme mal zurück auf das Anfangswertproblem...
>  
> Die Lösung der DGL war ja
>
> y = [mm]C_1*e^{-x}*cos(2x)[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}*sin(2x)[/mm]
>  
> =>
>
> y ' = [mm]-C_1*e^{-x}*cos(2x)[/mm] + [mm]C_1*e^{-x}*(-sin(2x))*2 -C_2*e^{-x}*sin(2x)[/mm]
> + [mm]C_2*e^{-x}*(cos(2x))*2[/mm]
>
> y ' = [mm]C_1*e^{-x}*(-cos(2x)[/mm] -2*sin(2x)) +
> [mm]C_2*e^{-x}*(-sin(2x)[/mm] +2*cos(2x))
>  
>
> y(0) = 0     =>  [mm]C_1*e^{-0}*cos(2*0)[/mm] + [mm]C_2*e^{-0}*sin(2*0)[/mm]

> = 0
>  
> [mm]C_1[/mm] = 0  
>
> richtig?

Ja


>  
>
> y ' (0) = 1   =>  [mm]C_1*e^{-0}*(-cos(2*0)[/mm] -2*sin(2*0)) +

> [mm]C_2*e^{-0}*(-sin(2*0)[/mm] +2*cos(2*0)) = 1
>  
> - [mm]C_1 +2*C_2[/mm] = 1

Warum schleifst Du denn [mm] C_1 [/mm] die ganze Zeit noch mit ?? Wir wissen doch schon, dass [mm] C_1=0 [/mm] ist.

>
> [mm]C_2[/mm] =  [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
>
> richtig?  

Ja




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DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:47 Do 07/03/2019
Author: hase-hh

Nun noch kurz zur anderen Zusatzaufgabe... Lösung der inhomogenen DGL.


[mm] y_p [/mm] = ax + b

[mm] y_p [/mm] ' = a

[mm] y_p [/mm] '' = 0


0 + 2a + 5*(ax+b) = 3x +7

5ax +2a +5b  = 3x + 7  

Koeffizientenvergleich

5a = 3   =>  a = [mm] \bruch{3}{5} [/mm]

2a+5b = 7   =>  b = [mm] \bruch{29/25} [/mm]


[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*x [/mm] + [mm] \bruch{29}{25} [/mm]


Die allgemeine Lösung lautet dann

y = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm]

y = [mm] C_1*e^{-x}*cos(2x) [/mm] + [mm] C_2*e^{-x}*sin(2x) [/mm] + [mm] \bruch{3}{5}*x [/mm] + [mm] \bruch{29}{25} [/mm]


richtig?






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DGL 2. Ordg komplexe \lambda: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:48 Do 07/03/2019
Author: fred97


> Nun noch kurz zur anderen Zusatzaufgabe... Lösung der
> inhomogenen DGL.
>  
>
> [mm]y_p[/mm] = ax + b

Ja dieser Ansatz bietet sich an.


>
> [mm]y_p[/mm] ' = a
>  
> [mm]y_p[/mm] '' = 0
>  
>
> 0 + 2a + 5*(ax+b) = 3x +7
>
> 5ax +2a +5b  = 3x + 7  
>
> Koeffizientenvergleich
>  
> 5a = 3   =>  a = [mm]\bruch{3}{5}[/mm]

>  
> 2a+5b = 7   =>  b = [mm]\bruch{29/25}[/mm]

>
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*x[/mm] + [mm]\bruch{29}{25}[/mm]

Das ist richtig.


>  
>
> Die allgemeine Lösung lautet dann
>  
> y = [mm]y_h[/mm] + [mm]y_p[/mm]
>
> y = [mm]C_1*e^{-x}*cos(2x)[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}*sin(2x)[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{5}*x[/mm] + [mm]\bruch{29}{25}[/mm]
>  
>
> richtig?

Ja


>  
>
>
>
>  


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