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Dehnungsbeschränktheit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Fr 23.04.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Seien $(X, [mm] {\|\cdot\|}_X)$ [/mm] und $(Y, [mm] {\|\cdot\|}_Y)$ [/mm] zwei normierte Räume, und sei $M [mm] \subset [/mm] X$ eine nicht-leere Teilmenge. Eine Abbildung $f: M [mm] \to [/mm] Y$ heißt lokal dehnungsbeschränkt, falls zu jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] M$ eine Umgebung [mm] $U_x$ [/mm] existiert, sodass die Einschränkung [mm] $f_{|M \cap U}$ [/mm] dehnungsbeschränkt ist. Zeigen Sie: Ist $M$ kompakt und $f$ lokal dehnungsbeschränkt, so ist $f$ schon dehnungsbeschränkt.

Hallo,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe wieder mal Hilfe.
Die Lösung die ich "fühle" ist irgendwie, dass man sich ja bei der endlichen Teilüberdeckung von $M$ sozusagen "von Anfang bis Ende" durchhangeln und die Lipschitz-Konstanten aufsummieren kann und so wieder eine Lipschitz Konstante für ganz $M$ hat. Aber ganz so einfach ist es dann doch nicht, auch weil ja gar nicht vorausgesetzt wird, dass $f$ stetig bzw. $M$ zusammenhängend ist.
Kann mir hier einer auf die Sprünge helfen?
Danke und Gruß,
Martin

        
Bezug
Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Fr 23.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


>  Die Lösung die ich "fühle" ist irgendwie, dass man sich
> ja bei der endlichen Teilüberdeckung von [mm]M[/mm] sozusagen "von
> Anfang bis Ende" durchhangeln und die Lipschitz-Konstanten
> aufsummieren kann und so wieder eine Lipschitz Konstante
> für ganz [mm]M[/mm] hat.

Ja, statt der Summe kann man auch einfach das Maximum nehmen, aber die Idee ist die selbe.

> Aber ganz so einfach ist es dann doch nicht, auch weil ja gar nicht vorausgesetzt wird, dass [mm]f[/mm] stetig bzw. [mm]M[/mm] zusammenhängend ist.

Also erstmal: Die lokale Stetigkeit von f ist doch vorausgesetzt und mehr brauchst du hier nicht.
Dass M nicht zusammenhängend ist, ist völlig egal.

Dein Ansatz ist völlig ok: Du hast eine triviale offene Überdeckung von $M$ (welche?). Nun weißt du, dass bereits eine endliche Teilüberdeckung davon M überdeckt (warum?). Auf dieser endlichen Teilüberdeckung ist $f$ nun dehnungsbeschränkt (aka Lipschitz-stetig) (warum, wie kannst du deine Konstante wählen) und damit auf M.

Gruß,
Gono


Bezug
                
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Dehnungsbeschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Sa 24.04.2021
Autor: sancho1980

Ok, dann will ich mal einen Versuch wagen:

Sei [mm] $\mathcal{F} [/mm] = [mm] \{U_x | x \in M \}$. [/mm] Dann ist [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine offene Überdeckung von $M$. Weil $M$ kompakt ist, existiert eine endliche Menge [mm] $\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{F}_0 [/mm] = [mm] \{ U_{x_1}, ..., U_{x_n} \}$. [/mm] Sei [mm] $L_i$ [/mm] eine Lipschitzkonstante für [mm] f_{|M \cap U_{x_i}} [/mm] mit $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ und [mm] $L_{max}$ [/mm] so gewählt, dass [mm] $L_{max} \ge L_i$ [/mm]  für alle [mm] $L_i$ [/mm] mit $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ gelte. Dann ist [mm] $L_{max}$ [/mm] eine Lipschitzkonstante für [mm] $f_M$, [/mm] und es folgt, dass [mm] $f_{|M} [/mm] = f$ dehnungsbeschränkt ist.

