Eigenwerte von Endomorphismen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Do 29.06.2006 | | Autor: | curk |
| Aufgabe | Von den Eigenwerten bestimmter Endomorphismen
Es sei V ein n-dimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] und F,G [mm] \in [/mm] End(V). Es gelte [mm] F^n [/mm] = 0, dim(ker F) = 1 und G [mm] \circ [/mm] F - F [mm] \circ [/mm] G = F.
Zeigen Sie, dass es dann ein a [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass a, [mm] a-1,\ldots,a-(n-1) [/mm] Eigenwerte von G sind. Folgern Sie, dass G diagonalisierbar ist.
[Tipp: Man zeige, dass es ein v [mm] \in [/mm] V gibt, für das [mm] v,Fv,F^2V,\ldots,F^{n-1}v\not=0 [/mm] gilt.] |
So, der Tipp is ja recht einfach zu zeigen; da (der Kern) Ker F [mm] \subseteq \ldots \subseteq [/mm] Ker [mm] F^n [/mm] gilt und insbesondere dim Ker [mm] F^{n-1} [/mm] = n-1, wähle ich v [mm] \in \overline{Ker F^{n-1}} [/mm] und die Bedingung [mm] v,Fv,F^2V,\ldots,F^{n-1}v\not=0 [/mm] ist erfüllt.
Nun weiß ich alelrdings nicht weiter. Wenn ich jetzt annehme, dass ich einen Vektor v zum Eigenwert a von G gefunden hätte und G [mm] \circ [/mm] F - F [mm] \circ [/mm] G = F betrachte erhalte ich G(F(v) - F(G(v)) = aF(v) - F(av) = 0 = F(v). Das riecht mir natürlich nach einer falschen Schlussfolgerung ;) Das würde ja heißen, dass der Eigenraum zum Eigenwert a der Kern von F ist, und zwar für einen beliebigen Eigenwert a :S
Kann mir jemand sagen was an der letzten Überlegung falsch ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal,
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Do 29.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Jonas,
das ganze ist denke ich vor allem ein Problem der Schreibweise.
Du schreibst:
> [...] und G [mm]\circ[/mm] F - F [mm]\circ[/mm] G = F betrachte
> erhalte ich G(F(v) - F(G(v)) = aF(v) - F(av) = 0 = F(v).
So wie ich das lesen würde bindet [mm] \circ [/mm] stärker als + (bzw. -), es ist also [mm](G\circ F) - (F \circ G) = F [/mm]
Damit ist dann
[mm]G(F(v))-F(G(v)) = F(v) [/mm]
[mm] \Rightarrow G(F(v)) - F(av) = F(v)[/mm]
[mm] \Rightarrow G(F(v)) = F(v) + F(av) = F(v) + aF(v) = (a+1) F(v)[/mm]
...und der Rest müsste dann wieder von alleine gehen (ich hab glaube ich sowieso schon zuviel geschrieben)!
Gruß
piet
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