Dichtefunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit der Dichte:
[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^2, & \mbox{für } x \in [ -1,2 ] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
Bestimmen Sie die
a) Verteilungsfunktion von X,
b) den Erwartungswert un die Varianz von X,
c) [mm] $E\left[\frac{1}{X}\right]$ [/mm] |
So Leute,
ich hab folgende Ergebnisse raus:
a) $F(X) = 1$
b) [mm] $E(x)=\frac54$ [/mm] und $Var(x) = [mm] \frac{51}{80}$
[/mm]
Die Aufgabe c) ist nun das Problem. Was bedeutet [mm] $E\left[\frac{1}{X}\right]$? [/mm] Was muss ich hier tun? Mir ist die Bedeutung der eckigen Klammern als "in Abhängigkeit von" nicht klar... Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei X eine Zufallsvariable mit der Dichte:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^2, & \mbox{für } x \in [ -1,2 ] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
>
> Bestimmen Sie die
>
> a) Verteilungsfunktion von X,
> b) den Erwartungswert un die Varianz von X,
> c) [mm]E\left[\frac{1}{X}\right][/mm]
> So Leute,
>
> ich hab folgende Ergebnisse raus:
>
> a) [mm]F(X) = 1[/mm]
Hä ? was ist das denn ?
Die Vert.-Funktion ist gegeben durch
[mm] F(x)=\integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
Das sollst Du berechnen !!!
> b) [mm]E(x)=\frac54[/mm] und [mm]Var(x) = \frac{51}{80}[/mm]
zeige Deine Rechnungen !!!
>
> Die Aufgabe c) ist nun das Problem. Was bedeutet
> [mm]E\left[\frac{1}{X}\right][/mm]? Was muss ich hier tun? Mir ist
> die Bedeutung der eckigen Klammern als "in Abhängigkeit
> von" nicht klar... Könnt ihr mir helfen?
Mit X ist Y:=1/X wieder eine ZVA
[mm] E\left[\frac{1}{X}\right] [/mm] bedeutet einfach E(Y)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
a) $F(x) = [mm] \int_{-1}^{2} [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-1}^{2} \frac{1}{3}x^2dx [/mm] = ... = 1$
b) $E(x) = [mm] \int_{-1}^{2} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = ... = [mm] \frac54$, [/mm] $Var(x) = [mm] \int_{-1}^{2} (x-\mu)^2 \cdot [/mm] f(x) dx = ... = [mm] \frac{51}{80}$
[/mm]
c) [mm] $E\left[\frac{1}{x}\right] [/mm] = [mm] \int_{-1}^{2} \frac{1}{x} [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-1}^{2} \frac13 [/mm] x dx = ... = [mm] \frac12$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok. Dann nochmal zur VerteilungsFUNKTION. Ich glaub jetzt hab ich verstanden was ich falsch gemacht hab:
$F(x) = [mm] \int_{0}^{x} [/mm] f(t) dt = [mm] \int_{0}^{x} \frac13 t^2 [/mm] dt = [mm] \left[ \frac{1}{3}\frac13 t^3 \right]_0^x [/mm] = [mm] \frac19 x^3$
[/mm]
Da ich hier ja nun nur so etwas wie in unbestimmtes Integral gelöst habe, würd ich noch gern wissen, wie die Notation aussieht, wenn ich nun den Wert des Integrals, also die Fläche unterhalb des Graphen, berechnen will. Das Problem ist das "?"...
F(?) = F(2)-F(-1) = [mm] \frac19 2^3 [/mm] - [mm] \frac19 (-1)^2 [/mm] = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Dann nochmal zur VerteilungsFUNKTION. Ich glaub jetzt
> hab ich verstanden was ich falsch gemacht hab:
>
>
> [mm]F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} \frac13 t^2 dt = \left[ \frac{1}{3}\frac13 t^3 \right]_0^x = \frac19 x^3[/mm]
Das stimmt so nicht.
Fall 1: x<-1: Dann ist F(x)=0
Fall 2: x [mm] \in [/mm] [-1,2]. Dann ist F(x) = [mm] \int_{-1}^{x} [/mm] f(t) dt
(beachte die untere Integrationsgrenze ist -1 !!!)
Fall 3. x>2. Wie lautet jetzt F(x) ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
$ F(x) = [mm] \int_{-1}^{x} [/mm] f(t) dt = [mm] \int_{-1}^{x} \frac13 t^2 [/mm] dt = [mm] \left[ \frac{1}{3}\frac13 t^3 \right]_{-1}^x [/mm] = [mm] \frac19 x^3 [/mm] + [mm] \frac19$
[/mm]
Hm, dann sollte es jetzt so stimmen.
Wie sehen deine Fälle hier jetzt aus?
Was muss ich jetzt noch alles überprüfen?
[mm] $I_1 \in]-\infty [/mm] < X < -1]$
[mm] $I_2 \in [/mm] [-1 < X < 2]$
[mm] $I_3 \in [/mm] ]2 < X < [mm] +\infty[$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) dt = \int_{-1}^{x} \frac13 t^2 dt = \left[ \frac{1}{3}\frac13 t^3 \right]_{-1}^x = \frac19 x^3 + \frac19[/mm]
>
> Hm, dann sollte es jetzt so stimmen.