Ist das schlüssig? Womit ich persönlich hadere ist Folgendes:

Gezeigt werden soll letztendlich Folgendes:

[mm] $\forall [/mm] x, x' [mm] \in [/mm] M : [mm] {\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_{max}{\|x - x'\|_X}$ [/mm]

Jetzt gilt nach Voraussetzung:

[mm] $\forall [/mm] x, x' [mm] \in U_{x_i} \cap [/mm] M : [mm] {\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_i{\|x - x'\|_X}$ [/mm]

Mir leuchtet ja ein, dass ich locker folgern kann, dass gilt:

[mm] $\forall [/mm] x, x' [mm] \in U_{x_i} \cap [/mm] M : [mm] {\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_{max}{\|x - x'\|_X}$ [/mm]

Aber wie kann ich sicher sein, dass [mm] ${\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_{max}{\|x - x'\|_X}$ [/mm] auch dann gilt, wenn $x [mm] \in U_{x_i} \cap [/mm] M$ und $x' [mm] \in U_{x_j} \cap [/mm] M$ mit [mm] $U_{x_i} \cap U_{x_j} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt?

Danke und Gruß,

Martin

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Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:01 So 25.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> und [mm]L_{max}[/mm] so gewählt, dass [mm]L_{max} \ge L_i[/mm]  für alle  [mm]L_i[/mm] mit [mm]1 \le i \le n[/mm] gelte.

> Ist das schlüssig?

Ja, wobei deine Konstruktion von [mm] L_\max [/mm] nicht konkret genug ist.
Das klärt sich aber mit deiner Rückfrage.

> Womit ich persönlich hadere ist Folgendes:
>  
> Gezeigt werden soll letztendlich Folgendes:
>  
> [mm]\forall x, x' \in M : {\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_{max}{\|x - x'\|_X}[/mm]
>  
> Jetzt gilt nach Voraussetzung:
>  
> [mm]\forall x, x' \in U_{x_i} \cap M : {\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_i{\|x - x'\|_X}[/mm]
>  
> Mir leuchtet ja ein, dass ich locker folgern kann, dass
> gilt:
>  
> [mm]\forall x, x' \in U_{x_i} \cap M : {\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_{max}{\|x - x'\|_X}[/mm]
>  
> Aber wie kann ich sicher sein, dass [mm]{\|f(x) - f(x')\|}_Y \le L_{max}{\|x - x'\|_X}[/mm]
> auch dann gilt, wenn [mm]x \in U_{x_i} \cap M[/mm] und [mm]x' \in U_{x_j} \cap M[/mm]
> mit [mm]U_{x_i} \cap U_{x_j} = \emptyset[/mm] gilt?
>  
> Danke und Gruß,
>  
> Martin

Sehr gut aufgepasst!
Das Problem lässt sich nach kurzer Recherche wohl auch nicht "schön" umgehen… einfacher ist wohl ein Widerspruchbeweis.

Also nimm mal an f sei nicht dehnungsbeschränkt. Was bedeutet das? Nutze dann die Folgenkompaktheit und führe es damit zum Widerspruch.

edit: Schau mal []hier, Seite 4, unten

Gruß,
Gono

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Dehnungsbeschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:51 So 25.04.2021
Autor: sancho1980

Vielen Dank für den Link. Aber leider kann ich den Beweis nicht ganz verstehen:

