Eigenwerte linearer Abbildunge < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 03.11.2011 | | Autor: | frato |
Hey Leute,
Ich habe wieder mal eine Frage: Ich bereite mich momentan auf eine mündliche Prüfung vor und bin bei den Übungs-Fragen auf folgende gestoßen: Gibt es zu jeder linearen Abbildung Eigenwerte? Warum? Warum nicht?
Ich weiß zwar das es Abbildungen gibt, die keine reellen EW haben, aber das ist ja nicht die Frage :)...
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!
Gruß Frato
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> Hey Leute,
> Ich habe wieder mal eine Frage: Ich bereite mich momentan
> auf eine mündliche Prüfung vor und bin bei den
> Übungs-Fragen auf folgende gestoßen: Gibt es zu jeder
> linearen Abbildung Eigenwerte? Warum? Warum nicht?
> Ich weiß zwar das es Abbildungen gibt, die keine reellen
> EW haben, aber das ist ja nicht die Frage :)...
Doch, das ist sie (unter anderem).
Bedenke, dass eine Abbildung immer aus zwei Teilen besteht:
$f: A [mm] \to [/mm] B, x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$
Der hintere Teil ist die Abbildungsvorschrift, der vordere Teil sind Definitions- und Wertebereich.
Dieser vordere Teil wird manchmal gern vergessen, aber er gehört auch zu einer Abbildung dazu.
Hast du also etwa
$f: [mm] \IR^n \to \IR^n, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax$ wobei $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] so ist dies eine reelle Abbildung und kann deshalb auch nur reelle Eigenwerte haben.
Also nochmal in kurz: Definitions- und Wertebereich sind ein wichtiger Bestandteil einer Abbildungsvorschrift und dürfen keinesfalls vergessen oder vernachlässigt werden (das auch nochmal als Tipp für deine Prüfung).
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 03.11.2011 | | Autor: | frato |
Sehr gut. Vielen Dank. Als ich die Fage abgeschickt habe, ist mir die Antwort selbst gekommen :)...
Um das ganze aber nochmal zu reflektieren:
Wenn ich eine Abbildung f: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2} [/mm] habe, die eine bestimmte Drehung um den Ursprung darstellt, mit der darstellende Matrix [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }, [/mm] dann bestitz die Abbildung keine (reellen) EW.
Andererseits: Wenn ich einen K-Vektorraum habe und K= [mm] \IC, [/mm] so hat eine Abbildung f doch mindestens einen Eigenwert, nämlich mindestens einen komplexen...
Stimmt das dann so?
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> Andererseits: Wenn ich einen K-Vektorraum habe und K= [mm]\IC,[/mm]
> so hat eine Abbildung f doch mindestens einen Eigenwert,
> nämlich mindestens einen komplexen...
>
> Stimmt das dann so?
wenn f linear ist und dein Vektorraum nicht der Nullraum dann passt das, ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Do 03.11.2011 | | Autor: | frato |
Danke ;).
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