Ja, für x [mm] \in [/mm] [-1,2]
>
> Wie sehen deine Fälle hier jetzt aus?
Was ist los ?
>
> Was muss ich jetzt noch alles überprüfen?
>
> [mm]I_1 \in]-\infty < X < -1][/mm]
> [mm]I_2 \in [-1 < X < 2][/mm]
> [mm]I_3 \in ]2 < X < +\infty[[/mm]
Was bedeutet diese Ansammlung von Symbolen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
$ F(x) = [mm] \int_{-1}^{x} [/mm] f(t) dt = [mm] \int_{-1}^{x} \frac13 t^2 [/mm] dt = [mm] \left[ \frac{1}{3}\frac13 t^3 \right]_{-1}^x [/mm] = [mm] \frac19 x^3 [/mm] + [mm] \frac19 [/mm] $
Ist das also nun die richtige Lösung der Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) dt = \int_{-1}^{x} \frac13 t^2 dt = \left[ \frac{1}{3}\frac13 t^3 \right]_{-1}^x = \frac19 x^3 + \frac19[/mm]
>
> Ist das also nun die richtige Lösung der Aufgabe?
Nein. Es fehlt noch F(x) für x<-1 und F(x) für x>2
Wie oft soll ich Dir das noch sagen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok, ok. Is klar. Mittlerweile is das auch mir klar 
x<-1:
$F(x<-1) = F(-1) - [mm] \lim_{b \to -\infty}\left( F(b) \right) [/mm] = [mm] \left( \frac19 (-1)^3 + \frac19 \right) [/mm] - [mm] \underbrace{\lim_{b \to -\infty}\left( \frac19 (b)^3 + \frac19 \right)}_{=-\infty} [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
x>2:
$F(x>2) = [mm] \lim_{b \to +\infty}\left( F(b) \right) [/mm] - F(2) = [mm] \underbrace{\lim_{b \to \infty}\left( \frac19 (b)^3 + \frac19 \right)}_{=+\infty} [/mm] - [mm] \left( \frac19 (2)^3 + \frac19 \right) [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
Das ist aber sicher falsch, da meiner Ansicht nach im ersten Fall 0 rauskommen sollte und im zweiten Fall 1...
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Also die Verteilungsfunktion ist doch so definiert:
[mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) 1_{[-1,2]} dt} [/mm]
wenn x<-1 dann ist f(t)=0 und somit F(x)=0
für den Fall das x>2
[mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) 1_{[-1,2]} dt} =\integral_{-1}^{2}{f(t) dt}=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Entschuldige bitte, aber das kapier ich nicht. Kann man das Ergebnis für x<-1 und x>2 etwa gar nicht berechnen, sondern muss das schlussfolgern?
Wenn dem so ist, dann würde ich dich bitten viel genauer darauf einzugehen... Sorry...
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Die von dir angegebene Dichte lässt sich auch mit Hilfe der Indikatorfunktion schreiben:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^2 1_{[-1,2]}
[/mm]
Der Vorteil an dieser Schreibweise ist dass man nun von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] integrieren kann. Es gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{3}x^2 1_{[-1,2]}
dx}=\integral_{-1}^{2}{\bruch{1}{3}x^2dx}
[/mm]
Aber man kommt nicht drum herum eine Fallunterscheidung zu machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 08.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Genau diese Indikatorfunktion ist ja jetzt nicht so das Ausschlaggebende. Das Problem ist weiterhin die zwei Fälle.
Ich hab noch immer, wie ich gestern schon gezeigt habe, das Problem, dass ich bei beiden Fällen [mm] +\infty [/mm] rausbekommen.
Was mache ich denn nun falsch?
x<-1:
$F(x<-1) = F(-1) - [mm] \lim_{b \to -\infty}\left( F(b) \right) [/mm] = [mm] \left( \frac19 (-1)^3 + \frac19 \right) [/mm] - [mm] \underbrace{\lim_{b \to -\infty}\left( \frac19 (b)^3 + \frac19 \right)}_{=-\infty} [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm]
x>2:
$F(x>2) = [mm] \lim_{b \to +\infty}\left( F(b) \right) [/mm] - F(2) = [mm] \underbrace{\lim_{b \to \infty}\left( \frac19 (b)^3 + \frac19 \right)}_{=+\infty} [/mm] - [mm] \left( \frac19 (2)^3 + \frac19 \right) [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 08.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Stimmen denn eigentlich die Integrationsgrenzen? Ich soll ja (echt) kleiner -1 und (echt) größer 2 integrieren. Darf ich dann überhaupt bis -1 und ab 2 integrieren?
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ich glaube, dein problem ist, dass du noch nicht verstanden hast, dass
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt} =\integral_{-1}^{2}{f(t) dt}= \integral_{-\infty}^{2}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{\infty}{f(t) dt}
[/mm]
weil [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{f(t) dt}=0 [/mm] und [mm] \integral_{2}^{\infty}{f(t) dt}=0
[/mm]
also klar is ja auch: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}=\integral_{-\infty}^{-1}{f(t) dt}+\integral_{-1}^{2}{f(t) dt}+ \integral_{2}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]
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