1) Ich weiß nicht, was [mm] $d(U_i, U_j)$ [/mm] für Umgebungen [mm] $U_i, U_j$ [/mm] sein soll. Ich kenne den Abstand [mm] $d(x_i, x_j)$ [/mm] für Punkte [mm] $x_i, x_k$, [/mm] aber für Umgebungen? Der kann sogar =0 sein, wenn beide Umgebungen eine leere Schnittmenge haben?!
2) Im Fall 2a) [mm] ($d(U_i \cap [/mm] D, [mm] U_j \cap [/mm] D) > 0$ wird "oBdA" angenommen, dass [mm] $d(U_i,U_j) [/mm] > 0$ gilt. Ja welchen anderen Fall kann es denn noch geben, wenn [mm] $d(U_i \cap [/mm] D, [mm] U_j \cap [/mm] D) > 0$ gilt? Und wieso werden in der darauffolgenden Ungleichung [mm] $U_i$ [/mm] und [mm] $U_j$ [/mm] vertauscht? Gilt denn [mm] $d(U_i,U_j) \ne d(U_j,U_i)$, [/mm] gar [mm] $d(U_i,U_j) [/mm] = [mm] -d(U_j,U_i)$? [/mm] Dann gälte [mm] $|f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2)| \le L|x_1 [/mm] - [mm] x_2|$ [/mm] mit $L = [mm] \frac{2M}{d(U_j, U_i)} [/mm] < 0$ Sonst wäre ich ja davon ausgegangen, dass grundsätzlich [mm] $d(U_i,U_j) [/mm] = [mm] d(U_j,U_i) [/mm] > 0$, aber wegen "oBdA" scheint es ja auch den Fall $< 0$ zu geben?
3) Naja, und Fall 2b) ist mir gänzlich unklar. Wieso existieren die beiden Folgen mit [mm] $|{z_k}^{(i)} [/mm] - [mm] {z_l}^{(j)}| \le \frac{1}{n}$ $\forall [/mm] k,l [mm] \ge N_0$, [/mm] und wieso ist der Häufungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] der Folge [mm] ${({z_k}^{(i)})}_k$ [/mm] auch automatisch einer der Folge [mm] ${({z_k}^{(j)})}_k$. [/mm] Ist statt [mm] "${({z_k}^{(j)})}_k$" [/mm] im Übrigen [mm] ${({z_l}^{(j)})}_l$ [/mm] gemeint, was nichts an meiner Frage ändert?
4) Was bedeutet $r [mm] \in [/mm] I$? Ist das das Gleiche wie $r [mm] \in \IN$? [/mm]

Danke und Gruß,
Martin

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Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 So 25.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Vielen Dank für den Link. Aber leider kann ich den Beweis nicht ganz verstehen:
> 1) Ich weiß nicht, was [mm]d(U_i, U_j)[/mm] für Umgebungen [mm]U_i, U_j[/mm] sein soll.

Das ist der Abstand zwischen den Mengen [mm] $U_i$ [/mm] und [mm] $U_j$. [/mm]

> Ich kenne den Abstand [mm]d(x_i, x_j)[/mm] für Punkte
> [mm]x_i, x_k[/mm], aber für Umgebungen? Der kann sogar =0 sein,
> wenn beide Umgebungen eine leere Schnittmenge haben?!

Ja, z.B. haben die beiden offenen Mengen (0,1) und (1,2) einen Abstand von Null, sind aber disjunkt.
Man definiert den Abstand zwischen zwei Mengen wie man es auch intuitiv machen würde: Der Abstand zweier Mengen ist der "kleinste" Abstand, den zwei Punkte haben können, wenn einer aus der einen und der andere aus der anderen Menge kommt.


> Der kann sogar =0 sein, wenn beide Umgebungen eine leere Schnittmenge haben?!

Ja, z.B. haben die beiden offenen Mengen (0,1) und (1,2) einen Abstand von Null, sind aber disjunkt.
Man definiert den Abstand zwischen zwei Mengen wie man es auch intuitiv machen würde: Der Abstand zweier Mengen ist der "kleinste" Abstand, den zwei Punkte haben können, wenn einer aus der einen und der andere aus der anderen Menge kommt.

Da es einen "kleinsten" Abstand bei offenen Mengen nicht gibt (man kann ja immer noch um ein kleines [mm] \varepsilon [/mm] näher ran rutschen), nutzt man das Infimum.

Also formal: [mm] $d(U_i,U_j) [/mm] = [mm] \inf_{\substack{x_i \in U_i \\ x_j\in U_j}} d(x_i,x_j)$ [/mm]

>  2) Im Fall 2a) ([mm]d(U_i \cap D, U_j \cap D) > 0[/mm] wird "oBdA"
> angenommen, dass [mm]d(U_i,U_j) > 0[/mm] gilt. Ja welchen anderen
> Fall kann es denn noch geben, wenn [mm]d(U_i \cap D, U_j \cap D) > 0[/mm] gilt?

Das ist nur Formalismus, den du hier im weiteren Verlauf ignorieren kannst.
Aber wenn du es verstehen willst:

Sei [mm] $U_i [/mm] = (-2,0), [mm] U_j [/mm] = (0,2), D = [-2,-1] [mm] \cap [/mm] [1,2]$
Dann gilt [mm]d(U_i \cap D, U_j \cap D) = d((-2,-1], [1,2)) = 2 > 0[/mm]

Aber: [mm]d(U_i , U_j) = 0[/mm]

>  Sonst wäre ich ja davon ausgegangen, dass grundsätzlich [mm]d(U_i,U_j) = d(U_j,U_i) > 0[/mm],

Ist auch korrekt. Darum spielt das gar keine Rolle, ob das vertauscht ist, oder nicht.

