Dimension Definition < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 So 01.12.2013 | | Autor: | janko123 |
Ich komme im Moment mit dem Begriff der Dimension durcheinander. Unser HÜ-Leiter hat gesagt: " Dimension ist die Anzahl der Komponenten der Vektoren in der Lösungsmenge (Anzahl der Spalten in der linke Seite).
Diese "Anzahl der Spalten in der linken Spalte" verstehe ich nicht ganz, weil bei einer 3x3 Matrix doch automatisch 3 Spalten auf der linken Seite sind oder nicht?
Und ich der Vorlesung hieß es dann auch dim(A)= n-Rang (bei nxn Matrix)
Ist die Dimension dann auch so gesehen die geometrische Vielfachheit bei den Eigenwerten? Habe ich das richtig verstanden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 So 01.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich komme im Moment mit dem Begriff der Dimension
> durcheinander. Unser HÜ-Leiter hat gesagt: " Dimension ist
> die Anzahl der Komponenten der Vektoren in der
> Lösungsmenge (Anzahl der Spalten in der linke Seite).
aua. Mal abgesehen davon, dass der Begriff der Komponente definiert
werden sollte, und man auch wissen sollte, bei was es denn um die
linke Seite geht.
Die Dimension eines endlichdimensionalen Vektorraums ist die maximale
Anzahl linear unabhängiger Vektoren, bspw.. Dafür gibt es noch
Charakterisierungen (Wiki hilft, oder das Buch von Bosch, Lineare Algebra,
oder oder oder...).
> Diese "Anzahl der Spalten in der linken Spalte" verstehe
> ich nicht ganz, weil bei einer 3x3 Matrix doch automatisch
> 3 Spalten auf der linken Seite sind oder nicht?
Ich weiß nicht, um was es geht. Bei einer Matrix kann man den Rang der
Matrix als Zeilenrang=maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen
definieren, oder auch als Spaltenrang (analoge Definition); diese
Definitionen sind äquivalent, deswegen macht es ja auch Sinn, anstatt
immer vom Zeilen-/ oder Spaltenrang direkt vom Rang der Matrix zu
sprechen.
Was mir unklar ist, was Du hier mit Dimensionen willst. Aber wenn man
eine lineare Abbildung, etwa $f [mm] \colon \IR^n \to \IR^m$, [/mm] mit ihrer "die Abbildung
charakterisierenden Matrix" $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] beschreibt, so kann es natürlich sein,
dass Du von
![[]](/images/popup.gif) Satz 7.4 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen) [klick!]
sprichst. Du wirst vielleicht erstmal "nein" sagen, aber ich sage, schau Dir
dafür erstmal im gleichen Skript Satz 9.4 an, denn das ist nur die
Anwendung dieser Formel bzgl. der Zusammenhänge, die zwischen
[mm] $\IR^{m \times n}$-Matrizen [/mm] und linearen Abbildungen [mm] $\IR^n \to \IR^m$ [/mm] bestehen.
> Und ich der Vorlesung hieß es dann auch dim(A)= n-Rang
> (bei nxn Matrix)
Ja, das gilt auch bei $m [mm] \times [/mm] n$-Matrizen. Das siehst Du im Skript im Beweisteil
1. von Satz 9.4.
> Ist die Dimension dann auch so gesehen die geometrische
> Vielfachheit bei den Eigenwerten? Habe ich das richtig
> verstanden?
Nein. Man definiert den Begriff der geometrischen Vielfachheit mithilfe des
Begriffes der Dimension, nicht umgekehrt:
Die Dimension des Eigenraums $E \left (\lambda\right)$ wird als geometrische Vielfachheit von $\lambda$ bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda.$
Du musst also für einen Eigenwert den Eigenraum "hinschreiben" können
und Dir dann überlegen, wie Du die Dimension davon "herleiten" (mit
Begründung!) kannst.
Gruß,
Marcel
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