Definition vom Wiener Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Do 04.09.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
ich arbeite mich gerade in das Themengebiet der Stochastischen Prozesse ein. Dazu habe ich konkret eine Frage zur Definition vom Wiener Prozess, siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess
In manchen Buechern (wie auch bei Wikipedia oben) werden die definierenden Eigenschaften nur P-fast sicher gefordert. In anderen wiederum macht man diese Einschraenkung nicht.
Zum Beispiel:
Sei [mm] $(\Omega, [/mm] A, P)$ ein W-Raum und [mm] $(B_t)_{t\in [0.\infty)}$ [/mm] ein Wiener Prozess. Dann fordert man manchmal [mm] $B_t [/mm] =0$ P-fast sicher.
Manchmal aber auch [mm] $B_t(w)=0$ $\forall \omega\in \Omega$.
[/mm]
Meine Fragen dazu lauten:
Hat das irgendeinen Grund? Aendert sich dadurch eventuell sogar die Theorie bzw. die Beweise und Ergebnisse?
Ich wuerde mich sehr ueber Hilfe freuen.
Viele Gruesse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Meine Fragen dazu lauten:
> Hat das irgendeinen Grund? Aendert sich dadurch eventuell sogar die Theorie bzw. die Beweise und Ergebnisse?
nein.
Hast du eine Aussage, die P-fast sicher gilt, so gilt sie ja bis auf maximal eine Nullmenge N.
Betrachte deinen Prozess nun auf [mm] $\overline{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega\setminus [/mm] A$ und es gilt für alle [mm] \omega\in \overline{\Omega}
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
vielen Dank fuer deine Antwort! Das hat mir schonmal weitergeholfen.
Noch zwei kleine Nachfragen, um auf Nummer sicher zu gehen:
1)
Was genau meinst du mit $ [mm] \overline{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega\setminus [/mm] A $ ?
Soll A die Nullmenge sein, auf welcher die besagte Eigenschaft nicht gilt? Falls ja, dann nimmt man vermutlich als Sigma-Algebra die Spur-sigma-Algebra auf $ [mm] \overline{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega\setminus [/mm] A $. Ist meine Vermutung hier richtig?
2)
Wenn man nun mehrere solcher Eigenschaften hat, die nur P-fast sicher gelten, dann geht man vermutlich Analog vor. Man muss dann vermutlich fuer A die Vereinigung all der Nullmengen nehmen, fuer welche die jeweilige Eigenschaft nicht gilt. Die Vereinigung abzaehlbar vieler Nullmengen ist ja bekanntlich wieder eine Nullmenge. Korrekt?
Vielen Dank nochmals fuer deine hilfreiche Antwort!
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Hiho,
> Soll A die Nullmenge sein, auf welcher die besagte Eigenschaft nicht gilt?
Ja.
> Falls ja, dann nimmt man vermutlich als Sigma-Algebra die Spur-sigma-Algebra auf [mm]\overline{\Omega} = \Omega\setminus A [/mm]. Ist meine Vermutung hier richtig?
Ja, formal müsste man das so machen.
> Man muss dann vermutlich fuer A die Vereinigung all der Nullmengen nehmen, fuer welche die jeweilige Eigenschaft nicht gilt. Die Vereinigung abzaehlbar vieler Nullmengen ist ja bekanntlich wieder eine Nullmenge. Korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Samyy |
Danke!!!
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