> aber wegen "oBdA" scheint es ja auch den Fall [mm]< 0[/mm] zu geben?

Nein, aber gleich Null, siehe oben.

>  3) Naja, und Fall 2b) ist mir gänzlich unklar. Wieso
> existieren die beiden Folgen mit [mm]|{z_k}^{(i)} - {z_l}^{(j)}| \le \frac{1}{n}[/mm]

Das überlege dir doch mal selbst!
Ist der Abstand zweier Mengen Null, so müssen sich doch die Elemente aus den Mengen beliebig nahekommen.
D.h. ich finde für jeden Abstand [mm] \frac{1}{n} [/mm] immer zwei Elemente, die näher zusammen sind… das ist die Idee der Folge.

> [mm]\forall k,l \ge N_0[/mm], und wieso ist der Häufungspunkt [mm]z_0[/mm] der Folge [mm]{({z_k}^{(i)})}_k[/mm] auch automatisch einer der Folge [mm]{({z_k}^{(j)})}_k[/mm].

Na das überlege dir doch jetzt mal auch. Wenn der Abstand der Folgen gegen Null geht, laufen sie gegen den selben Häufungspunkt (nämlich den Grenzpunkt zwischen den beiden Mengen).

> Ist statt "[mm]{({z_k}^{(j)})}_k[/mm]" im Übrigen [mm]{({z_l}^{(j)})}_l[/mm] gemeint, was nichts an meiner Frage ändert?

Ja, wobei es irrelevant ist, wie der Laufindex bezeichnet wird.
Allerdings hätte das im Beweis einheitlich gehalten werden können.

>  4) Was bedeutet [mm]r \in I[/mm]? Ist das das Gleiche wie [mm]r \in \IN[/mm]?

Aufpassen! Das I ist die Indexmenge der endlichen Überdeckungen.
D.h. das ist die endliche Menge aller Indizes, die deine kompakte Menge überdecken.
Es gilt zwar $I [mm] \subset \IN$, [/mm] aber insbesondere ist I damit endlich.

Gruß,
Gono

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Dehnungsbeschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 So 25.04.2021
Autor: sancho1980

Hallo,
leider gibt es immer noch ein paar Unklarheiten:

> >  2) Im Fall 2a) ([mm]d(U_i \cap D, U_j \cap D) > 0[/mm] wird "oBdA"

> > angenommen, dass [mm]d(U_i,U_j) > 0[/mm] gilt. Ja welchen anderen
> > Fall kann es denn noch geben, wenn [mm]d(U_i \cap D, U_j \cap D) > 0[/mm]
> gilt?
>
> Das ist nur Formalismus, den du hier im weiteren Verlauf
> ignorieren kannst.
> Aber wenn du es verstehen willst:
>  
> Sei [mm]U_i = (-2,0), U_j = (0,2), D = [-2,-1] \cap [1,2][/mm]
> Dann gilt [mm]d(U_i \cap D, U_j \cap D) = d((-2,-1], [1,2)) = 2 > 0[/mm]

Mir ist unklar, wieso das ein Formalismus ist, den ich "ignorieren" kann. Was ergibt sich denn in dem Fall, dass [mm] $d(U_i, U_j) [/mm] = 0$? Sicher nicht die Lipschitzkonstante [mm] $\frac{2M}{d(U_i, U_j)}$?! [/mm]

> > [mm]\forall k,l \ge N_0[/mm], und wieso ist der Häufungspunkt [mm]z_0[/mm]
> der Folge [mm]{({z_k}^{(i)})}_k[/mm] auch automatisch einer der
> Folge [mm]{({z_k}^{(j)})}_k[/mm].
> Na das überlege dir doch jetzt mal auch. Wenn der Abstand
> der Folgen gegen Null geht, laufen sie gegen den selben
> Häufungspunkt (nämlich den Grenzpunkt zwischen den beiden
> Mengen).

