www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Differenzierbark. einer Reihe
Differenzierbark. einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzierbark. einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Di 08.05.2012
Autor: Calculu

Aufgabe
Zeigem Sie, dass f(x)= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+x^{2}} [/mm] differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von f.

Hallo hallo.

Also, mit der Ableitung habe ich kein Problem. Die lautet:

f'(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-2x}{(k^{2}+x^{2})^{2}} [/mm]

Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die Differenzierbarkeit zeige.
Reicht es eine gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?

        
Bezug
Differenzierbark. einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Di 08.05.2012
Autor: kamaleonti

Hallo Calculu,
> Zeigem Sie, dass f(x)= [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+x^{2}}[/mm]
> differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von f.
>  Hallo hallo.
>  
> Also, mit der Ableitung habe ich kein Problem. Die lautet:
>  
> f'(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-2x}{(k^{2}+x^{2})^{2}}[/mm]
>  
> Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die Differenzierbarkeit zeige.
> Reicht es eine gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?

So ist es. Dann darf man Summation und Differentiation vertauschen.

LG


Bezug
        
Bezug
Differenzierbark. einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:29 Mi 09.05.2012
Autor: fred97


> Zeigem Sie, dass f(x)= [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+x^{2}}[/mm]
> differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von f.
>  Hallo hallo.
>  
> Also, mit der Ableitung habe ich kein Problem. Die lautet:
>  
> f'(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-2x}{(k^{2}+x^{2})^{2}}[/mm]
>  
> Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die
> Differenzierbarkeit zeige.
> Reicht es eine gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?


Es ist die  glm. Konvergenz von 2 Reihen zu zeigen:

http://mfb.informatik.uni-tuebingen.de/book/node155.html

Korollar 7.31

FRED


Bezug
                
Bezug
Differenzierbark. einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 Mi 09.05.2012
Autor: Calculu

Vielen Dank euch beiden. Das hat mir schon viel geholfen. Ich werde nachher versuchen die Aufgabe zu lösen.

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbark. einer Reihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:16 Mi 09.05.2012
Autor: Calculu

Hallo.

So, ich habe nun folgendes aufgeschrieben um die glm. Konvergenz der Reihe zu zeigen:

[mm] |\bruch{1}{k^{2}+x^{2}}| \le \bruch{1}{k^{2}} [/mm] := [mm] c_{k} [/mm]

Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} c_{k} [/mm] konvergiert nach dem Integralkrit., denn: [mm] f(x)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm]

[mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [\bruch{-1}{x}]_{0}^{a} [/mm] = 1 < [mm] \infty [/mm]

Mit dem Majorantenkrit folgt die glm. Konvergenz.

Reicht das?

Bezug
                                
Bezug
Differenzierbark. einer Reihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Fr 11.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de