www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Sonstiges" - Einfache (?) Frage
Einfache (?) Frage < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Einfache (?) Frage: Teilbarkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 21.10.2004
Autor: Paulus

Liebe Leute

vermutlich bin ich nur einfach im Moment nicht so drauf.

Ich würde lediglich gerne wissen, ob es für dieses Zahlentheorieproblem ein allgemeines Verfahren gibt:

Gegeben ist eine natürliche Zahl [mm]z[/mm].

Diese wird im 3-er Schritt vermindert: [mm]a_{n}=z-3*n[/mm].

Dazu wird, beginnend mit der [mm]1[/mm], eine weitere Folge gebildet, das Folgeglied wird jeweils um [mm]4[/mm] erhöht: [mm]b_{n}=1+4*n[/mm]

Die Frage ist nun:

Für welches [mm]n > 0[/mm] ist [mm]\bruch{a_{n}}{b_{n}} \in \IN[/mm] ?

(Das kleinste $n > 0$ würde mir schon genügen)

Oder anders: für welches [mm]n > 0[/mm] gilt: [mm]z-3n \equiv \, 0 \, mod \, (1+4n)[/mm]

Beispiel: [mm]z=166[/mm] ergibt [mm]n=7[/mm], weil

[mm]\bruch{166-3*7}{1+4*7}=\bruch{145}{29}=5[/mm]

Ich habe weder eigene Ideen noch eigene Ansätze, lediglich ein ratloses Brüten ob meinem Unvermögen, eine so einfach anmutende Frage vernünftig lösen zu können!

Falls sich niemand mit dieser Aufgabe beschäftigen will, bin ich auch nicht böse, es hängt nichts von der korrekten Lösung ab. Keine Zensur, keine Note, kein Durchfallen an einer Prüfung, kein rein gar nichts!

Mit lieben Grüssen

Paul

        
Bezug
Einfache (?) Frage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Do 21.10.2004
Autor: AT-Colt

Hallo Paulus,

also erstmal muss ich sagen, dass ich die Frage gar nicht so einfach finde, insofern hast Du Dir nichts vorzuwerfen ;)

Das hier ist keine Lösung, sondern nur eine Denkhilfe... hoffentlich ^^

Aber mal zum Thema:

Du suchst nicht nur ein $n$, sondern auch ein $z$, für da Deine Gleichung gelten soll, denn sie kann nicht für jede natürliche Zahl erfüllt werden.

Beispiel:
$z=1$, $n=0$:
[mm] $\bruch{a_n}{b_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 [mm] \in \IN$, [/mm] aber $n < 1$
$z=1$, $n=1$:
[mm] $\bruch{a_n}{b_n} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{5} \not\in \IN$ [/mm]

Hier werden sofort zwei Bedingungen ersichtlich, die an das $n$ gestellt werden, wenn Du ein $z$ hast:
1. $n < [mm] \bruch{z}{3}$, [/mm] da sonst eine negative (also insbesondere nicht natürliche) Zahl entsteht
2. $n [mm] \le \bruch{z-1}{7}$, [/mm] da sonst die kleinste natürliche Zahl 1 unterschritten wird

Sei jetzt $k [mm] \in \IN$ [/mm] das Ergebnis des Folgenbruchs, dann kann man schreiben:

[mm] $\bruch{z-3n}{1+4n} [/mm] = k [mm] \gdw \bruch{z-k}{4k+3} [/mm] = n$

Wenn wir uns nun Zahlenpaare $(k,n)$ vorgeben, können wir zumindest sorum die $z$ bestimmen, für die die gestellte Bedingung zutrifft.

Bsp:
$(1,1) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 8$
$(1,2) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 15$
$(1,3) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 22$
$(2,1) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 13$
$(2,2) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 24$
$(2,3) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 35$
$(3,1) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 18$
$(3,2) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 33$
$(3,3) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 48$

Vielleicht hilft Dir das ja etwas weiter...

greetz

AT-Colt

Bezug
                
Bezug
Einfache (?) Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Do 21.10.2004
Autor: Paulus

Hallo AT-Colt

erstmal vielen Dank, dass du dich mit dieser Aufgabe beschäftigst. Ich drucke mir diese Antwort mal aus und studiere sie im Zug, auf dem Weg nach Hause. :-)

Es ist so, dass das $z$ vorgegeben ist.

Wenn es kein solches $n > 0$ geben sollte ($n=0$ ist ja trivial), sollte das natürlich auch sichtbar werden. Meiner Meinung nach gilt nämlich: auch die leere Menge ist eine gültige Lösungsmenge! ;-)

Ich hoffe einfach, das Problem durch so etwas wie diophantische Gleichungen lösen zu können, also wirklich mit Methode, nicht mit laufendem Versuchen. Nur bin ich bis jetzt beharrlich gescheitert.

