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Differentialrechnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:08 Mo 03.05.2004
Autor: XOrionX

Hi Leute ich kapier da was bei der Differentialrechnung nicht. Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte.

[mm] f(x)=-x^4+2x^3 [/mm]

danke

        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mo 03.05.2004
Autor: Marc

Hallo XOrionX.

> Hi Leute ich kapier da was bei der Differentialrechnung
> nicht. Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte.

Mmh, ich würde sagen, du hast vergessen uns mitzuteilen, was du nicht kapierst.

> [mm] f(x)=-x^4+2x^3 [/mm]

Schöne Funktion, wo ist der Zusammenhang?

Okay, dann versuche ich ein bisschen hilfreicher zu sein, und stelle Rückfragen, da du dein Problem scheinbar nicht formulieren kannst:

1.) Berechnet Ihr gerade Differentialquotienten per Hand bzw. kommt dir so etwas bekannt vor: [mm] $\limes_{x_2\to x_2} \bruch{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ [/mm]
2.) Berechnet Ihr gerade Ableitungen von Funktionen, mit Hilfe von Ableitungsregeln, z.B. [mm] $f(x)=4x^3$ $\Rightarrow$ $f'(x)=12x^2$. [/mm]
3.) Behandelt Ihr Kurvendiskussion zur Zeit, d.h., bestimmt Ihr u.a. die Extrem- und Wendestellen von Funktionen?

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
Differentialrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 03.05.2004
Autor: XOrionX

Jo Bestimmung des Wendepunktes, Normale, Horizontale Tangente etc ist halt ne größere Aufgabe aber mit dem Wendepunkt hättest du mir schon viel geholfen.

Danke

Bezug
                        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Mo 03.05.2004
Autor: Marc

Hallo XOrionX!

> Jo Bestimmung des Wendepunktes, Normale, Horizontale
> Tangente etc ist halt ne größere Aufgabe aber mit dem
> Wendepunkt hättest du mir schon viel geholfen.

Nun, für einen Wendepunkt muß auf jeden Fall schon mal die Notwendige Bedingung erfüllt sein; sie lautet:

[mm] [quote]$f''(x_w)=0$[/quote] [/mm]

Gilt dann auch noch die Hinreichende Bedingung, dann liegt an der Stelle [mm] x_w [/mm] ein Wendepunkt vor:

[mm] [quote]$f''(x_w)=0$ [/mm] und [mm] $f'''(x_w)\neq0$[/quote] [/mm]

Ich berechne zunächst in einer Nebenrechnung die zweite und dritte Ableitung der Funktion:

[mm] $f(x)=-x^4+2x^3$ [/mm]
[mm] $f'(x)=-4x^3+6x^2$ [/mm]
[mm] $f''(x)=-12x^2+12x$ [/mm]
$f'''(x)=-24x+12$

Nach welchen Regeln man diese Ableitungen bildet, dürfte dir bekannt sein, sonst frage nach.

Laut notwendiger Bedingung ist die zweite Ableitung gleich Null zu setzen:

[mm] $f''(x_w)=0$ [/mm]
[mm] $\gdw -12x_w^2+12x_w=0$ [/mm]
[mm] $\gdw x_w*(-12x_w+12)=0$ [/mm]
[mm] $\gdw x_w=0\;\;\vee\;\;-12x_w+12=0$ [/mm]
[mm] $\gdw x_w=0\;\;\vee\;\;x_w=1$ [/mm]

Die notwendige Bedingung ist also mit diesen beiden Werten für [mm] x_w [/mm] erfüllt; diese Stellen heißen Kandidaten für einen Wendepunkt, da wir erst durch Überprüfung der hinreichenden Bedingung sicherstellen müssen, dass es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt:

[mm] $f'''(0)=12\neq0$ $\Rightarrow$ $x_w=0$ [/mm] ist eine Wendestelle.
[mm] $f'''(1)=-12\neq0$ $\Rightarrow$ $x_w=1$ [/mm] ist eine Wendestelle.

Die y-Koordinate der Wendepunkte erhältst du --wie immer für y-Koordinaten-- durch Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunktion:

$f(0)=0$
$f(1)=1$

Fazit:
Die Funktion hat zwei Wendepunkte: [mm] $W_1(0|0)$ [/mm] und [mm] $W_2(1|1)$. [/mm]

Bitte frage nach, wenn etwas unklar geblieben sein sollte.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
Differentialrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 Di 04.05.2004
Autor: XOrionX

Danke Marc hast mir sehr geholfen habe heute auch noch mal meinen Mathe Lehrer gefragt und ist alles richtig. Ich habe den größten Teil jetzt auch verstanden danke.

Bezug
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