Dimensionsformel < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Sa 15.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Ist f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung von K-Vektorräumen V,W mit V endlich dimensional, dann gilt:
dim V = dim Ker f + dim Bild f |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Dimensionsformel und bin leider auf ein Verständnisproblem gestoßen.
Dass dim Ker f mit dim V zusammenhängt ist logisch, da dim Ker f [mm] \subset [/mm] dim V ist. Aber was hat dim Bild f mit dim V konkret zu tun, da dim Bild f [mm] \subseteq [/mm] Dim W?
Wie kann man sich diese Formel logisch erklären?
Freue mich über Rückmeldungen 
LG
DrRiese
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> Ist f: V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung von K-Vektorräumen
> V,W mit V endlich dimensional, dann gilt:
> dim V = dim Ker f + dim Bild f
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> Hallo,
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> ich beschäftige mich gerade mit der Dimensionsformel und
> bin leider auf ein Verständnisproblem gestoßen.
> Dass dim Ker f mit dim V zusammenhängt ist logisch, da
> dim Ker f [mm]\subset[/mm] dim V ist. Aber was hat dim Bild f mit
> dim V konkret zu tun, da dim Bild f [mm]\subseteq[/mm] Dim W?
Wenn überhaupt, dann gilt Bild(f) <= dim W!
> Wie kann man sich diese Formel logisch erklären?
>
> Freue mich über Rückmeldungen
>
> LG
Moin,
ich weiß nicht, wie dein Beweis im Skript aussieht. Normalerweise nutzt man den Isomorphiesatz und man weiß
Für [mm]f\colon V\to W[/mm] (linear) gilt [mm]\operatorname{Bild}(f) \cong V/\operatorname{Kern}(f)[/mm]. Darauf aufbauend bastelt man sich eine direkte Summe von V. Damit "befindet" man sich stets in V und teilt den Vektorraum in Bild(f) und Kern(f) auf.
Für eine lineare Algebra Vorlesung gibt es auch die Alternative den Basisergänzungssatz zu nutzen:
Eine Basis vom Kern [mm]b_1,\dotsc ,b_k[/mm] kann zu einer Basis [mm]b_1,\dotsc ,b_k,\dotsc,b_n[/mm] von V zu ergänzt werden. Und dann zeigt man das die zusätzlichen Vektoren [mm] $f(b_{k+1}),\dotsc,f(b_n)$ [/mm] eine Basis vom Bild bilden.
Somit spielt sich wieder alles in V ab.
> DrRiese
Es geht hier lediglich um die Dimension, also salopp eine Vermessung von möglichen Untervektorräumen und NICHT um den Inhalt dieser.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich kenne folgenden Beweis:
ker8f) und im(f) sind Unterräume in den jeweiligen Vektorräumen, haben also eine Basis. Zeige dann: Die Basis von ker(f) zusammen mit f-Urbildern der Basis von im(f) bilden eine Basis von V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Sa 15.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Ok, dann schau ich mir noch mal die Beweise an. Vielen Dank
LG
DrRiese
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