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
                        
Bezug
Einfache (?) Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Do 21.10.2004
Autor: AT-Colt

Hm...

ich hab mich mal schlau gemacht, was diophantische Gleichungen sind, und WAS sie sind, habe ich verstanden, nur nicht, wie man sie löst, insofern werde ich Dir wahrscheinlich nicht weiterhelfen können, wenn es um Methode geht ^^;

Durch diese "Versuche" komme ich normalerweise immer ganz gut auf eine Struktur, die hinter einem Problem steckt, um diese dann zu verallgemeinern, ob das hier auch geht, weiss ich nicht o.O

greetz

AT-Colt

Bezug
                                
Bezug
Einfache (?) Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:36 Fr 22.10.2004
Autor: Paulus

Hallo AT-Colt

also, ich habe deine Antwort in Ruhe durchgearbeitet.

Leider bringt mich das alles nicht wirklich weiter.

Ich habe lediglich dabei festgestellt, dass ich an Stelle meiner ursprünglichen Definitionen der Folgen auch hätte

[mm] $a_{n} [/mm] = z-1-7n$ und
[mm] $b_{n} [/mm] = 1 + 4n$ nehmen können.

Dies auf Grund des Archimedischen Algorithmus, wonach ja der Gemeinsame Teiler zweier Zahlen der Selbe ist wie der Gemeinsame Teiler der Differenz dieser Zahlen und einer der ursprünglichen Zahlen.

$ggT(a,b) = ggT(a-b,b)$

Na ja, vielleicht brütet ja noch jemand über dieser Aufgabe,

Ich glaube fast, dass sich dieses Frischknechtsche Problem würdig in Reihe Riemanns ungelöster Probleme einreihen liesse! ;-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
                                        
Bezug
Einfache (?) Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:11 Fr 22.10.2004
Autor: SirJective

Hallo Paul,

auch ich konnte bisher nur feststellen, dass 0 < n <= (z-1)/7 sein muss. Für jedes z ist also effektiv feststellbar, ob ein geeignetes n existiert.

> Ich habe lediglich dabei festgestellt, dass ich an Stelle
> meiner ursprünglichen Definitionen der Folgen auch hätte
>  
> [mm]a_{n} = z-1-7n[/mm] und
>  [mm]b_{n} = 1 + 4n[/mm] nehmen können.

Das kannst du nicht, wenn du weiterhin verlangst, dass [mm] a_n/b_n [/mm] > 0 sein soll. Beispiel: z = 8, n = 1.

Ich habe eine Liste der Zahlen aufgestellt, für die ein n existiert, so dass [mm] a_n/b_n [/mm] natürlich wird, aber habe kein System erkannt.

Die darstellbaren Zahlen bis 100 sind:
8, 13, 15, 18, 22, 23, 24, 28, 29, 33, 35, 36, 38, 42, 43, 46, 48, 50, 51, 53, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 68, 69, 71, 73, 74, 78, 79, 80, 83, 85, 87, 88, 90, 92, 93, 96, 97, 98, 99, 100

Nicht darstellbar sind unter 100 die folgenden:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 34, 37, 39, 40, 41, 44, 45, 47, 49, 52, 54, 55, 56, 59, 62, 65, 66, 67, 70, 72, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 86, 89, 91, 94, 95

HTH

Sicherlich seid ihr auch schon auf die Gleichung
z = 4kn + 3n + k
gestoßen, die nach k und n gelöst werden muss. Leider ist mein Diophant gerade verliehen... ;-)

Gruss,
SirJective


Bezug
                                                
Bezug
Einfache (?) Frage: Kommentar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Sa 30.10.2004
Autor: TheKite

Hallo zusammen,

hab die Gleichung

>  z = 4kn + 3n + k

mal in Maple eingetippt

dabei ist folgendes herausgekommen:

{k = z-4*kn-3*n, z = z, n = n, kn = kn}

Hoffe das hilft euch weiter, wenn nicht ignoriert den Beitrag!

MfG
TheKite

Bezug
        
Bezug
Einfache (?) Frage: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:30 Do 04.11.2004
Autor: Paulus

Hallo miteinander

ich bedanke mich ganz herzlich, vor allem auch nachträglich bei SirJective, dass ihr euch die Zeit genommen habt. Mein Fazit: die Aufgabe ist offenbar doch ein Kandidat für ein Jahrhundertproblem ;-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de