Dann finde ich die Ausdrucksweise ziemlich befremdlich. Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist [mm] $z_0$ [/mm] der (eine!) Grenzwert beider Folgen. Wieso ist dann von ein(em) Häufungspunkt (der Folge) die Rede. Abgesehen davon, dass ich auch nur Häufungspunkte von Mengen (nicht von Folgen) kenne. Vielleicht bezeichnet man die unterschiedlichen Grenzwerte zweier konvergenter Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] ja auch als Häufungspunkte der aus [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] "gemischten" Folge, aber um so eine Folge handelt es sich hierbei ja gar nicht, aber sei's drum...

Außerdem: Anfangs hatte ich dich so verstanden, dass das Maximum aller Lipschitzkonstanten eine geeignete Lipschitzkonstante für $f$ auf ganz $D$ ist. Aber nach diesem Beweis ergibt sich das doch nur für den 1. Fall. Im Fall 2a) ergibt sich [mm] $\frac{2M}{d(U_i, U_j)}$ [/mm] (vom "oBdA"-Fall ganz zu schweigen), und im Fall 2b) ergibt sich, ja was eigentlich? Wenn $f$ auf $D$ dehnungsbeschränkt ist, muss es doch ein $L$ geben, sodass für alle $x,y [mm] \in [/mm] D$ gilt, dass $|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] L|x - y|$. Was wähle ich denn nun für dieses $L$? Etwas das Maximum aus allen Lipschitzkonstanten und allen [mm] \frac{2M}{d(U_i, U_j)} [/mm] für alle [mm] $U_i, U_j$? [/mm]

Danke und Gruß,
Martin

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Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Di 27.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mir ist unklar, wieso das ein Formalismus ist, den ich "ignorieren" kann. Was ergibt sich denn in dem Fall, dass [mm]d(U_i, U_j) = 0[/mm]?

Wegen [mm] $d(U_i \cap [/mm] D, [mm] U_j \cap [/mm] D) > 0$ und [mm]d(U_i, U_j) = 0[/mm] existieren $U'_i, U'_j$ mit [mm] $U_i \cap [/mm] D [mm] \subset [/mm] U'_i [mm] \subset U_i, U_j \cap [/mm] D [mm] \subset [/mm] U'_j [mm] \subset U_j$ [/mm] sowie [mm]d(U'_i, U'_j) > 0[/mm]

Bevor du nachfragst: Überlege dir selbst, wieso das gilt.
Hinweise:
1.) [mm] $d(U_i \cap [/mm] D, [mm] U_j \cap [/mm] D) > 0$ impliziert: Es gibt ein [mm] $\varepsilon$, [/mm] so dass [mm] $d(U_i \cap [/mm] D, [mm] U_j \cap [/mm] D) > [mm] 3\varepsilon$ [/mm]
2.) Was gilt nun für $U'_i = [mm] \bigcup_{x\in U_i \cap D} U_\varepsilon(x), [/mm] U'_j = [mm] \bigcup_{x\in U_j \cap D} U_\varepsilon(x)$ [/mm]


Ersetzen wir nun in M die beiden Mengen [mm] $U_i,U_j$ [/mm] durch $U'_i, U'_j$ wird $D$ weiterhin von $M$ überdeckt und hat die gewünschte Eigenschaft.

> Dann finde ich die Ausdrucksweise ziemlich befremdlich.
> Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist [mm]z_0[/mm] der (eine!)
> Grenzwert beider Folgen.

Dafür müsstest du erstmal zeigen, dass die Folgen überhaupt konvergieren.
Hier gilt das vermutlich sogar, dass es der Grenzwert ist.
Da der Grenzwert aber ebenfalls nur ein Häufungspunkt ist, spielt das für die Argumentation schlichtweg keine Rolle.

Im Mehrdimensionalen geht die Argumentation mit dem Grenzwert hingegen kaputt, mit dem Häufungspunkt bleibt sie aber korrekt.
Ich orakel jetzt mal, dass der Autor das gleich so allgemein wie möglich beweisen wollte…

> Abgesehen davon, dass ich auch nur Häufungspunkte von Mengen (nicht von Folgen) kenne.

Die unterscheiden sich leicht voneinander.
Schlage die Grenzwertdefinition nach und streiche das [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge N_0$ [/mm] und du hast deine HP Definition.

Heißt: Ein Häufungspunkt kannst du dir vorstellen wie ein Grenzwert, nur dass die Folge auch unendlich oft wieder wegspringen darf.

> Vielleicht bezeichnet man die unterschiedlichen
> Grenzwerte zweier konvergenter Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] ja
> auch als Häufungspunkte der aus [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm]
> "gemischten" Folge, aber um so eine Folge handelt es sich
> hierbei ja gar nicht, aber sei's drum...

Korrekt.
Sind [mm] $a_n, b_n$ [/mm] zwei Folgen mit [mm] $a_n \to [/mm] a, [mm] b_n \to [/mm] b, [mm] a\not=b$ [/mm] so hat die Folge [mm] $c_n [/mm] = [mm] \begin{cases} a_k & n = 2k \\ b_k & n=2k+1 \end{cases}$ [/mm] mit $a$ und $b$ exakt zwei Häufungspunkte.

> Außerdem: Anfangs hatte ich dich so verstanden, dass das
> Maximum aller Lipschitzkonstanten eine geeignete
> Lipschitzkonstante für [mm]f[/mm] auf ganz [mm]D[/mm] ist.

Ja, das dachte ich zuerst auch :-)
Bis zu deiner Nachfrage.
Um genau zu sein hängt die Lipschitzkonstante aber auch noch von der kompakten Menge ab… und weil man das so schwer einbauen kann der indirekte Beweis wie im anderen Threadverlauf erwähnt.

Gruß,
Gono

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Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Mo 26.04.2021
Autor: fred97

Wie Gono schon erwähnt hat: ein Widerspruchsbeweis mit Folgenkompaktheit ist sehr einfach:

Annahme: für kein L>0 gilt

[mm] $||f(x)-f(y)||_Y \le [/mm] L [mm] ||x-y||_X$ [/mm]  für alle $x,y [mm] \in [/mm] M.$

Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es dann [mm] $x_n,y_n \in [/mm] M$ mit

(1) $ [mm] ||f(x_n)-f(y_n)||_Y [/mm]  > n [mm] ||x_n-y_n||_X.$ [/mm]


Für später: [mm] $x_n \ne y_n.$ [/mm]

M ist kompakt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen , dass [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] konvergieren ( wenn nicht, so bemühe Teilfolgen).


Es gilt also [mm] $x_0,y_0 \in [/mm] M$ mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $y_n \to y_0$. [/mm]

Mit (1) und der Stetigkeit von f gilt dann [mm] x_0=y_0. [/mm]


Nach Voraussetzung gbt es nun ein C >0 und eine offene Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] mit

(2) [mm] $||f(x)-f(y)||_Y \le [/mm] C [mm] ||x-y||_X$ [/mm]  für alle $x,y [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] U.$

Weiter ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $x_n,y_n \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] U$  für n>N.


Aus (1) und (2) erhalten wir:

$n [mm] ||x_n-y_n||_X \le [/mm] C [mm] ||x_n-y_n||_Y$ [/mm]   für $n>N.$

Da [mm] $x_n \ne y_n$ [/mm] ergibt sich der Widerspruch $n [mm] \le [/mm] C$  für alle n>N.

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Dehnungsbeschränktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Mo 26.04.2021
Autor: sancho1980

Faszinierend!

Bezug
                
Bezug
Dehnungsbeschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Mo 26.04.2021
Autor: sancho1980

Hmm jetzt aber doch nochmal eine Frage:

> Mit (1) und der Stetigkeit von f gilt dann [mm]x_0=y_0.[/mm]

Du meinst das folgt aus der lokalen Dehnungsbeschränktheit? Globale Stetigkeit ist nämlich keine Voraussetzung gemäß Aufgabenstellung ...

Danke und Gruß,
Martin

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Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mo 26.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Du meinst das folgt aus der lokalen
> Dehnungsbeschränktheit? Globale Stetigkeit ist nämlich
> keine Voraussetzung gemäß Aufgabenstellung ...

doch.
Was ist denn "globale Stetigkeit"?
Das gibt es nicht. Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.
Eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist… und da deine Funktion in jedem Punkt dehnungsbeschränkt ist, ist sie in dem Punkt insbesondere stetig.

Ergo: Dein f ist in jedem Punkt stetig… damit ist f stetig.

Gruß,
Gono

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Dehnungsbeschränktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:25 Mo 26.04.2021
Autor: fred97


> Hiho,
>  
> > Du meinst das folgt aus der lokalen
> > Dehnungsbeschränktheit? Globale Stetigkeit ist nämlich
> > keine Voraussetzung gemäß Aufgabenstellung ...
>  
> doch.
> Was ist denn "globale Stetigkeit"?
>  Das gibt es nicht. Stetigkeit ist eine lokale
> Eigenschaft.
>  Eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig
> ist… und da deine Funktion in jedem Punkt
> dehnungsbeschränkt ist, ist sie in dem Punkt insbesondere
> stetig.
>  
> Ergo: Dein f ist in jedem Punkt stetig… damit ist f
> stetig.
>  
> Gruß,
>  Gono

Hallo Gono,

    " in jedem Punkt dehnungsbeschränkt "

macht keinen Sinn.

Du meinst sicher: ist [mm] $z_0 \in [/mm] M$, so gibt es eine Umgebung U vom [mm] z_0 [/mm] und eine Konstante c>0 für die gilt

   [mm] ||f(x)-f(y)||_Y \le c||x-y||_X [/mm]  für alle x,y [mm] \in [/mm] $M [mm] \cap [/mm] U.$

Damit ist f auf $M [mm] \cap [/mm] U$ stetig, insbesondere also in [mm] z_0. [/mm] Da [mm] z_0 [/mm] beliebig war, ist f auf M stetig.


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Dehnungsbeschränktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Mo 26.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

danke für die Korrektur.
Besser wäre wohl die Formulierung gewesen:" […] und da deine Funktion in einer Umgebung um jeden Punkt dehnungsbeschränkt ist, ist sie insbesondere in jedem Punkt stetig."

Gruß,
Gono


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Dehnungsbeschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Mo 26.04.2021
Autor: sancho1980

Hallo,

> Was ist denn "globale Stetigkeit"?

Ja gut, mit globaler Stetigkeit meinte ich Stetigkeit auf ganz $M$.
Aber es leuchtet ein, aus der Dehnungsbeschränktheit innerhalb jeder offenen Umgebungen der Überdeckung ergibt sich Stetigkeit in jedem Punkt innerhalb einer Umgebung, und da jeder Punkt in $M$ von einer offenen Umgebung "erfasst" wird, die ihm Stetigkeit "verleiht", folgt letztlich die Stetigkeit in jedem Punkt in $M$.
Aber noch eine letzte Frage: Wie würde man das sauber aufschreiben, dass wegen der Stetigkeit [mm] $x_0 [/mm] = [mm] y_0$ [/mm] gilt? Ich kann es irgendwie nur "fühlen", dass der Abstand zwischen [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] ja $=0$ sein muss, um garantieren zu können, dass der zwischen [mm] $f(x_0)$ [/mm] und [mm] $f(y_0)$ [/mm] auch garantiert größer ist.

Danke und Gruß,
Martin

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Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 26.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Aber noch eine letzte Frage: Wie würde man das sauber
> aufschreiben, dass wegen der Stetigkeit [mm]x_0 = y_0[/mm] gilt? Ich
> kann es irgendwie nur "fühlen", dass der Abstand zwischen
> [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm] ja [mm]=0[/mm] sein muss, um garantieren zu können,
> dass der zwischen [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]f(y_0)[/mm] auch garantiert
> größer ist.

Was folgt denn für [mm] $|f(x_0) [/mm] - [mm] f(y_0)|$ [/mm] falls [mm] $|x_0 [/mm] - [mm] y_0| [/mm] > 0$?

Gruß,
Gono

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Dehnungsbeschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mo 26.04.2021
Autor: fred97


>  Aber noch eine letzte Frage: Wie würde man das sauber
> aufschreiben, dass wegen der Stetigkeit [mm]x_0 = y_0[/mm] gilt? Ich
> kann es irgendwie nur "fühlen", dass der Abstand zwischen
> [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm] ja [mm]=0[/mm] sein muss, um garantieren zu können,
> dass der zwischen [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]f(y_0)[/mm] auch garantiert
> größer ist.
>  

Nimm meine Ungleichung (1), dividiere durch  n und lasse n gegen unendlich gehen



> Danke und Gruß,
>  Martin


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